sexta-feira, 30 de novembro de 2012

Diagramas lógicos teoria

Os diagramas lógicos são estruturas que auxiliam na solução dos problemas que envolvem a matéria de raciocínio lógico.
Para melhor entender os diagramas lógicos é necessário primeiro aprender algumas regras da teoria dos conjuntos.
Um conjunto é um determinado número de elementos que possuem uma ou mais características em comum, sendo que, tais características, definem ou distinguem os conjuntos uns dos outros.
Exemplos:
1-      conjunto de números ímpares – é formado por infinitos elementos – 1, 3, 5, 7…
2-      conjunto das vogais – é formado por finitos elementos – a-e-i-o-u.
3-      conjunto de números primos – é formado infinitos elementos – 2, 3, 5, 7…
Existem três formas de representar um conjunto. São elas:
Extensão – escreve-se os elementos entre chaves. Exemplo: {a e i o u}.
Compreensão – escreve-se a característica que define o conjunto. Exemplo: conjunto de números primos de 1 a 10.
Diagrama de Venn – Coloca-se os elementos dentro de uma figura fechada (um circulo). Exemplo:



No diagrama de Venn a ordem dos elementos não tem relevância e os elementos devem aparecer uma única vez.
Os conjuntos podem ser classificados de acordo com a quantidade de elementos que possuem:
Conjunto finito – possui um limite de elementos, como por exemplo, o conjunto de vogais.
Conjunto infinito – possui um número infinito de elementos, por exemplo, o conjunto dos números.
Conjunto unitário – possui um único elemento.
Conjunto vazio – não possui nenhum elemento.
Observação: o conjunto que possui apenas o número 0 é um conjunto unitário e não vazio.
Conjunto universo – é o conjunto que possui todos os elementos de uma situação, como por exemplo, o conjunto dos dias da semana.
Estes são os diagramas lógicos estudados pelo raciocínio lógico.

questões resolvidas de concursos Diagramas lógicos


Artigo com questões resolvidas de concursos sobre Diagramas lógicos extraídas de provas anteriores.

1) (ESAF) Todos os alunos de matemática são, também, alunos de inglês, mas nenhum aluno de inglês é aluno de história. Todos os alunos de português são também alunos de informática, e alguns alunos de informática são também alunos de história. Como nenhum aluno de informática é aluno de inglês, e como nenhum aluno de português é aluno de história, então:

a) pelo menos um aluno de português é aluno de inglês.
b) pelo menos um aluno de matemática é aluno de história.
c) nenhum aluno de português é aluno de matemática.
d) todos os alunos de informática são alunos de matemática.
e) todos os alunos de informática são alunos de português.

Solução:

Temos, do enunciado, as seguintes proposições:
1. Todos os alunos de matemática são, também, alunos de inglês
2. Nenhum aluno de inglês é aluno de história
3. Todos os alunos de português são também alunos de informática
4. Alguns alunos de informática são também alunos de história
5. Nenhum aluno de informática é aluno de inglês
6. Nenhum aluno de português é aluno de história

Agora iremos representar cada proposição utilizando os diagramas lógicos. Como não há uma ordem a ser seguida,podemos começar com qualquer uma das proposições até que façamos a representação de todas elas. Após desenharmos os diagramas para cada proposição, chegamos ao seguinte resultado:




Analisando as alternativas e comparando-as com os desenhos acima, vemos claramente, que o item correto é o C.

2) (Fiscal Trabalho ESAF) Maria tem três carros: um Gol, um Corsa e um Fiesta. Um dos carros é branco, o outro é preto, e o outro é azul. Sabe-se que:
1) ou o Gol é branco, ou o Fiesta é branco, 2) ou o Gol é preto, ou o Corsa é azul, 3) ou o Fiesta é azul, ou o Corsa é azul, 4) ou o Corsa é preto, ou o Fiesta é preto. Portanto, as cores do Gol, do Corsa e do Fiesta são, respectivamente,

a) branco, preto, azul
b) preto, azul, branco
c) azul, branco, preto
d) preto, branco, azul
e)) branco, azul, preto

Solução:


O enunciado informa que:
- Maria tem três carros: um Gol, um Corsa e um Fiesta.
- Um dos carros é branco, o outro é preto, e o outro é azul.

