razões trigonométricas em um triângulo qualquer

As relações trigonométricas se restringem somente a situações que envolvem triângulos retângulos.
Em triângulo obtusângulo, não podemos utilizar das relações trigonométricas conhecidas. Para situações como essa, utilizamos a lei dos senos ou a lei dos cossenos, de acordo com o mais conveniente.
Importante sabermos que:
sen x = sen (180º - x)
cos x = - cos (180º - x)

Lei dos senos 

A lei dos senos estabelece relações entre as medidas dos lados com os senos dos ângulos opostos aos lados. Observe:

Exemplo 1 
No triângulo a seguir, determine o valor dos segmentos x e y.

Aplicando a lei dos senos, temos:

Lei dos cossenos 

Nos casos em que não podemos aplicar a lei dos senos, temos o recurso da lei dos cossenos. Ela nos permite trabalhar com a medida de dois segmentos e a medida de um ângulo. Dessa forma, se dado um triângulo ABC de lados medindo a, b e c, temos: 

a² = b² + c² - 2 * b * c * cos A
b² = a² + c² - 2 * a * c * cos B
c² = a² + b² - 2 * a * b * cos C

Exemplo 2

Determine o valor do lado oposto ao ângulo de 60º. Observe figura a seguir:

x² = 6² + 8² - 2 * 6 * 8 * cos 60º
x² = 36 + 64 – 96 * 1/2
x² = 100 – 48
x² = 52
√x² = √52
x = 2√3 

Exemplo 3

Se optarmos pelo bombeamento da água direto para a casa, quantos metros de cano seriam gastos?



x² = 50² + 80² - 2*50*80*cos60º
x² = 2500 + 6400 – 8000*0,5
x² = 8900 – 4000
x² = 4900
x = 70 m