semelhança e congruência de triângulos
Definição de Semelhança entre Triângulos
Dizemos que dois triângulos são semelhantes se, e somente se, possuem seus três ângulos ordenadamente congruentes e os lados homólogos (homo = mesmo, logos = lugar) proporcionais.
Traduzindo a definição em símbolos:
Observe que as três primeiras expressões entre os parêntesis indicam a congruência ordenada dos ângulos e a última a proporcionalidade dos lados homólogos.
Em bom português, podemos, ainda, definir a semelhança entre triângulos através da frase: dois triângulos são semelhantes se um pode ser obtido pela expansão uniforme do outro (caso deseje comprovar veja o programa em Java descrito abaixo).
Razão de Semelhança
Denominamos o número real k, que satisfaz as igualdades abaixo entre os lados homólogos, como a razão de semelhança dos triângulos:
Exemplo
Dados os triângulos ABC e DEF semelhantes com as medidas dos lados indicadas abaixo, calcule as medidas dos lados e e d do segundo triângulo.
Solução:
Como os triângulos são semelhantes por hipótese, vem, pela razão de semelhança, que:
c = kf => k = c/f => k = 4/8 = 1/2
De forma análoga:
a = kd => 8 = (1/2)d => d = 16
b = ke => 6 =(1/2)e => e = 12
Propriedades
a) Reflexiva: Todo triângulo é semelhante a si próprio.
b) Simétrica: Se um triângulo é semelhante a um outro, este é semelhante ao primeiro.
c) Transitiva: Se um triângulo é semelhante a um segundo e este é semelhante a um terceiro, então o primeiro é semelhante ao terceiro.
Congruência de triângulos
No caso de congruência de triângulos é possível descobrir se um triângulo é congruente ao outro apenas comparando os seus elementos.
Bem sabemos que o triângulo possui seis elementos (três lados e três ângulos). Estes elementos vão determinar a congruência dos triângulos de modo que podemos afirmar dois fatos:
Para tanto, devemos estudar os possíveis casos de comparação destes elementos a fim de encontrar as congruências. Para isso, temos os casos de congruência: 4 casos que relacionam estes elementos entre si.
6) Dado os triângulos retângulos ARE e OTE:
Se AR = OE, então:
(A) OE < TO
(B) AE < ER
(C) OE = TO
(D) AE = ER
(E) AR + TE > TO
Bem sabemos que o triângulo possui seis elementos (três lados e três ângulos). Estes elementos vão determinar a congruência dos triângulos de modo que podemos afirmar dois fatos:
Para tanto, devemos estudar os possíveis casos de comparação destes elementos a fim de encontrar as congruências. Para isso, temos os casos de congruência: 4 casos que relacionam estes elementos entre si.
1) O CASO LADO-LADO-LADO (LLL): se 2 triângulos tem os 3 lados correspondentes com medidas proporcionais, eles são semelhantes.
2) O CASO LADO-ÂNGULO-LADO (LAL): se 2 triângulos tem 2 lados correspondentes com medidas proporcionais e o ângulo por eles compreendido tem a mesma medida, eles são semelhantes;
3) O CASO ÂNGULO-LADO-ÂNGULO (ALA): se 2 triângulos tem 2 ângulos correspondentes respectivamente congruentes, eles são semelhantes;
4) O CASO LADO-ÂNGULO-ÂNGULO (LAA): Se 2 triângulos tem congruência do ângulo adjacente ao lado, e congruência do ângulo oposto ao lado, eles são semelhantes;
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2) Dados os triângulos semelhantes PTN e AMO, semelhantes
com AM = 3 cm, MO = 7 cm e AO = 5 cm, pede-se calcular a razão de semelhança e os outros dois lados do
, sabendo-se que PT = 6cm.
Resolução
Como sabemos:
A razão de semelhança é 2
Resposta: A razão de semelhança é 2 e os outros dois lados do medem 10 cm e 14 cm.
