decomposição em fatores primos questões e teoria

Os números primos são trabalhados pela humanidade há uma longa data. Existem indícios de que o povo egípcio já possuía conhecimento acerca desses números, entretanto foi na Grécia que estudos mais aprofundados sobre os números primos foram realizados. 

Nesses estudos, descobriu-se que todo número natural é formado pela multiplicação de números primos, ou seja, ele pode ser decomposto em fatores primos.

A decomposição em fatores primos auxilia na realização dos cálculos do MDC (Máximo Divisor Comum) e do MMC (Mínimo Múltiplo Comum). Dessa forma, veremos o método para obter a decomposição de números primos.

Para realizar a decomposição de um número, deveremos encontrar números primos que dividem o número a ser decomposto. Realizaremos sucessivas divisões até que o número se torne igual a 1. Por fim, selecionaremos os divisores de todas as divisões e escreveremos esses números multiplicados uns pelos outros. Este é um processo inicial, logo mais veremos a decomposição de forma mais prática.

Como exemplo vamos decompor o número 48 num produto:

48 = 8 x 6

48 = 2 x 2 x 2 x 6

48 = 2 x 2 x 2 x 2 x 3 = 2^4 x 3  no produto 2 x 2 x 3 x 3 todos são fatores primos

Chamamos de fatoração de 48 a decomposição de 48 num produto de fatores primos. Então a fatoração de 24 é 2³ x 3.

Regra prática para a fatoração

      

  Existe um dispositivo prático para fatorar um número. Acompanhe, no exemplo, os passos para montar esse dispositivo:

1º) Dividimos o número pelo seu menor divisor primo;2º) a seguir, dividimos o quociente obtido pelo menor divisor primo desse quociente e assim sucessivamente até obter o quociente 1. A figura ao lado mostra a fatoração do número 630.

        Então 630 = 2 x 3 x 3 x 5 x 7.
                  630 = 2 x 3² x 5 x 7.

questões decomposição em fatores primos

1) Decomponha os números em fatores primos:

180                 220                 320                 308                 605                

616                 1008               1210               2058               3125              

4225               5040

2) Qual é o número cuja fatoração é:

 a) 2 . 2. 3 . 5 . 7

b) 3 . 3 . 5 . 5 . 7.

c) 2 . 3 . 5 . 7

d) 5 . 5 . 11 . 13

3) Usando a decomposição em fatores primos, determine:

a) m.m.c (30,75)        d) m.m.c (36,54,90)
b) m.m.c (18,60)        e) m.m.c (48,20,10,36)
c) m.m.c (66,102)

Determinação dos divisores de um número

Na prática determinamos todos os divisores de um número utilizando os seus fatores primos.

Vamos determinar, por exemplo, os divisores de 72:

1º Fatoramos o número 72.
2º Traçamos uma linha e escrevemos o 1 no alto, porque ele é divisor de qualquer número.
3º Multiplicamos sucessivamente cada fator primo pelos divisores já obtidos e escrevemos esses produtos ao lado de cada fator primo.

4º Os divisores já obtidos não precisam ser repetidos.

Então o conjunto dos divisores de 72 = {1,2,3,4,6,8,9,12,18,36,72}