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sexta-feira, 21 de dezembro de 2012

Poliedros convexos e regulares

                 

Elas representam sólidos, e são exemplos de poliedros

De um modo geral, chamamos de Poliedro à região do espaço limitada por polígonos planos, e tais que cada uma das arestas desses polígonos pertença a dois e somente dois deles.



Veja:
  •    Polígono = figura plana
  • Poliedro = sólido, em 3 dimensões, no espaço, formado por polígonos
  • Arestas = lados dos polígonos que formam o poliedro
  • Vértices = os pontos onde as arestas se interceptam
  • Faces = cada um dos polígonos que formam o poliedro

    poliedro.gif (5086 bytes)

    Mas atenção: não são poliedros os sólidos que possuem formas arredondadas, como o cilindro e o cone:
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    Poliedros convexos
    Os poliedros são convexos quando se encontram todos para o mesmo lado em relação ao plano de qualquer uma das suas faces, ou seja, quando as suas faces deixam sempre as demais no mesmo semiespaço. Complicado? Vamos entender melhor isso!

    Considere um poliedro e uma de suas faces: um octaedro, por exemplo. Imagine um plano apoiado nessa face. O poliedro ficou todo de um lado só desse plano? Então ele é convexo! Veja:
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    Poliedro convexo

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    Poliedro não convexo


    Características dos poliedros convexos

    Notações para poliedros convexos: V: Número de vértices, F: Número de faces, A: Número de arestas, n: Número de lados da região poligonal regular (de cada face), a: Medida da aresta A e m: Número de ângulos entre as arestas do poliedro convexo.



    Característica do
    poliedro convexo
    Medida da característica
    Relação de EulerV + F = A + 2
    Número m de ângulos diedraism = 2 A
    Ângulo diedral
    Raio do círculo inscrito
    Raio do círculo circunscrito
    Área da superfície externa
    Volume do sólido poliédrico


    Classificação

          
    Os poliedros convexos possuem nomes especiais de acordo com o número de faces, como por exemplo:



    • tetraedro: quatro faces

    • pentaedro: cinco faces

    • hexaedro: seis faces

    • heptaedro: sete faces
    • octaedro: oito faces

    • icosaedro: vinte face


    Polígonos regulares

    Vamos lembrar o conceito de polígono regular: aquele em que todos os lados são congruentes (iguais) e todos os ângulos são também congruentes.

    Então, um poliedro é regular se suas faces são polígonos regulares, todos com o mesmo número de lados e, em cada vértice do poliedro, encontram-se (convergem) sempre o mesmo número de arestas.

    Existem apenas cinco poliedros regulares:





Relações de Euler em poliedros regulares

As relações de Euler são duas importantes relações entre o número F de faces, o número V de vértices, o número A de arestas e o número m de ângulos entre as arestas.

F + V = A + 2,      m = 2 A


Na tabela abaixo, você pode observar o cumprimento de tais relações para os cinco (5) poliedros regulares convexos.



.
Poliedro regular
convexo
Cada face
é um
Faces
(F)
Vértices
(V)
Arestas
(A)
Ângulos entre
as arestas (m)
Tetraedrotriângulo
equilátero
44612
Hexaedroquadrado681224
Octaedrotriângulo
equilátero
861224
Dodecaedropentágono
regular
12203060
Isocaedrotriângulo
equilátero
20123060



Aplicação da relação de Euler

Exemplo:

Um poliedro convexo tem 6 faces triangulares e 3 faces quadrangulares. Determinar o número de arestas, o número de vértices e a soma dos ângulos de todas as faces.

Solução:
Aparentemente, o número de arestas deveria ser (6 x 3 + 3 x 4) = 30, mas como cada aresta é contada duas vezes, então o número de arestas é 30/2 = 15.

Logo A = 15.
O número de faces é F = 6 + 3 = 9
como V - A + F = 2
V = A + 2 - F
V = 15 + 2 - 9
V = 8.


Poliedros platônicos
      Diz-se que um poliedro é platônico se, e somente se:
a) for convexo;
b) em todo vértice concorrer o mesmo número de arestas;
c) toda face tiver o mesmo número de arestas;
d) for válida a relação de Euler.
       Assim, nas figuras acima, o  primeiro poliedro é platônico e o segundo, não-platônico.


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