Também temos, no enunciado, as seguintes premissas:
P1: ou o Gol é branco, ou o Fiesta é branco.
P2: ou o Gol é preto, ou o Corsa é azul.
P3: ou o Fiesta é azul, ou o Corsa é azul.
P4: ou o Corsa é preto, ou o Fiesta é preto.
Para resolvermos esta questão, devemos:
1º) considerar todas as premissas verdadeiras;
2º) atribuir um valor lógico (V ou F) para uma das proposições simples; e
3º) Finalmente, substituir este valor lógico (escolhido no passo anterior) nas premissas e
verificar se está correto, ou seja, se não vai se observar alguma contradição entre os
resultados obtidos.


Vamos escolher a proposição Fiesta é branco que aparece na 1ª premissa, e atribuir o
valor lógico V. Vamos executar os seguintes passos, mostrados abaixo, para testar esta
hipótese criada por nós, ou seja, para sabermos se está certo que Fiesta é branco é V.

 Teste da hipótese: Fiesta é branco é V.
1º. F 1º. V
P1. ou o Gol é branco, ou o Fiesta é branco.
4º. F 3º. V
P2. ou o Gol é preto, ou o Corsa é azul.
1º. F 2º. V
P3. ou o Fiesta é azul, ou o Corsa é azul.
3º. F 1º. F
P4. ou o Corsa é preto, ou o Fiesta é preto.

1º passo) Da hipótese Fiesta é branco é V (em P1), e como cada carro possui cores
diferentes, teremos: Gol é branco é F (em P1), Fiesta é azul é F (em P3) e
Fiesta é preto é F (em P4).
2º passo) P3 deve ser verdadeira, daí Corsa é azul é V.
3º passo) Atribuir: Corsa é preto é F (em P4) e Corsa é azul é V (em P2).
4º passo) P2 é uma disjunção exclusiva, daí Gol é preto tem que ser F.
Houve alguma contradição entre os resultados obtidos? Claro que sim, pois obtemos
que o Gol não é preto, nem branco e nem azul! Daí, a hipótese Fiesta é branco é Falsa!
Vamos estabelecer outra hipótese (com relação ao Fiesta): Fiesta é preto é Verdade!

 Teste da hipótese: Fiesta é preto é V.
2º. V 1º. F
P1. ou o Gol é branco, ou o Fiesta é branco.
1º. F 3º. V
P2. ou o Gol é preto, ou o Corsa é azul.
1º. F 3º. V
P3. ou o Fiesta é azul, ou o Corsa é azul.
1º. F 1º. V
P4. ou o Corsa é preto, ou o Fiesta é preto.


1º passo) A hipótese é Fiesta é preto é V (em P4), e como cada carro deve ter cor
diferente, teremos: Corsa é preto é F (em P4), Fiesta é branco é F (em P1), Gol
é preto é F (em P2) e Fiesta é azul é F (em P3).
2º passo) P1 deve ser verdadeira, daí Gol é branco é V.
3º passo) P2 e P3 devem ser verdadeiras, daí Corsa é azul é V.

Houve alguma contradição entre os resultados obtidos? Agora não houve!

Resultados obtidos:
Fiesta é preto!
Gol é branco!
Corsa é azul!
Portanto, a resposta é a alternativa E.


3) (AFRE MG 2005 ESAF) Se André é culpado, então Bruno é inocente. Se André é
inocente, então Bruno é culpado. Se André é culpado, Leo é inocente. Se André é
inocente, então Leo é culpado. Se Bruno é inocente, então Leo é culpado. Logo,
André, Bruno e Leo são, respectivamente:

a) Culpado, culpado, culpado.
b) Inocente, culpado, culpado.
c)) Inocente, culpado, inocente.
d) Inocente, inocente, culpado.
e) Culpado, culpado, inocente.

Solução:

vamos utilizar o método do encadeamento das premissas.

Temos, no enunciado, as seguintes premissas:
P1: Se André é culpado, então Bruno é inocente.
P2: Se André é inocente, então Bruno é culpado.
P3: Se André é culpado, então Leo é inocente.
P4: Se André é inocente, então Leo é culpado.
P5: Se Bruno é inocente, então Leo é culpado.


