Distância entre ponto e reta questões vestibular

Artigo sobre distância entre ponto e reta com questões de vestibulares resolvidas.

Distância entre ponto e reta

Vamos realizar o estudo analítico da distância entre um ponto e uma reta no plano cartesiano.

Considere um ponto P(x_o, y_o) e uma reta s de equação s: ax + by + c = 0.

Existem várias distâncias entre o ponto P e a reta s, assim como existem vários caminhos até um destino. Mas para nós interessa somente a menor distância.

A distância entre P e t é dada pela fórmula:

Onde, a, b e c são os coeficientes da equação da reta s e x_o e y_o são as coordenadas do ponto P.

 questões sobre Distância entre ponto e reta

 1) Determine a que distância está o ponto A(– 2, 3) da reta t: 4x + 3y – 2 = 0.

Solução: Da equação da reta t, obtemos: a = 4, b = 3 e c = – 2.

Segue que:

2) A distância do ponto P(1. Y) até a reta s: x + y = 0 é de √2/2. Determine o valor de y.

Solução: 

Da equação da reta s, obtemos: a = 1, b = 1 e c = 0.

Segue que:

Portanto, o ponto P pode ter coordenadas (1, 0) ou (1, – 2)

3) (Cesgranrio-RJ) O ponto A(–1, –2) é um vértice de um triângulo equilátero ABC, cujo lado BC está sobre a reta de equação x + 2y – 5 = 0. Determine a medida h da altura desse triângulo. 

Solução:


4) (Fuvest-SP) Calcule a distância entre a reta r1, de equação 3y = 4x – 2, e a reta r2, de equação 3y = 4x + 8, sabendo que r1//r2.

Solução:

5) Sabendo que os vértices de um triângulo são A(1,3), B(5,0) e C(0,5), responda: 

a) Qual é a equação geral da reta AB? 

Os pontos A(1,3) e B(5,0) pertencem à reta AB e com eles podemos encontrar o coeficiente angular dessa reta e aplicá-lo na equação fundamental. 

m_AB = 0 – 3     = - 3              5 – 1          4 

y – y₀ = m (x – x₀) 
y – 0 = -3/4 (x – 5) 
y = -3/4x + 15/4 

4y = - 3x + 15 
         4 

3x + 4y – 15 = 0 

b) Calcule a medida da altura relativa ao vértice C. 

Nesse caso iremos calcular a distância do ponto C à reta AB. Substituindo os valores 0 = x₀; 5 = y₀; a = 3; b = 4; c = -15 na fórmula: . 



d = |20 – 15| 
           √25 

d = 5 = 1 
      5

Posições relativas de uma reta e um plano

Considerando um plano e uma reta, temos as seguintes posições relativas possíveis:

a) A reta não tem ponto em comum com o plano. Dizemos então que a reta é paralela ao plano. 

b) A reta tem um único ponto em comum com o plano. Dizemos então que a reta é concorrente com plano.

c) A reta tem dois pontos em comum com o plano Dizemos então que a reta está contida no plano.

As afirmações abaixo são todas verdadeiras. Interprete cada uma delas, utilizando, se necessário, o material da sua caixa de ferramentas.

a) Se uma reta é paralela a um plano, então ela é paralela ou reversa a qualquer reta do plano.

b) Se uma reta não está contida em um plano e é paralela a uma reta do plano, então ela é paralela ao plano.