pirâmides questões vestibular

Artigo sobre pirâmides, classificação das pirâmides, área e volume das pirâmides e questões de vestibular propostos e resolvidos.

Uma pirâmide é um poliedro, cuja base é um polígono qualquer e cujas faces laterais são triângulos com um vértice comum, que é o vértice da pirâmide.

classificação das pirâmides

           Pirâmide regular

A pirâmide regular tem na base um polígono regular e sus faces laterais iguais.

Pirâmide irregular

A pirâmide irregular tem como base um polígono irregular.

Pirâmide convexa

A pirâmide convexa tem como base um polígono convexo.

Pirâmide côncava

 A pirâmide convexa tem como base um polígono côncavo.

Pirâmide reta

Na pirâmide reta o vértice tem a sua projeção coincidente com o centro da base.

Pirâmide obliqua

Na pirâmide oblíqua a projeção do vértice não coincide com o cento do polígono da base.

Classificação das pirâmides segundo sua base

Pirâmide triangular

Sua base é um triângulo.

Pirâmide quadrangular

Sua base é um quadrado.

Pirâmide pentagonal

Sua base é um pentágono.

Pirâmide hexagonal

Sua base é um hexágono.

Cálculo da aresta lateral de uma pirâmide

Calculamos a aresta lateral da pirâmide, conhecendo a altura e o raio da base o raio da circunferência circunscrita, aplicando el teorema de Pitágoras no triângulo sombreado:

Cálculo da apótema lateral de uma pirâmide




Calculamos a apótema lateral da pirâmide  conhecendo a altura e a apótema da base, aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo sombreado:

Área da base

A área da base de uma pirâmide depende da área do polígono em questão, sendo calculada pela expressão:

onde P: perímetro do polígono e a: apótema do polígono.


Área lateral
É a soma de todas as áreas laterais, ou seja:

    onde: PB é o perímetro de base e Ap é o apótema lateral da pirâmide.

Área total 
Soma da área lateral com a área da base.
A_t = A_l + A_b

Volume

O volume de uma pirâmide é dado pela expressão:

onde Ab: área da base (depende do polígono) e h: altura da pirâmide.

Questões propostas pirâmides

1) Calcule a área lateral, total e o volume de una pirâmide quadrangular de 10 cm de aresta e 12 cm de altura.

2) Calcula a área lateral, total e o volume de una pirâmide hexagonal de 16 cm de aresta básica e 28 cm de aresta lateral.

3) Numa pirâmide quadrangular, a aresta mede 18cm e a altura é equivalente a 12 cm. Calcule o volume, a apótema.

Volume

Basta multiplicar a área da base (aresta x aresta) e dividir por 3. Veja:

O apótema é o valor da hipotenusa do triangulo que parte da altura e segue para o meio da aresta. Para calcula-lo, basta usar o teorema de Pitágoras, onde o um dos catetos é a altura e o outro é a metade da aresta:

4) ( UNIV ) As faces laterais de uma pirâmide hexagonal regular são triângulos isósceles com área de 12cm² cada.A área lateral do sólido vale:

         

a) 36cm²         b) 48cm²               c) 54cm²               d) 72cm²               e) 108cm²

Para resolver é só ler bem a questão e saber interpretar, é bem simples de resolvé-la basta multiplicar a área (que o problema nos dá ) pelos lados do hexágono ( 6 ),ou seja , 12 X 6 = 72cm² 

Resposta : letra D

4) Calcular a área lateral de uma pirâmide quadrangular regular que tem 12cm de altura e 40cm de perímetro da base.

5) Qual é a área total de uma pirâmide quadrangular regular, sabendo-se que sua altura mede 24cm e que o apótema da pirâmide mede 26cm?

6) A área lateral de uma pirâmide quadrangular regular de altura 4m e de área da base 64m² vale:

7) Uma pirâmide quadrada tem todas  as arestas medindo 2. A altura mede:

8) (UnB) Sejam Pi e P2 duas pirâmides de mesma altura. A base de Pi é um quadrado e a de P2 um triângulo de área igual a do quadrado. Então, a área lateral de Pi é:

a) sempre maior do que a de P2;
b) sempre menor do que a de P2;
c) sempre igual a de P2;
d) n.d.a.


9) (OSEC) Um prisma e uma pirâmide tem bases com a mesma área. Se o volume do prisma é o dobro do volume da pirâmide, a altura da pirâmide será:

a) O triplo da do prisma.
b) O dobro da do prisma.
c)  O triplo da metade da do prisma.
d) O dobro da terça parte da do prisma.
e) n.d.a

10) (Unirio) As arestas laterais de uma pirâmide reta medem 15cm, e a sua base é um quadrado cujos lados medem 18cm. A altura dessa pirâmide, em cm, é igual a:

a) 2√7                b) 3√ 7                     c) 4√7                  d) 5√7

11) (FEI - MAUÁ) Secciona-se uma pirâmide regular de altura h por um plano paralelo à base, a uma distância x do vértice. Pede-se x de modo que a áreas laterais da pirâmide se altura x e do tronco de pirâmide de altura h - x sejam iguais.

12) (MAUÁ) Na pirâmide VABC os ângulos AVB, BVC e CVA são retos. Calcular a distância de V ao Plano ABC sabendo-se que VA = VB = VC = 1m.

13) (UFRS) A base de uma pirâmide tem área igual a 225cm². A 2/3 do vértice, corta-se a pirâmide por um plano paralelo à base. A área da secção é igual a:

a) 30              b) 50                c) 70                 d) 90                 e) 100


Gabarito:
4) 260cm²  5) 1440cm²  6) 64√2 m²  7) √2  8)  D  9) C  10) B  11) h√2 /2   12)   13) E