Vamos atribuir letras as proposições simples;
A = André é inocente
B = Bruno é inocente
L = Leo é inocente
Traduzindo as premissas para a forma simbólica, obteremos:
P1: ~A → B
P2: A → ~B
P3: ~A → L
P4: A → ~L
P5: B → ~L

Agora, vamos efetuar o encadeamento das premissas. Da aula passada, vimos que não
há uma regra para a seqüência em que ficarão as premissas, devemos fazer por tentativa e
erro, e modificando as premissas de forma que a segunda parte da condicional de uma
premissa seja igual à primeira parte da condicional da premissa seguinte.
Para modificar as proposições condicionais devemos utilizar a regra de equivalência:
(p → q) = (~q → ~p). (Podemos memorizar essa equivalência com as palavras inverte e
troca. Vejamos: inverte-se a ordem das proposições e trocam-se os sinais. Daí, apenas
inverte e troca!)

Vamos tentar montar o quebra-cabeça:
- Vamos iniciar pelo equivalente condicional de P2: B → ~A
- Depois da P2 vamos colocar a premissa P1: ~A → B
- Depois da P1 vamos colocar a premissa P5: B → ~L
- Depois da P5 vamos colocar o equivalente condicional de P3: ~L → A
- Finalmente, depois da P4 vamos colocar a premissa P4: A → ~L

Assim, teremos o seguinte encadeamento:
B → ~A → B → ~L → A → ~L
Uma vez que estamos trabalhando apenas com estruturas condicionais, devemos
lembrar que a única situação inadmissível para uma condicional é V na primeira parte e F na
segunda. Assim, de modo que nunca ponhamos um V antes de um F, teremos os seguintes 
possíveis valores lógicos a serem analisados:


1ª 2ª 3ª 4ª 5ª 6ª
B → ~A → B → ~L → A → ~L
1ª linha: V V V V V V
2ª linha: F V V V V V
3ª linha: F F V V V V
4ª linha: F F F V V V
5ª linha: F F F F V V
6ª linha: F F F F F V
7ª linha: F F F F F F

Vamos analisar qual dessas linhas lógicas é aceitável.
- Análise da 1ª linha:
Na 2ª coluna de valores lógicos ~A é V e na 5ª coluna A também é V. Isto é
impossível! Daí devemos descartar esta 1ª linha!
- Análise da 2ª linha:
Devemos descartar essa linha pelo mesmo motivo dado na análise da 1ª linha!
- Análise da 3ª linha:
Na 1ª coluna de valores lógicos B é F e na terceira coluna B é V. Isto é impossível! Daí
devemos descartar esta 3ª linha!
- Análise da 4ª linha:
Não há contradições entre os valores lógicos, então mantemos esta linha!
- Análise da 5ª linha:
Na 4ª coluna de valores lógicos ~L é F e na sexta coluna ~L é V. Isto é impossível! Daí
devemos descartar esta 5ª linha!
- Análise da 6ª linha:
Devemos descartar essa linha pelo mesmo motivo dado na análise da 5ª linha!
- Análise da 7ª linha:
Devemos descartar essa linha pelo mesmo motivo dado na análise da 5ª linha!
Da 4ª linha que restou, obtemos os seguintes valores lógicos:
A é V , daí: André é inocente!
B é F , daí: Bruno é culpado!
~L é F (e L é V) , daí: Leo é inocente!
Portanto, a resposta é a alternativa C.


4) (Fiscal do Trabalho 2003 ESAF) Investigando uma fraude bancária, um famoso
detetive colheu evidências que o convenceram da verdade das seguintes
afirmações:
1) Se Homero é culpado, então João é culpado.
2) Se Homero é inocente, então João ou Adolfo são culpados.
3) Se Adolfo é inocente, então João é inocente.
4) Se Adolfo é culpado, então Homero é culpado.

As evidências colhidas pelo famoso detetive indicam, portanto, que:
a) Homero, João e Adolfo são inocentes.
b)) Homero, João e Adolfo são culpados.
c) Homero é culpado, mas João e Adolfo são inocentes.
d) Homero e João são inocentes, mas Adolfo é culpado.
e) Homero e Adolfo são culpados, mas João é inocente.

