relações métricas no triângulo retângulo - Geometria

Artigo sobre relações métricas no triângulo retângulo e aplicações do Teorema de Pitágoras geometria.

Triângulo retângulo é todo triângulo que tem um ângulo reto. Todo triângulo retângulo é composto por dois catetos e uma hipotenusa. A hipotenusa é o maior lado do triângulo retângulo e está oposto ao ângulo reto.

Observe a figura abaixo.

Temos que:
a: hipotenusa

b e c: catetos
h: altura relativa a hipotenusa
m e n: projeções ortogonais dos catetos sobre a hipotenusa.

Relações métricas no triângulo retângulo

Observe os triângulos:


Da semelhança de triângulos obtemos as seguintes relações:

Daí segue que:

b² = am  e ah = bc

Temos, também, as seguintes relações:


E a mais famosa das relações métricas no triângulo retângulo:

a² = b² + c²

Que é o teorema de Pitágoras.

Observe que temos cinco relações métricas no triângulo retângulo:

1. b² = am
2. ah = bc
3. c² = an
4. h² = mn
5. a² = b² + c²

Exemplo:
Neste triângulo ABC, vamos calcular a, h, m e n:

a² = b² + c² → a² = 6² + 8² → a² = 100 → a = 10

b.c = a.h → 8.6 = 10.h → h = 48/10 = 4,8

c² = a.m → 6² = 10.m → m = 36/10 = 3,6

b² = a.n → 8² = 10.n → n = 64/10 = 6,4

Determine os valores literais indicados na figura:

13² = 12² + x² 5.12 = 13.y
169 = 144 + x² y = 60/13
x² = 25
x = 5

Aplicações do Teorema de Pitágoras

Altura de um triângulo equilátero

O triângulo PQR é equilátero, vamos calcular sua altura com base na medida l dos lados. Ao determinarmos a altura (h) do triângulo PQR, podemos observar um triângulo retângulo PHQ catetos: h e l/2 e hipotenusa h. Aplicando o teorema de Pitágoras temos:

Um terreno retangular possui as seguintes medidas: 20 metros de comprimento e 30 metros de largura. Determine a medida da diagonal desse terreno.

A diagonal divide o retângulo em dois triângulos retângulos, consistindo na hipotenusa deles. Portanto, utilizaremos o Teorema de Pitágoras para determinar a medida da diagonal. Veja:

d² = 30² + 20²
d² = 900 + 400
d² = 1300
√d² = √1300
d = 36 metros (aproximadamente)