regra de três simples e composta questões resolvidas e propostas

1) Para esvaziar um compartimento com 700m³ de capacidade, 3 ralos levaram 7 horas para fazê-lo. Se o compartimento tivesse 500m³ de capacidade, ao utilizarmos 5 ralos quantas horas seriam necessárias para esvaziá-lo?

Primeiramente atribuamos uma letra a cada grandeza:

• M: A capacidade em metros cúbicos do compartimento;
• R: A quantidade de ralos;
• H: A duração da operação de esvaziamento em horas.

A representação para a análise do problema, obtida segundo os dados do enunciado é a seguinte:

Observe que na montagem a grandeza que estamos procurando (H), está posicionada à direita (poderia estar à esquerda), o que facilmente nos permitirá deixar a razão com o termo x isolada.

Agora vamos determinar se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais em relação à grandezaH. Para isto utilizaremos setas com a mesma orientação para indicar grandezas diretamente proporcionais e com orientação inversa para indicar o oposto.

Vamos arbitrar que a orientação da grandeza H seja para baixo:

Agora vejamos se H e M são diretamente proporcionais ou não. Sabemos que ao diminuirmos a capacidade do compartimento, também iremos diminuir o tempo necessário para esvaziá-lo, então logicamente as duas grandezas são diretamente proporcionais, então a seta de M terá a mesma orientação da seta de H que é para baixo:

Determinemos se R e H são diretamente ou inversamente proporcionais. Ao aumentarmos a quantidade de ralos, automaticamente iremos diminuir o tempo necessário para esvaziar o compartimento, isto indica que as duas grandezas são inversamente proporcionais, então a seta de R será orientada para cima, direção oposta a da seta de H:

Agora devemos deixar todas as grandezas com a mesma orientação. Neste caso somente a grandeza R possui orientação oposta à da grandeza H e por isto somente ela será invertida, tanto a seta, quanto os seus elementos:

Por último podemos montar a proporção e resolvê-la:

Portanto com 5 ralos poderíamos esvaziar 500m³ em três horas.

2) Duas costureiras trabalhando 3 dias, 8 horas por dia, produzem 10 vestidos. Se 3 costureiras trabalharem por 5 dias, quantas horas ela precisarão trabalhar por dia para produzirem 25 vestidos?

Vamos atribuir uma letra a cada grandeza:

• C: O número de costureiras;
• D: O número de dias de trabalho;
• J: A jornada de trabalho diária;
• P: A produção de vestidos.

Segundo os dados do enunciado a representação para a análise do problema é a seguinte:

Note que na montagem a grandeza J foi posicionada à direita para que facilmente possamos isolá-la no último passo.

Agora vamos determinar se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais em relação à grandezaJ. Para isto utilizaremos setas com a mesma orientação para indicar grandezas diretamente proporcionais e com orientação inversa para indicar o oposto.

Segundo a lógica da orientação das setas, vamos arbitrar que a orientação da grandeza J seja para baixo para começarmos a análise:

C é inversamente proporcional a J, pois se aumentando o número de costureiras pode-se diminuir a jornada de trabalho para uma mesma produção:

D é inversamente proporcional a J, já que se aumentando o número de dias de trabalho pode-se diminuir a jornada de trabalho para uma mesma produção:

P é diretamente proporcional a J, já que se aumentarmos a produção de vestidos, teremos que aumentar a jornada de trabalho para um mesmo número de costureiras e dias de trabalho:

Deixemos agora todas as grandezas com a mesma orientação. As grandezas C e D são inversamente proporcionais à J, por isto as duas serão invertidas:

Montemos finalmente a proporção para a resolução do problema:

3) Cinco dias do trabalho de 3 costureiras podem render 25 vestidos sem que se altere a jornada diária de trabalho, ou seja, elas ainda continuarão a trabalhar 8 horas por dia.

Um automóvel percorre um espaço de 480 Km em 02 horas. Quantos kms ele percorrerá em 06 horas? 

Grandeza 1: Distância percorrida

Grandeza 2: Tempo necessário 

Cálculo:

Distância 1  =  480 Km - 02 horas

Distância 2  =   ?   Km - 06 horas 

01 hora percorrida = 240 km

06 horas percorrida = 240 Km x 6

Resultado: 1440 Kms

Método mais prático de solução da regra de três simples

Faça um X  na equação, pegue o primeiro número de cima (480) e multiplique pelo segundo número de baixo (06) depois é só dividir pelo número que restou (02) - O que você deseja saber está em Km, portanto a resposta será em Km

480 km - 02 horas

            X

  ?   km - 06 horas 

Resp: ? = 480 . 06 / 02 = 1440 Km

4) Se 10 carros consomem  em 05 dias a quantidade de 1000 litros de gasolina, quantos carros usaremos  para consumir somente 500 litros de gasolina no espaço de  02 dias??

Grandeza 1: Número de carros

Grandeza 2: Número de dias

Grandeza 3: Quantidade combustível 

Método mais prático de solução da regra de três composta 

Faça a comparação da grandeza que irá determinar com as demais grandezas. Se esta grandeza for inversa, invertemos os dados dessa grandeza das demais grandezas. 