Solução:

Temos, no enunciado, as seguintes premissas:
P1: Se Homero é culpado, então João é culpado.
P2: Se Homero é inocente, então João ou Adolfo são culpados.
P3: Se Adolfo é inocente, então João é inocente.
P4: Se Adolfo é culpado, então Homero é culpado.
Os passos de resolução são os mesmos já nossos conhecidos.
Vamos escolher a proposição Homero é culpado que aparece na 1ª e 4ª premissas, e
atribuir o valor lógico V. Executaremos os seguintes passos abaixo, para testar esta hipótese
criada por nós, ou seja, para sabermos se está certo que Homero é culpado é V.

Teste da hipótese: Homero é culpado é V.
1º. V 2º. V
P1. Homero é culpado → João é culpado.
1º. F 3º. F
P2. Homero é inocente → (João ou Adolfo são culpados)
4º. F 3º. F
P3. Adolfo é inocente → João é inocente.
5º. V 1º. V
P4. Adolfo é culpado → Homero é culpado.

1º passo) Da hipótese Homero é culpado é V (em P1 e P4), teremos que: Homero é
inocente é F (em P2).
2º passo) P1 deve ser verdadeira, daí João é culpado tem que ser V.
3º passo) Como João é culpado é V, em P3 vamos atribuir a João é inocente o valor F e
na premissa P2 a disjunção João ou Adolfo são culpados vai ter valor V.
4º passo) P3 deve ser verdadeira, daí Adolfo é inocente tem que ser F.
5º passo) Como Adolfo é inocente é F, em P4 atribuiremos a Adolfo é culpado o valor V.
Resultados obtidos: Homero é culpado!
João é culpado!
Adolfo é culpado!
Não houve contradição entre os resultados obtidos! E todas as premissas assumiram o
valor lógico verdade!
Portanto, a resposta é a alternativa B.

5) (VUNESP/2011- Concurso TJM-SP – Analista de Sistemas (Judiciário)Todo PLATZ que não é PLUTZ é também PLETZ. Alguns PLATZ que são PLETZ também são PLITZ. A partir dessas afirmações, pode-se concluir que
a) alguns PLITZ são PLETZ e PLATZ.
b) existe PLATZ que não é PLUTZ nem é PLETZ
c) não existe PLUTZ que é apenas PLUTZ.
d) todo PLITZ é PLETZ.
e) existe PLITZ que é apenas PLITZ.
Solução:
Proposições:
  • Todo Platz que não é Plutz é também Pletz. Ou seja, Platz e Pletz são duas coisas ao mesmo tempo.
  • Alguns Platz também são Plitz. Ou seja, o Plitz pode ser Platz, mas isso não é uma regra geral.
  • A letra E é falsa porque não existe delimitação para o conjunto Plitz e ele não fica sozinho;
  • A letra B também está errada porque afima que existe Platz que não é Plutz nem é Pletz. Mas a afirmação do enunciado garante que "Todo Platz que não é Plutz é também Pletz."
  • A letra C está incorreta porque essa afirmação não é dita em nenhum momento do enunciado.
  • A letra D está incorreta porque não há uma regra em relação a isso também.

6) (CESPE/2011 – Concurso PC-ES – Cargos de Nível Superior) Uma pesquisa de rua feita no centro de Vitória constatou que, das pessoas entrevistadas, 60 não sabiam que a polícia civil do Espírito Santo possui delegacia com sistema online para registro ou denúncia de certos tipos de ocorrência e 85 não sabiam que uma denúncia caluniosa pode levar o denunciante à prisão por 2 a 8 anos, além do pagamento de multa. A partir dessas informações, julgue o item seguinte. Considerando-se que também foi constatado que 10 dos entrevistados não sabiam do canal de comunicação online nem das penalidades cabíveis a denúncias caluniosas, é correto concluir que 135 pessoas não tinham conhecimento de pelo menos uma dessas questões.
(     ) Certo
(     ) Errado
Solução:
resposta exercício 6
  • Pessoas que não sabiam do sistema e nem das penalidades=10
  • Retire essas 10 pessoas do número fornecido pelo enunciado para aquelas que não sabiam do sistema=60
  • O resultado é 135, pois ao somarmos 60+85-10=135.
Gabarito das QuestõesResposta Certa
Questão 1Letra E
Questão 2Letra D
Questão 3Letra A
Questão 4Letra E
Questão 5Letra E
Questão 6Certa

quinta-feira, 29 de novembro de 2012

número de linhas da tabela-verdade


O número de linhas da tabela-verdade de uma proposição composta depende do número de proposições simples que a integram, sendo dado pelo seguinte teorema:
“A tabela-verdade de uma proposição composta com n proposições simples componentes contém
2n (2 elevado a n) linhas”.


