área e volume dos prismas fórmulas

Artigo sobre área e volume dos prisma fórmulas e exemplos.

Consideremos o prisma como um sólido geométrico formado pelos seguintes elementos: base, altura, vértices, arestas e faces laterais. Os prismas podem apresentar diversas formas, mas algumas características básicas definem esse sólido geométrico. Por exemplo, o número de faces do prisma será exatamente igual ao número de lados do polígono que constitui suas bases (superior e inferior), dessa forma, sua classificação quanto ao número de lados pode ser: 

 Triangular – base constituída de triângulos.
Quadrangular – base constituída de quadriláteros.
Pentagonal – base constituída de pentágonos.
Hexagonal – base constituída de hexágonos.
Heptagonal – base constituída de heptágonos.
Octogonal – base constituída de octógonos. 

De acordo com a inclinação das arestas laterais, um prisma pode ser classificado em:

  Reto: quando as arestas laterais forem perpendiculares às arestas das bases;

  Oblíquo: quando as arestas laterais não forem perpendiculares às arestas das bases.

Observação: em um prisma reto, as faces laterais são retangulares. Prisma regular é um prisma reto cujas bases são polígonos regulares. Vejamos alguns exemplos:

Secção

Chama-se secção de um prisma à intersecção desse prisma com um plano que intercepta todas as suas arestas laterais. Se a secção for paralela às bases, ela é chamada secção transversal (figura.1). Todas as secções transversais são congruentes ( figura 2). Se a secção for perpendicular às arestas laterais, ela é chamada secção reta. 

                            

Área lateral e área total de um prisma

Num prisma, distinguimos dois tipos de superfície:as faces e as bases. Assim, temos de considerar as seguintes áreas:

a) área de uma face (A_F ):área de um dos paralelogramos que constituem as faces;

b) área lateral ( A_L ):soma das áreas dos paralelogramos que formam as faces do prisma.

      No prisma regular, temos:

A_L = n . A_F (n = número de lados do polígono da base)

c) área da base (A_B): área de um dos polígonos das bases;

d) área total ( A_T): soma da área lateral com a área das bases

A_T = A_L + 2A_B

      Vejamos um exemplo.

      Dado um prisma hexagonal regular de aresta da base a e aresta lateral h, temos:

  

Exemplos:

1) Um prisma tem 18 arestas. Determinar o número de suas faces e o nome desse prisma.

Solução:

Chamemos de n o número das suas faces.

Como duas das faces são bases, teremos (n – 2) faces laterais. Assim sendo, em cada base existirão (n – 2) arestas.

O total de arestas é dado por:

Total de arestas = arestas das bases + arestas laterais

Portanto:

2 * (n – 2) + (n – 2) = 18

Resolvendo essa equação, encontramos n = 8.

O prisma tem então 8 faces e cada base tem 8 – 2 = 6 arestas.

Portanto esse é um prisma hexagonal.

2) Quantas faces tem um prisma com 30 arestas.

2 * (n – 2) + (n + 2) = 30

2n – 4 + n – 2 =30

3n = 30 + 4 + 2

3n = 36

N = 12 faces

paralelepípedo

Paralelepípedo é um prisma que possui em suas bases um paralelogramo. Sendo que o paralelepípedo é configurado pela reunião dos seis paralelogramos que o constituem. Assim, podemos ter:

a) paralelepípedo oblíquo

b) paralelepípedo reto

         Se o paralelepípedo  reto tem bases retangulares, ele é chamado de paralelepípedo reto-retângulo,ortoedro ou paralelepípedo retângulo.

Diagonal do paralelepípedo

Considere a figura a seguir:

db = diagonal da base dp = diagonal do paralelepípedo

      Na base ABFE, temos:

         No triângulo AFD, temos:

Exemplo:

Calcular a medida da diagonal de um paralelepípedo retângulo de dimensões 5 cm, 8 cm e 6 cm.