2) O CASO LADO-ÂNGULO-LADO (LAL): se 2 triângulos tem 2 lados correspondentes com medidas proporcionais e o ângulo por eles compreendido tem a mesma medida, eles são semelhantes;
3) O CASO ÂNGULO-LADO-ÂNGULO (ALA): se 2 triângulos tem 2 ângulos correspondentes respectivamente congruentes, eles são semelhantes;
4) O CASO LADO-ÂNGULO-ÂNGULO (LAA): Se 2 triângulos tem congruência do ângulo adjacente ao lado, e congruência do ângulo oposto ao lado, eles são semelhantes;
Estes são os possíveis casos de congruência, veja que eles relacionam 3 elementos dos triângulos em uma determinada correspondência sequencial. Note que o fato mais importante destes casos é a sequência com que os elementos estão dispostos (organizados). Só podemos afirmar que um triângulo é congruente caso ele tenha seus elementos congruentes, do modo como está organizado nos casos de congruência. Um exemplo disto é a possibilidade de termos quatro ou até mesmo cinco elementos congruentes, mas sem que nenhum encaixe em algum dos quatro casos de congruência.
semelhança de triângulos questões de vestibular
com AM = 3 cm, MO = 7 cm e AO = 5 cm, pede-se calcular a razão de semelhança e os outros dois lados do
, sabendo-se que PT = 6cm.Resolução
Como sabemos:
A razão de semelhança é 2
Resposta: A razão de semelhança é 2 e os outros dois lados do
medem 10 cm e 14 cm.
3) Um triângulo ABC tem os lados AB = 12m, AC = 13m e BC = 15m. A reta paralela ao lado BC do triângulo determina um triângulo ADE, em que DE = 5cm. Calcular AD e AE.
Resolução
AB = 12
AC = 13
BC = 15
DE = 5
Calcular
AD = x
AE = y
Resposta: AD = 4m e AE =
m
4)Determine a medida x na figura abaixo:
Solução:
Observe que os triângulos ABD e CBD são semelhantes, pois possuem dois ângulos de mesma medida: o ângulo comum D e aqueles marcados em amarelo. Separando os triângulos, vem:
Comparando os lados correspondentes marcados nas duas figuras acima, vem imediatamente que:
BD / CD = AD / BD = AB / BC
Substituindo os valores, vem:
10 / 4 = (x + 4) / 10
Resolvendo a equação acima, fica:
4(x + 4) = 10.10
x + 4 = 100/4
x + 4 = 25 \ x = 21
Resp: x = 21
Resolução
AB = 12
AC = 13
BC = 15
DE = 5
Calcular
AD = x
AE = y
Resposta: AD = 4m e AE =
m4)Determine a medida x na figura abaixo:
Solução:
Observe que os triângulos ABD e CBD são semelhantes, pois possuem dois ângulos de mesma medida: o ângulo comum D e aqueles marcados em amarelo. Separando os triângulos, vem:
Comparando os lados correspondentes marcados nas duas figuras acima, vem imediatamente que:
BD / CD = AD / BD = AB / BC
Substituindo os valores, vem:
10 / 4 = (x + 4) / 10
Resolvendo a equação acima, fica:
4(x + 4) = 10.10
x + 4 = 100/4
x + 4 = 25 \ x = 21
Resp: x = 21
5) Coloque V se a afirmação for verdadeira e F se for falsa:
a) ( ) Dois triângulos congruentes são sempre semelhantes.
b) ( ) Dois triângulos semelhantes são sempre congruentes.
6) Dado os triângulos retângulos ARE e OTE:
Se AR = OE, então:
(A) OE < TO
(B) AE < ER
(C) OE = TO
(D) AE = ER
(E) AR + TE > TO
7) Dado os triângulos retângulos ARE e OTE:
Se AR = OE = 2 AE, então:
(A) RÂE = 2TÊO
(B) RÂE = 2TÔE
(C) RÂE = TÊO
(D) RÂE = TÔE
(E) RÂE < 2TÊO
8) Quanto vale x?
Gabarito:
5) a) V b) F 6) E 7) A 8) x = 16/5
Está muito bom, gostei, me ajudou muito, Obrigada.
ResponderExcluirvocê poderia me dizer de qual vestibular vem essas perguntas?
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