Vamos primeiro ver um exemplo construindo a tabela- verdade por uma proposição, depois, um exemplo construindo a tabela-verdade através de argumento.

Exemplo:

Dada a proposição P(p,q) = ~ (p ^ ~ q)
Primeiramente, calculamos o nº de linhas por 2n: 2² = 4 (o 2 da potência é porque só temos duas
variáveis, ou seja, p e q). Após sabermos o número de linhas que terá a tabela-verdade, vamos, agora, construí-la, através dos valores lógicos V e F.


Para a primeira proposição simples (p): 

Para valores Vs (verdadeiros), temos: p = 2n – 1, como n = 2, fica: 22 – 1 = 21 = 2 (significa que na primeira coluna, teremos dois valores Vs).
Usando o mesmo raciocínio, para valores Fs (falsos), concluímos que, teremos, também, dois valores Fs (falsos), na primeira coluna.
Nota: os valores Vs (verdadeiros) e Fs (falsos) vão se alternando de dois em dois, pois o resultado
de 2n – 1 foi 2.

Façamos, agora, para a segunda proposição (q):

Para valores Vs (verdadeiros), temos: q = 2n – 2, como n = 2, fica: 22 – 2 = 20 = 1 (significa que na segunda coluna, teremos um valor V). Pela mesma linha de raciocínio, para valores Fs (falsos), concluímos que teremos, também, um valor F.
Nota: os valores V (verdadeiro) e F (falso) vão se alternando de um em um, pois o resultado de 2n – 2 foi 1.
O candidato pode perguntar por que em relação à primeira premissa a potência foi n – 1 e em relação à segunda premissa a potência foi n – 2.
A resposta é: fundamenta-se na fórmula 2n / 2k = 2n - k onde n são os valores lógicos e k são as premissas.
Então, no nosso caso, ficamos assim:

Para a primeira premissa: 22 / 21 = 22 - 1, o 2 (potência) é porque os valores lógicos são V e F e o 1 (potência), porque é em relação à 1ª premissa.
Para a segunda premissa: 22 / 22 = 22 – 2, o primeiro 2 (potência) é porque os valores lógicos são V e F e o segundo 2 (potência) é porque a premissa é a segunda.
Agora, vamos montar a tabela-verdade:



p             q              ~q                p ^ ~q               ~(p ^ ~q)
_______________________________________________
V            V               F                   F                    V
V            F               V                   V                    F
F            V               F                   F                    V
F            F               V                   F                    V


Pela tabela-verdade, vemos que na primeira coluna existem dois Vs e dois Fs, enquanto na segunda
existe um V e um F, alternando-se, como foi comprovado no cálculo acima.

quarta-feira, 28 de novembro de 2012

implicações e equivalências lógicas exercícios

 Artigo sobre implicações e equivalências lógicas com exercícios para uma melhor compreensão do assunto.

Uma proposição P implica na proposição Q se e somente se a tabela verdade de ® Q for uma uma tautologia.


O símbolo P ⇒ Q (P implica Q) representa a implicação lógica. 

        A implicação lógica goza das seguintes propriedades:
P1 – Reflexiva. Isto é P Þ P.
P2 – Transitividade. Isto é P Þ Q e Q Þ S então P Þ S.
       A transitividade pode ser estendida a qualquer série de proposições: P Þ R e R Þ S e S Þ ...Þ X então P Þ X.


Estão abaixo as implicações lógicas fundamentais:
p => p v q         
p ^ q => p
(p v q) ^ ~p => q 
(p → q) ^ p => q        (Modus ponens)
(p → q) ^ ~q => ~p    (Modus tollens)
(p → q) ^ (q → r) => p → r    (Silogismo hipotético)
p ↔ q => p →q 
p ↔ q => q →p
(p↔q) ^ p => q

As implicações que estão destacadas em vermelho são as mais importantes regras de inferência, e as que mais aparecem em questões de concurso. No mais, apenas grave: a implicação (=>) para fins de cálculo lógico, corresponde a condicional (→).


