Artigo com questões resolvidas sobre perímetro de figuras planas.
1) Calcule o perímetro da figura abaixo:
O perímetro de uma figura é representado por 2p.
Assim, o perímetro da figura abaixo será:
Assim, o perímetro da figura abaixo será:
2p = 10 cm + 9 cm + 10 cm + 9cm = 38 cm
2) Calcule o perímetro da figura abaixo:
Solução:
2p = 7 cm + 2 cm + 2 cm + 2 cm + 3 cm + 2 cm + 3 cm + 5 cm = 26 cm
3) (ENEM-2011) Em uma certa cidade, os moradores de um bairro carente de espaços de lazer reivindicam à prefeitura municipal a construção de uma praça. A prefeitura concorda com a solicitação e afirma que irá construí-la em formato retangular devido às características técnicas do terreno. Restrições de natureza orçamentária impõem que sejam gastos, no máximo, 180 m de tela para cercar a praça. A prefeitura apresenta aos moradores desse bairro as medidas dos terrenos disponíveis para a construção da praça:
- Terreno 1: 55 m por 45 m
- Terreno 2: 55 m por 55 m
- Terreno 3: 60 m por 30 m
- Terreno 4: 70 m por 20 m
- Terreno 5: 95 m por 85 m
Para optar pelo terreno de maior área, que atenda às restrições impostas pela prefeitura, os moradores deverão escolher o terreno
- A) 1.
- B) 2.
- C) 3.
- D) 4.
- E) 5.
Solução:
Esta questão é solucionada meio que de forma empírica, pois temos que testar as opções disponíveis para descobrir a que satisfaz todas as condições do enunciado.
Como sabemos, perímetro é a medida do contorno que limita uma figura plana, em outras palavras, é a soma da medida dos lados de um polígono.
Como para cercar a praça devem ser utilizados no máximo 180 m de tela, esta deve ser a medida do perímetro da praça com formato retangular.
Os dois primeiros terrenos devem ser descartados, pois têm perímetro de 200 m e 220 m respectivamente, maiores que os 180 m liberados.
O quinto terreno também deve ser descartado, mas esta opção pode confundir alguns estudantes, visto que a soma de 95 m com 85 m resulta exatamente em 180 m, mas na verdade o seu perímetro é o dobro desta medida: 360 m.
O perímetro dos outros dois terrenos é exatamente igual a 180 m:
- Terreno 3:
- Terreno 4:
Nos resta descobrir o terreno que possui maior área:
- Terreno 3:
- Terreno 4:
Logo os moradores deverão escolher o terceiro terreno.
Mas note que há uma forma de sabermos qual dentre os dois é o terreno que possui a maior área, sem necessariamente as calcular. Se estiver interessado em conhecê-la, por favor, acesse o nosso artigo por que a área de um quadrado é maior que a área de qualquer retângulo de mesmo perímetro?
C é a alternativa correta.
4) Se o perímetro de um quadrado é de 64 cm, qual é a medida de cada lado desse quadrado?
Solução:
Sabemos que o quadrado é um quadrilátero com todos os lados congruentes (com a mesma medida). Dessa forma, para determinar a medida de cada lado teremos que dividir o perímetro por 4.
Assim,
L = 64 ÷ 4 = 16 cm
Assim,
L = 64 ÷ 4 = 16 cm
5) Um fazendeiro pretende cercar um terreno retangular de 120 m de comprimento por 90 m de largura. Sabe-se que a cerca terá 5 fios de arame. Quantos metros de arame serão necessários para fazer a cerca? Se o metro de arame custa R$ 15,00, qual será o valor total gasto pelo fazendeiro?
Solução:
Imagine que a cerca terá somente um fio de arame. O total de arame gasto para contornar todo o terreno será igual à medida do perímetro da figura. Como a cerca terá 5 fios de arame, o total gasto será 5 vezes o valor do perímetro.
Cálculo do perímetro:
2p = 120m + 90m + 120m + 90m = 420 m
Total de arame gasto:
5*420 = 2100 m de arame para fazer a cerca.
Como cada metro de arame custa R$ 15,00, o gasto total com a cerca será de:
2100*15 = R$ 31. 500,00
Solução:
Imagine que a cerca terá somente um fio de arame. O total de arame gasto para contornar todo o terreno será igual à medida do perímetro da figura. Como a cerca terá 5 fios de arame, o total gasto será 5 vezes o valor do perímetro.
Cálculo do perímetro:
2p = 120m + 90m + 120m + 90m = 420 m
Total de arame gasto:
5*420 = 2100 m de arame para fazer a cerca.
Como cada metro de arame custa R$ 15,00, o gasto total com a cerca será de:
2100*15 = R$ 31. 500,00
6) Calcular a área de um triângulo retângulo conhecendo o seu perímetro 2p e a altura h relativa à hipotenusa.
