propriedades das potências

Artigo sobre potenciação: propriedades das potências, potência fracionária, potência de base 10, potência de base zero, potenciação de números racionais e potenciação de monômios

As principais operações são: adição, subtração, divisão e multiplicação. Utilizando o processo da multiplicação podemos encontrar outra operação: a potenciação, que para a realização de seus cálculos é necessário saber multiplicar.

Os números envolvidos em uma multiplicação são chamados de fatores e o resultado da multiplicação é o produto, quando os fatores são todos iguais existe uma forma diferente de fazer a representação dessa multiplicação que é a potenciação.

2 . 2 . 2 . 2 = 16 → multiplicação de fatores iguais.

Podemos representar a mesma multiplicação da seguinte forma:

2 . 2 . 2 . 2 = 24 = 16
↓
Fatores iguais.

Essa representação é conhecida como potenciação, portanto, sempre que tivermos fatores iguais, podemos montar uma potência.

Representamos uma potência da seguinte forma:



A base sempre será o valor do fator.
O expoente é a quantidade de vezes que o fator repete.
A potência é o resultado do produto.

Expoente negativo

Qualquer número diferente de zero elevado a um expoente negativo é igual ao inverso deste número elevado ao oposto do expoente:

Propriedades das potências

Multiplicação de potências de mesma base: “conservar a base e somar os expoentes”.

Exs: 2² . 2³ = 2^{2 + 3} = 2⁵ = 32 

        5¹ . 5³ = 5^{1 + 3} = 5⁴ = 625 

Divisão de potências de mesma base: “conservar a base e subtrair os expoentes”.

Exs: 12⁸ : 12⁶ = 12^{8 – 6} = 12² = 144 

         (-5)⁶ : (-5)² = (-5)^{6 – 2} = (-5)⁴ = 625 

Potência de potência

Quando nos deparamos com a seguinte potência (3²)³ resolvemos primeiro a potência que está dentro dos parênteses e depois, com o resultado obtido, elevamos ao expoente de fora, veja:

(3²)³ = (3 . 3)³ = 93 = 9 . 9 . 9 = 729

Utilizando a propriedade de potência, a resolução ficará mais simplificada: basta multiplicarmos os dois expoentes, veja:

(32)3 = 32 . 3 = 36 = 729

(-91)2 = (-9)1 . 2 = (-9)2 = 81

Multiplicação de potências de mesmo expoente: “conservar os expoentes e multiplicar as bases”.

Exs: (3 x 4)³ = 3³ x 4³ = 27 x 64 = 1728

         (2 x 6)² = 2² x 6² = 144

Divisão de potências de mesmo expoente: “conservar os expoentes e dividir as bases”.

Exs: 28³ : 7³ = 4³

        64² : 8² = 8²

Número inteiro no expoente

Potência fracionária

Definição

Para um número real a e um inteiro positivo n (n ³ 2), definimos

 = 

desde que exista .

Façamos nosso estudo partindo de um número qualquer:

Podemos escrever este número em forma de uma raiz quadrada (pois o denominador da fração é 2). 

Com isso você deve estar se perguntando, e o número 1 que está no numerador? Ele está presente no expoente do número (a), entretanto não existe a necessidade de escrevê-lo. Tendo um número em uma raiz, podemos realizar o processo inverso também, escrevendo-o como um número com potência fracionária.

Note que quando escrevemos um número com potência fracionária, teremos a seguinte propriedade:
O numerador da potência corresponde ao expoente do número que está na base.
O denominador da potência corresponde ao grau da raiz. No nosso caso é uma raiz de grau 3 (raiz cúbica).
Fazer essa transformação de um número em uma raiz para um número com potência fracionária nos auxilia quando queremos multiplicar números de mesma base, porém em raízes de graus diferentes.
Vejamos o seguinte exemplo:

Faremos a transformação de cada uma dessas radiciações para números com potência fracionária e depois disso efetuaremos a multiplicação desses números.

Agora podemos realizar a multiplicação dos números que possuem mesma base:

Se quisermos escrever este número em forma de radiciação, teremos:

Podemos simplificar números elevados ao quadrado que estão dentro de uma raiz quadrada, pois o numerador e denominador são iguais. Vejamos alguns exemplos:

Potência de expoente 1. 

Sempre que o expoente for igual a 1 o resultado será igual à base. 

5¹ = 5 

25¹ = 25 

Potência de expoente zero. 

Sempre que o expoente for igual a zero o seu resultado será igual a 1. 

2⁰ = 1 

5⁰ = 1 

(-10)⁰ = 1 

65⁰ = 1 

Deduzimos que toda potência de expoente zero é igual a 1, porque ao efetuarmos a divisão de potências de bases iguais e expoentes iguais, chegamos a valores diferentes veja: 

4³ : 4³ = 4^{3 – 3} = 40 

4³ : 4³ = 1 

Utilizamos dois métodos diferentes para a resolução da mesma divisão e encontramos dois resultados diferentes, portanto, concluímos que: 

4⁰ = 1 

Assim, é possível concluir que toda potência de expoente zero será igual a 1. 

Potência de base 10 

Sempre que uma potência tiver base igual a 10 seu resultado será igual a 1, seguido de tantos zeros quantos forem as unidades do expoentes. 

10¹ = 10 

10² = 100 

10³ = 1000 
10⁴ = 10000

Potenciação de números racionais

Temos que:

Sabemos que a multiplicação de frações é feita multiplicando numerador com numerador e denominador com denominador. Assim, segue que:

Observe que no numerador da fração resultante apareceram n fatores a e no denominador, n fatores b. Dessa forma, podemos reescrever a expressão anterior da seguinte maneira:

Note que a potenciação de frações é feita elevando o numerador e o denominador ao expoente n.

Seguem alguns exemplos para melhor compreensão.

Exemplo 1. Calcule o valor de cada uma das seguintes potências.

Exemplo 2. Determine o valor de cada potência abaixo:

Potenciação de monômio

São várias as propriedades que formam as regras de potenciação de números reais, duas delas irão ajudar na compreensão da resolução de potência que envolve monômio. Essas propriedades dizem o seguinte: 

Potência de um produto (a . b)^m = a^m . b^m

Potência de potência (a^m)ⁿ = a^{m . n}

Iremos aplicar essas duas propriedades no cálculo de potência de monômios. Por exemplo:

Esses exemplos têm como resultado monômios, veja uma potenciação de monômio onde o resultado não será um monômio e sim, uma fração algébrica.


Dessa forma, podemos dizer que sempre que o expoente for negativo o resultado da potência será uma fração algébrica.

Potenciação de números negativos

(-4)³ = (-4) . (-4) = 16 . (-4) = -64
(-4)² = (-4) . (-4) = 16

Com base nisso, podemos dizer que quando um número negativo é elevado a um número par, o resultado será positivo. Se for ímpar será negativo.