Equivalência lógica

 Há equivalência entre as proposições P e Q quando tiverem a mesma tabela-verdade ou  quando a bicondicional P ↔ Q for uma tautologia. P ⇔ Q (P é equivalente a Q) é o símbolo que representa a equivalência lógica. 
      

 Para exemplificar, tomemos as seguintes proposições (p → q) ↔ (~q → ~p) criando suas tabelas-verdades.


Portanto, p → q é equivalente a ~q → ~p, pois estas proposições possuem a mesma tabela-verdade ou a bicondicional (p → q) ↔ (~q → ~p) é uma tautologia.

Equivalências lógicas válidas:

~~p <=> p          (dupla negação)
~p → p <=> p     (Clavius)
p →q <=> ~p v q
p ↔ q <=> (p → q) ^ (q →p)
p ↔ q <=> (p ^ q) v (~p ^ ~q)
p → q <=> ~q → ~p
p → p ^ q <=> p → q      (absorção)
p ^ ~q → c <=> p → q
p ^ q → r <=> p → (q → r)   (exportação-importação)

Destacadas em vermelho, as equivalências lógicas mais usadas em resoluções de questões.


Uma diferença importantíssima entre a implicação e equivalência reside no fato de que, na implicação, só há o caminho de ida, não existe o de volta. Ou melhor, toda equivalência é uma implicação lógica por natureza. Diferentemente, a implicação não se trata necessariamente de uma equivalência lógica. Podemos então dizer que toda equivalência é uma implicação lógica, mas nem toda implicação é uma equivalência lógica. Assim:

p ^ q => p (certo)
O caminho de volta pode estar errado se desejado:
p => p ^ q (errado)


Na equivalência, pode-se ir e vir entre duas proposições. Temos:
(~p v q) <=> (p → q)
O caminho de volta seria perfeitamente válido:
(~p v q) <=> (p → q)

Em outras palavras:dizer que p ^ q <=> p é a mesma coisa que afirmar que p ^ q => p. Porém p ^ q => p
não é a mesma coisa de dizer que p <=> p ^ q

Exercícios

1) (FCC TCE-MG 2007) São dadas as seguintes proposições:

I. Se Jaime trabalha no Tribunal de Contas, então ele é eficiente.
II. Se Jaime não trabalha no Tribunal de Contas, então ele não é eficiente.
III. Não é verdade que Jaime trabalha no Tribunal de Contas e não é eficiente.
IV. Jaime é eficiente ou não trabalha no Tribunal de Contas.


É correto afirmar que são logicamente equivalentes apenas as proposições de números:
a) 2 e 4
b) 2 e 3
c) 2, 3 e 4
d) 1, 2 e 3
e) 1, 3 e 4 **gabarito**

------------------
 resolução:

Simplificamos primeiro as proposições:
I) Trabalha --> eficiente
II) ~Trabalha --> ~eficiente
III) ~(trabalha ^ ~eficiente)
IV) eficiente v ~trabalha

Agora buscamos as equivalências lógicas.

I) Trabalha --> eficiente
é equivalente a essas duas:
~eficiente --> ~Trabalha
~trabalha v eficiente
II) ~Trabalha --> ~eficiente
é equivalente a essas duas:
eficiente --> trabalha
trabalha v ~eficiente

III) ~(trabalha ^ ~eficiente)
é equivalente a:
~trabalha v eficiente
(a negação de p ^ q é ~p v ~q)

IV) eficiente v ~trabalha
é equivalente a essas duas:
~eficiente --> ~trabalha
trabalha --> eficiente

em cores, todas as equivalências em comum. 

letra E, a correta.

2. Mostrar que as proposições “x = 1 v x ³ 3” e “~(x < 3 ^ x = 1)” não são equivalentes.
3. Demonstre as relações abaixo utilizando as tabelas-verdade:
a)    ® q Ù r  Û  ( p ® q ) Ù ( p ® r )
b)    ® q Ú r Û ( p ® q ) Ú ( p ® r )
c)    Ù q ® r Û p ® ( q ® r )
d)    ~( ~p ® ~q ) Û ~p Ù q
e)    ~( p Ù q Ù r ) Û ~p Ú ~q Ú ~r
f)      ~( p Ú q Ú  r ) Û ~p Ù ~q Ù ~r







exercícios resolvidos Tautologia


Artigo sobre tautologia, contradição e contingência teoria e exercícios resolvidos

Sentenças moleculares que são sempre verdadeiras, independentemente do valor lógico das proposições que a constituem, são chamadas tautologias.


