axiomas de Euclides

Na geometria, as ideias de ponto, reta e plano são consideradas como conceitos primitivos, ou seja, sabemos o que cada uma significa, mas não as definimos. Habitualmente, usamos a seguinte notação:

• pontos: letras maiúsculas do nosso alfabeto 

• retas: letras minúsculas do nosso alfabeto

   

• planos: letras minúsculas do alfabeto grego

Observação: Espaço é o conjunto de todos os pontos.

Por exemplo, da figura a seguir, podemos escrever:

 Axiomas

      Axiomas, ou postulados (P), são proposições aceitas como verdadeiras sem demonstração e que servem de base para o desenvolvimento de uma teoria.

     Temos como axioma fundamental:existem infinitos pontos, retas e planos.

P1) Por um único ponto passam infinitas retas.

P2) Por dois pontos distintos A e B passa uma única reta.




P3) Para determinarmos um plano necessitamos de pelo menos três pontos.


P4) Se dois pontos distintos de uma reta pertencem a um plano, então todos os pontos dessa reta pertencem ao plano. 



P5) Existem infinitos pontos dentro e fora de um plano

Postulados sobre o plano e o espaço

P6) Por três pontos não-colineares passa um único plano.

P7) O plano é infinito, isto é, ilimitado.

P8) Por uma reta pode ser traçada uma infinidade de planos.

P9) Toda reta pertencente a um plano divide-o em duas regiões chamadas semiplanos.

P10) Qualquer plano divide o espaço em duas regiões chamadas semi-espaços.

Posições relativas de duas retas 

. Duas retas no espaço podem possuir 3 posições relativas: 

Retas concorrentes: duas retas são concorrentes se, e somente se, possuírem um ponto em comum: 



Retas paralelas: duas retas são paralelas se, e somente se, forem coplanares e não possuírem ponto em comum: 



Obs.: um caso particular de paralelismo ocorre se as retas forem coincidentes (r ≡ s). 

Retas reversas: duas retas são reversas se, e somente se, não forem coplanares e não possuírem ponto em comum: 

 

Obs.: se houver um plano que contenha a reta r e que forme um ângulo de 90^o com a reta s, as retas serão reversas e ortogonais.

Postulados de Euclides 

Duas coisas iguais somadas com uma terceira são iguais entre si.

Se adicionarmos parcelas iguais a quantidades iguais, as somas continuarão iguais.

Se as mesmas quantidades forem subtraídas de quantidades iguais, os restos continuarão a ser iguais.

Situações que se coincidem são iguais umas com as outras.

O todo é maior que as partes.