Resolução:
Sendo o triângulo retângulo de hipotenusa "a", catetos "b" e "c" e altura relativa à hipotenusa "h". Se sabemos seu perímetro:
a + b + c = 2p
Elevando tudo ao quadrado:
a + b + c = 2p
a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac = 4p2
Pelo teorema de Pitágoras b2 + c2 = a2, então:
a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac = 4p2
a2 + a2 + 2ab + 2bc + 2ac = 4p2
Chamando a área do triângulo de A, que é a base vezes a altura sobre 2:
ah/2 = A
a = 2A/h
Ou então a área pode ser o produto dos catetos sobre 2:
bc/2 = A
bc = 2A
Então podemos continuar usando isso:
a2 + a2 + 2ab + 2bc + 2ac = 4p2
2a2 + 2ab + 2bc + 2ac = 4p2
2a2 + 2ab + 4A + 2ac = 4p2
2a2 + 2a.(b + c) + 4A = 4p2
E aqui vamos achar que como a + b + c = 2p:
a + b + c = 2p
b + c = 2p - a
Colocando isso também na equação e no lugar de "a" colocando sempre 2A/h:
2a2 + 2a.(b + c) + 4A = 4p2
2a2 + 2a.(2p - a) + 4A = 4p2
2(2A/h)2 + 2(2A/h).(2p - 2A/h) + 4A = 4p2
7) As diagonais de um losango medem 10cm e 24cm. Determine o perímetro do losango.?
Solução:
Se é um losango as duas diagonais se cruzam no ponto médio de cada uma, dai basta achar a hipotenusa do triangulo formado pela metade desses segmentos
x² = 5² + 12²
x² = 25 + 144
x² = 169
x = raiz(169)
x = 13
logo cada lado do losango vale 13
então o perímetro é igual a:
P =13 x 4 = 52 cm
8) Demonstre que o triângulo de vértices A(8 , 2), B(3 , 7) e C(2 , 1) é isósceles. Em seguida, calcule seu perímetro.
Solução:
.gif)
.gif)
Magda tem 23 m de rede.
Solução:
10) O perímetro de um retângulo mede 92 cm, quais são suas medidas, sabendo-se que contem 8cm a mais que a largura? Calcule.
Solução:
P = x+x= 92
x + x + 8= 92
2x + 8= 92
2x= 92-8
2x= 84
x= 84/2
x= 42
42+8= 50
x² = 5² + 12²
x² = 25 + 144
x² = 169
x = raiz(169)
x = 13
logo cada lado do losango vale 13
então o perímetro é igual a:
P =13 x 4 = 52 cm
8) Demonstre que o triângulo de vértices A(8 , 2), B(3 , 7) e C(2 , 1) é isósceles. Em seguida, calcule seu perímetro.
Solução:
Para demonstrar que o triângulo ABC é isósceles se faz necessário mostrar que ele possui dois lados com a mesma medida. Assim, vamos calcular a distância entres seus vértices, que será a medida de cada lado.
Agora, vamos calcular o seu perímetro. Lembrando que perímetro é a soma das medidas dos lados e é representado por 2P, temos:
9) Magda pretende cercar vários canteiros retangulares no seu jardim, separados uns dos outros, para plantar flores. Todos os canteiros são retangulares, com 1,2 m de comprimento e 0,5 m de largura.
Magda tem 23 m de rede.
Quantos canteiros pode a Magda cercar?
P= 2 x 1,2 m + 2 x 0,5 m = 3,4 m
23 m : 3,4 m = 6 canteiros
Sobrou rede? Se sim, quantos metros?
6 x 3,4 m = 20,4 m
23 m - 20,4 m= 2,6 m
Resposta: Sobrou 2,6 m de rede
10) O perímetro de um retângulo mede 92 cm, quais são suas medidas, sabendo-se que contem 8cm a mais que a largura? Calcule.
Solução:
P = x+x= 92
x + x + 8= 92
2x + 8= 92
2x= 92-8
2x= 84
x= 84/2
x= 42
42+8= 50
As medidas seriam?
ResponderExcluirOs valores da 2 estão errados. A altura total é 5cm, porém a altura de cada degrau é 2cm, como temos 3 degraus: 3 x 2 = 5 => 6 ≠ 5. O comprimento também está errado: 2 x 3 + 2 = 7 => 8 ≠ 7. Fui tentar calcular a área e descobri o erro.
ResponderExcluirExercício 3: Por que a área foi dividida por dois, o terreno não é retangular? Fórmula da área do retângulo A= b.h
ResponderExcluiro resultado da 10 está errado, pois ele esta fazendo como se o perimetro fosse lado mais lado, porem sao os quatro lados que terao que ser usados.
ResponderExcluirseria: P= X+X+X+8+X+8=92
4X+16=92
4X=92-16
4X=76
X=76:4
X=19
19+8=27
P=19+19+27+27=92