Exemplo:
A proposição p ∨ (~p) é uma tautologia, pois o seu valor lógico é sempre V, conforme a tabela-verdade. 
Exemplo:
A proposição (p Λ q) → (p → q) é uma tautologia, pois a última coluna da tabela-verdade só possui V. 
Exercícios resolvidos sobre tautologia 

1) (SEBRAE- 2010 - UNB/Cespe) Julgue o item subseqüente.

A proposição [¬B]∨{[¬B]→A} é uma tautologia.
Solução:
Certo. Primeiro é necessário construir a tabela-verdade dessa proposição.
AB¬B[¬B]→A[¬B]∨{[¬B]→A}
VVFVV
VFVVV
FVFVV
FFVFV

Uma vez que a última coluna da tabela acima contém somente o valor lógicos V, a proposição [¬B]∨{[¬B]→A} é uma tautologia.

2) (FT_98) Chama-se tautologia a toda proposição que é sempre verdadeira, independentemente da verdade dos termos que a compõem. Um exemplo de tautologia é:

a) se João é alto, então João é alto ou Guilherme é gordo
b) se João é alto, então João é alto e Guilherme é gordo
c) se João é alto ou Guilherme é gordo, então Guilherme é gordo
d) se João é alto ou Guilherme é gordo, então João é alto e Guilherme é gordo
e) se João é alto ou não é alto, então Guilherme é gordo

Solução:
________________________________________________________________________
Analisando a proposição se João é alto, então João é
alto ou Guilherme é gordo
Logo, essa proposição representa uma tautologia.
Alternativa: A

3) Considere as fórmulas:
I - (p v q) → p
II - (p ^ q) → p
III - (p ^ q) → (p V q)

É(São) tautologia(s) a(s) fórmula(s):


a)opção (A) I, somente.              b) opção (B) II, somente.
c) opção (C) III, somente.          d) opção (D) I e III, somente.
e) opção (E) I, II e III.

Contradição
Contradição é uma proposição cujo valor lógico é sempre falso.
Exemplo:
A proposição (p Λ q) Λ (p Λ q) é uma contradição, pois o seu valor lógico é sempre F conforme a tabela-verdade. Que significa que uma proposição não pode ser falsa e verdadeira ao mesmo tempo, isto é, o principio da não contradição.
Contingência 
Quando uma proposição não é tautológica nem contraválida, a chamamos de contingência ou proposição contingente ou proposição indeterminada.

terça-feira, 27 de novembro de 2012

Negação das proposições compostas

Nesse artigo será abordado o tema negação das proposições compostas na lógica das proposições.

Um problema de grande importância para a lógica é o da identificação de proposições
equivalentes à negação de uma proposição dada. Negar uma proposição simples é uma tarefa que não oferece grandes obstáculos. Entretanto, podem surgir algumas dificuldades quando procuramos
identificar a negação de uma proposição composta.

Como vimos anteriormente, a negação de uma proposição deve ter sempre valor lógico oposto
ao da proposição dada. Deste modo, sempre que uma proposição A for verdadeira, a sua negação
não A deve ser falsa e sempre que A for falsa, não A deve ser verdadeira. Em outras palavras, a negação de uma proposição deve ser contraditória com a proposição dada.

A tabela abaixo mostra as equivalências mais comuns para as negações de algumas
proposições compostas:

Proposição Negação direta Equivalente da Negação

Proposição             Negação direta            Equivalente da negação

A e B                     Não (A e B)                   Não A ou não B

A ou B                   Não (A ou B)                 Não A e não B

Se A então B          Não (se A então B)         A e não B

A se e                    Não (A se e                    [(A e não B) ou
somente se B          somente se B)                 (B e não A)]

Todo A é B            Não (todo A é B)            Algum A não é B

Algum A é B          Não (algum A é B)          Nenhum A é B



Negação da operação da Conjunção. “p e q”

¬(P ^ Q )  <=> ¬P v ¬Q    (Lei de Morgan)
Para negarmos uma proposição composta ligada pelo conectivo operacional “E” , basta negarmos ambas as proposições individuais(simples) e trocarmos o conectivo  “e” pelo conectivo”ou”. Ou seja, transformaremos uma conjunção em uma disjunção. Vejamos;
Ex:“Pedro é Mineiro e João é Capixaba”.
  • P= Maria é Paulista
  • Q= João é Cearense
Negando-a ,temos;
Maria não é paulista ou João não é cearense.
Pela tabela verdade podemos” confirmar” a negação da proposição.