Solução:
d = √ a² + b² + c² 
d = √ 5² + 8² + 6²
d = √ 25 + 64 + 36
d = √ 125
d = √ 5 *√ 25
d = 5√ 5

Logo, a medida da diagonal é 5√5

Área lateral do paralelepípedo retângulo

      

Sendo A_L a área lateral de um paralelepípedo retângulo, temos:

A_L= ac + bc + ac + bc = 2ac + 2bc =A_L = 2(ac + bc)

Área total do paralelepípedo retângulo

     

 Planificando o paralelepípedo, verificamos que a área total é a soma das áreas de cada par de faces opostas:

Exemplo: Calcule a área lateral e total de um paralelepípedo retângulo de dimensões a = 15 cm, b= 10 cm, c = 8 cm, sendo que a altura dele corresponde à menor das suas dimensões. Solução: A área lateral é dada por: AL= 2 * (15 * 8 + 10 * 8) AL = 2 * (120 + 80) = 400 A área lateral é 400 cm³. A área total é dada por: At = 2 * (15 * 10 + 15 * 8 + 10 * 8) = 2 * (150 + 120 + 80) = 700 A área total é 700 cm³. Volume do paralelepípedo retângulo O volume de um paralelepípedo é calculado através da multiplicação entre a área da base e a altura, ou para ser mais prático: comprimento x largura x altura, considerando sempre que as unidades de comprimento das dimensões sejam as mesmas. Vários objetos possuem o formato de um paralelepípedo, por exemplo, uma caixa, uma piscina, um aquário entre outros.  Nos cálculos envolvendo volume precisamos conhecer as unidades usuais de volume e sua correspondência com as medidas de capacidade. Observe as principais medidas: 1 m³ (metro cúbico) = 1000 L (litros) 1 dm³ (decímetro cúbico) = 1 L 1 cm³ (centímetro cúbico) = 1 mL (mililitro)  Exemplo: Um aquário possui o formato de um paralelepípedo com as seguintes dimensões: Determine quantos litros de água são necessários para encher o aquário. V = comprimento x largura x altura V = 50 cm x 20 cm x 15 cm V = 15000 cm³ (centímetros cúbicos) Como foi informado que 1 cm³ corresponde a 1 ml, temos que 15000 cm³ é igual a 15000 ml ou 15 litros.

  Cubo 

O cubo é um poliedro regular pois as suas faces são geometricamente iguais.

    O cubo tem os seguintes elementos:

• 6 faces, que são quadrados geometricamente iguais;
• 12 arestas iguais, que são segmentos de recta;
• 8 vértices, que são pontos.

Diagonal do cubo

é dado pela fórmula D = a√3  onde a = o comprimento da aresta do cubo

Exemplo:

A área total de um cubo é 54 cm². Calcule a medida da diagonal desse cubo.

Resolução:

Ac = 6a²              dc = a√3
54 = 6a²              dc = 3√3cm²
54 /6 = a²
a = √9
a =3 cm 


Área lateral do cubo

    

 A área lateral do cubo é a soma das áreas das faces laterais, sendo dada por:

A_l = 4a² , onde: A_l - área lateral

                           

Área total do cubo

 A área total do cubo é a soma da área lateral com a área das duas bases, ou seja:

A_t = A_l + 2A_b = 4a² + 2a² = 6a², onde: A_t - área total

                                                                  A_l = 4a² - área lateral

                                                                      A_b = a² - área da base

  Volume do cubo 

É dado pelo cubo (terceira potência) do comprimento da aresta. Assim, sendo a o comprimento da aresta do cubo, o seu volume é

V=a³

Exemplo:

Se a soma das medidas de todas as arestas de um cubo é 60 cm,então o volume desse cubo, em centímetros cúbicos, é:

Resolução:

12 arestas

60 cm / 12 = 5

V = 5³ = 125 cm³

Volume de um prisma

:
V = A_b . h      onde: A<sub>b é a área da base  e h a altura do prisma

Exemplo:

Calcule o volume de um prisma cuja a altura mede 15cm e seus catetos, 9cm e 12cm.



Resolução:</sub>

Basta calcular a área do triângulo da base:

A_{b = b * h /2} 

A_{b = 9 * 12 /2} 

A_{b = 54 cm²}