A grandeza a se determinar não se altera, então, igualamos a razão das grandezas e determinamos o valor que se procura. 

Veja: 

Na alimentação de 02 bois, durante 08 dias, são consumidos 2420 kgs de ração. Se  mais 02 bois são comprados, quantos quilos de ração serão necessários para alimentá-los durante 12 dias.

Assim: serão necessários 7260 Kgs de ração

5) Se 10 metros de um tecido custam R$ 50,00, quanto custará 22 metros ?

Solução: O problema envolve duas grandezas (quantidade de tecidos e preço da compra) 

          

Assim: 22 metros custarão R$ 110,00 

6) Em 06 dias de trabalho, 12 confeiteiros fazem 960 tortas. Em quantos dias 04 confeiteiros poderão fazer 320 tortas

Solução: O problema envolve três grandezas (tempo, número de confeiteiros, quantidade de tortas) 

7) (UFRGS-RS) Se foram empregados 4 kg de fios para tecer 14 m de uma maquete de fazenda com 80 cm de largura, quantos quilogramas serão necessários para produzir 350 m de uma maquete de fazenda com 120 cm largura?

Serão necessários 150 kg de fios para produzir uma maquete de fazenda de 350 m com 120 cm de largura. 

8) (Unifor–CE) Um texto ocupa 6 páginas de 45 linhas cada uma, com 80 letras (ou espaços) em cada linha. Para torná-lo mais legível, diminui-se para 30 o número de linhas por página e para 40 o número de letras (ou espaços) por linha. Considerando as novas condições, determine o número de páginas ocupadas. 


O número de páginas a serem ocupadas pelo texto respeitando as novas condições é igual a 18.

9) Um navio partiu do porto do Itaqui para uma viagem em alto mar levando a bordo reservas suficientes para alimentar seus 20 tripulantes durante 30 dias. Logo após a partida do navio, percebeu-se a presença de 4 tripulantes clandestinos. Nessas condições, quantos dias ainda vão durar as reservas de alimentos? 

Solução:

Note que se aumentarmos o número de tripulantes (no caso, 20 + 4), as reservas de alimento (x) diminuem. Portanto, são grandezas inversamente proporcionais (IP). Quando temos grandezas IP, a regra é a seguinte: a razão entre dois valores de uma é igual ao inverso da razão entre os dois valores correspondentes na outra. Então nossa proporção fica assim: 

Em toda proporção, o produto dos meios é igual ao produto dos extremos, portanto 

Logo, as reservas de alimentos vão durar 25 dias.

10) Trabalhando 8 horas por dia, durante 14 dias, Maurício recebeu R$ 2.100,00. Se trabalhar 6 horas por dia, durante quantos dias ele deve trabalhar para receber R$ 2 700,00?

h/d	Dias	R$
8	14	2100
6	x	2700

Ele deverá trabalhar 24 dias. 

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

1) (UFRGS-RS)

Se foram empregados 4 kg de fios para tecer 14 m de uma maquete de fazenda com 80 cm de largura, quantos quilogramas serão necessários para produzir 350 m de uma maquete de fazenda com 120 cm largura?

2) (UFMG)

Uma empresa tem 750 empregados e comprou marmitas individuais congeladas suficientes para o almoço deles durante 25 dias. Se essa empresa tivesse mais 500 empregados, a quantidade de marmitas adquiridas seria suficiente para quantos dias? 

3) (Unifor–CE)

Um texto ocupa 6 páginas de 45 linhas cada uma, com 80 letras (ou espaços) em cada linha. Para torná-lo mais legível, diminui-se para 30 o número de linhas por página e para 40 o número de letras (ou espaços) por linha. Considerando as novas condições, determine o número de páginas ocupadas. 

4) (Unifor–CE)

Se 6 impressoras iguais produzem 1000 panfletos em 40 minutos, em quanto tempo 3 dessas impressoras produziriam 2000 desses panfletos? 

5) (Unimep – SP ) Se dois gatos comem dois ratos em dois minutos, para comer 60 ratos em 30 minutos são necessários: 

a) 4 gatos               b) 3 gatos               c) 2 gatos

d) 5 gatos                          e) 6 gatos 

6) Com 10 kg de trigo podemos fabricar 7kg de farinha. Quantos quilogramas de trigo são necessários para fabricar 28 kg de farinha? 

7) Com 50 kg de milho, obtemos 35 kg de fubá. Quantas sacas de 60 kg de fubá podemos obter com 1 200 kg de milho ? 

8) Sete litros de leite dão 1,5 quilos de manteiga. Quantos litros de leite serão necessários para se obterem 9 quilos de manteiga ? 

9) Em um banco, contatou-se que um caixa leva, em média, 5 minutos para atender 3 clientes. Qual é o tempo que esse caixa vai levar para atender 36 clientes ? 

10) Paguei R$ 6,00 por 1.250 kg de uma substância. Quanto pagaria por 0,750 kg dessa mesma substância ? 



GABARITO:

1) 150kg  2)15 dias 3) 18 paginas  4)160 minutos   5)A   6) 40kg  7) 14 sacas  8) 42 litros  9) 60 minutos 10)  R$ 3,60 

Fontes: matematicadidatica.com.br
              brasilescola.com