P
Q
P ^ Q
¬(P ^ Q)
¬P
¬Q
¬P v ¬Q
V
V
V
F
F
F
F
V
F
F
V
F
V
V
F
V
F
V
V
F
V
F
F
F
V
V
V
V





Negação da operação da Disjunção Inclusiva. “p ou q”

P v Q  <=>  ¬P ^ ¬Q  Lei de Morgan
Para negarmos uma proposição composta ligada pelo conectivo operacional “OU” , basta negarmos ambas as proposições individuais(simples) e trocarmos o conectivo  “ou” pelo conectivo”e”. Ou seja, “transformaremos” uma disjunção inclusiva em uma conjunção. Vejamos;
“Paulo é estudioso ou Marina é Bonita”.
  • P= Paulo é estudioso
  • Q= Marina é bonita
Negando-a, temos;
“Paulo não é estudioso Marina não é bonita”  .
Pela tabela verdade podemos” confirmar” a negação da proposição.


P
Q
P v Q
¬(P v Q)
¬P
¬Q
¬P ^ ¬Q
V
V
V
F
F
F
F
V
F
V
F
F
V
F
F
V
V
F
V
F
F
F
F
F
V
V
V
V





Negação da operação da Disjunção Exclusiva. “ou p ou q”

¬(P v Q) <=> P ↔ Q
Para negarmos uma proposição com a estrutura de uma disjunção exclusiva , transformá-la-emos  em uma estrutura bicondicional. Vejamos:
“Ou Paulo é feio ou Márcio é físico”.
  • P= Paulo é feio
  • Q= Márcio é físico
Negando-a temos;
“Paulo é feio se e somente se Márcio é físico.”

Pela tabela verdade podemos” confirmar” a negação da proposição


P
Q
P v Q
¬(P v Q)
P ↔ Q
V
V
F
V
V
V
F
V
F
F
F
V
V
F
F
F
F
F
V
V



Obviamente podemos perceber que a negação de uma estrutura bicondicional é também a disjunção exclusiva.

Negação da operação da condicional.

¬ (p → q) <=> p^ ¬q
Para negarmos uma proposição condicional, repete-se a primeira parte troca-se o conectivo por “e” e nega-se a segunda parte.Vejamos
Ex: Se sou inteligente então passarei de ano.
  • P= Sou inteligente
  • Q= Passarei de ano
Negando-a, temos;
“Sou inteligente e não passarei de ano”
Pela tabela verdade podemos” confirmar” a negação da proposição.


P
Q
→ Q
¬(P → Q)
¬Q
P ^ ¬Q
V
V
V
F
F
F
V
F
F
V
V
V
F
V
V
F
F
F
F
F
V
F
V
F



 Negação da operação da bicondicional

Da equivalência p 
« q Û (~p Ú q) Ù  (~q Ú p), tira-se ~(p « q) Û ~[(~p Ú q) Ù  (~q Ú p)].

Usando a negação da conjunção:
~(p 
« q) Û ~[(~p Ú q) Ù  (~q Ú p)] Û ~(~p Ú q) Ú  ~(~q Ú p).

Aplicando a negação da disjunção nos dois termos, resulta:
~(p 
« q) Û (p Ù ~q) Ú  (q Ù ~p).

Usando a distributividade da disjunção em relação à conjunção:

~(p « q) Û [(p Ù ~q) Ú q] Ù [(p Ù ~q) Ú (~p)]

Reaplicando a distributividade da disjunção em relação à conjunção:
~(p 
« q) Û [(Ú q) Ù (~q Ú q)] Ù [(Ú ~p) Ù (~q Ú ~p) ]. 
 Ora, 
(~q Ú q)  e (p Ú ~p) são verdades absolutas. O julgamento de uma proposição qualquer ligada a uma verdade absoluta pelo conectivo "e", depende apenas da veracidade ou não de tal proposição.
Deste modo, conclui-se que:

~(p « q) Û (Ú q) Ù (~q Ú ~p).