Tetraedros regulares questões

Artigo sobre tetraedros, área e volume dos tetraedros com questões resolvidas e propostas. 

O tetraedro regular é um sólido platônico representante do elemento fogo, figura geométrica espacial formada por quatro triângulos equiláteros (triângulos que possuem lados com medidas iguais); possui 4 vértices , 4 faces e 6 arestas.

Um tetraedro regular é um poliedro regular formado por 4 triângulos equiláteros iguais. 

Características do tetraedro
Número de faces: 4.

Número de vértices: 4.

Número de arestas: 6.

Apótema e altura de um tetraedro regular

O Apótema lateral(g) de um tetraedro regular é dado pela fórmula:

 g = a/ 2

A altura de um tetraedro regular de aresta a, é dada por:

 

Área total e área lateral de um tetraedro regular

A área total de um tetraedro regular é igual a 4 vezes a área de uma face. Sendo a face um triângulo     equilátero de lado a, temos:

Aface = a²√3 / 4

Então a área total de um tetraedro regular de aresta a é dada por:

At = 4 * Aface = 4 * a²√3 / 4 

At =  a²

_{A área lateral do tetraedro regular é igual a três vezes a área de uma face. A quarta face corresponde à base da pirâmide.}

_{Então a área lateral é:}

_{Al = 3 *} a²√3 / 4

Volume do tetraedro regular

Questões tetraedros regulares

1) A aresta de um tetraedro regular mede 9 cm. calcule a medida da altura, do apótema, a área lateral e área total desse tetraedro.

Solução:

Cálculo da altura:

A medida da altura é dada por:

, onde a = 9 cm

Portanto:

h = 9√3 / 3

h = 3√3 cm.

A altura mede 3√3 cm.

Cálculo do apótema:

A medida do apótema é dada por

 g = a/ 2, com a = 9 cm.

Portanto:

 g = a/ 2  ► g = 4,5√3 cm.

O apótema mede 4,5√3 cm.

Cálculo da área lateral

A área lateral é dada por

_{Al = 3 *} a²√3 / 4 = 3 * 81√3 / 4  = 60,75√3 

A área lateral é 60,75√3 cm.

2) Calcule a área total e o volume de um tetraedro regular de 4 cm de aresta.

Solução: 

primeiro vamos calcular a área total.

3) (FUVEST-2012) Em um tetraedro regular de lado a, a distância entre os pontos médios de duas arestas não adjacentes é igual a:

a) a√3                 b) a√2                 c) a√3 / 2               d) a√2 / 2               e) a√2 / 4

Solução:

Considerando o seguinte tetraedro regular de lado :

Como a distância entre 2 arestas não adjacentes (reversas) é a medida do segmento perpendicular a ambas (no caso MN). Podemos considerar o triângulo abaixo:

4) (UFRJ) Um artesão retirou, de uma pedra com a forma inicial de um prisma triangular reto de base EBD, um tetraedro regular VABC. Observe a figura abaixo:

Considere os seguintes dados:
∙ os vértices A e V pertencem a duas faces laterais do prisma;
∙  1 m.
Determine o volume inicial da pedra.

Solução:

De acordo com a figura, as faces VBC e ABC do tetraedro regular encontram-se inscritas nas faces laterais BCFD e BCGE, respectivamente. Então, o ângulo DBE é congruente ao ângulo da seção meridiana VMA que contém o ponto M, médio de BC. Aplicando a lei dos cossenos a esse triângulo, obtém-se:

Substituindo os valores numéricos e resolvendo a equação resultante tem-se:

Como os ângulos VMA e EBD são congruentes, conclui-se que:

 

Calculando o volume do prisma:

5) A área total de um tetraedro regular é 1296√3 cm². Determine sua altura.

Solução:

A área total é dada por  a²_{, onde a é a medida da aresta.}

Então temos:

 a² ₌ 1296√3 ► a² = 1296 ► a = 36

Assim sendo, a aresta  mede 36 cm.

Como a altura é dada  por , temos:

h = 36√6 / 3 ► h = 12√6 cm

A alturas mede 12√6 cm.

  

6) (SJRP - JUNDIAÍ) Os vértices de um tetraedro regular de volume 1m³ são centros das faces de outro tetraedro regular. O volume deste outro tetraedro vale: 

a) 1 m³           b) 3m³           c) 9m³           d) 27m³             e) 81m³

7) Se a área de um tetraedro é regular é 48√3 m², qual a sua área total?

8) (LONDRINA) O tetraedro regular ABCD tem centro O. O ângulo diedro de faces OAB e OAC mede:

 a) 30°                 b) 60°             c) 120°                d) 135°                  e) 150°

Gabarito:

6) D  7) 64√3 m²  8) D