QUESTÕES DE CONCURSOS, VESTIBULARES E NOTÍCIAS DE CONCURSOS EM ABERTO: Logaritmos questões para o vestibular e teoria

Logaritmos questões para o vestibular e teoria

Em termos simples o logaritmo é o expoente que uma dada base deve ter para produzir certa potência. Usualmente é escrito como log_b x = y. Por exemplo: $3^4 = 81,$ portanto $log_3 81 = 4.$ No exemplo o logaritmo de 81 na base 3 é 4, pois 4 é o expoente que a base 3 deve usar para resultar 81.

Exemplo 2:
log10100 = b ⇔ 10^b = 100
Como 100 = 10², repare: 100 = 10 ·10 = 10²
Então 10^b = 100 = 10 ² ⇔ y = 2. Portanto, log₁₀ 100= 2 pois 10² = 100.

Propriedades dos logaritmos

P1) O logaritmo da unidade em qualquer base é nulo, ou seja:log_a1 = 0 porque a⁰ = 1.

P2) O logaritmo da base é sempre igual a 1, ou seja: log_bb = 1 , porque b¹ = b.

P3) _aloga^b = b ou seja: a elevado ao logaritmo de b na base a é igual a b.

P4) log_aa^k = k, porque a^k = a^k.

P5) Se log_ab = log_ac então podemos concluir que b = c. Esta propriedade é muito utilizada na solução de exercícios envolvendo equações onde aparecem logaritmos (equações logarítmicas).

Logaritmo do Produto

É a propriedade que o logaritmo do produto de números reais positivos seja a soma dos logaritmos dos fatores, ou seja: log_a(b.c) = log_ab + log_ac onde: b > 0, c > 0, a > 0 e a ≠ 1.

É possível transformar o logaritmo do produto numa soma de logaritmos.

Ex: log20 =log(2.10) = log2 + log10 = 0,3010 + 1 = 1,3010. Observe que como a base não foi especificada, sabemos que ela é igual a 10.

Ex2: Vamos calcular log₂8 e log₂4.

Log₂8 = 3 pois 2³ = 8 e log₂4 = 2 pois 2² = 4.

Para calcularmos log₂ (8.4), basta somarmos os logaritmos de 8 e de 4 que acabamos de calcular:

log₂ (8.4) = Log₂8 + log₂4log₂ (8.4) = 3 + 2
log₂ (8.4) = 5

Logaritmo do Quociente

O logaritmo de uma fração ordinária é igual a diferença entre os logaritmos do numerador da fração e do denominador, ou seja: log_a(b/c) = log_ab – log_ac.

Log_a(b/c) = log _ab - log _ab

Ex: Vamos calcular log₂8 e log₂4.

Log₂8 = 3 pois 2³ = 8 e log₂4 = 2 pois 2² = 4.

Para calcularmos log₂ (8/4), basta subtrairmos os logaritmos de 8 e de 4 que acabamos de calcular:

log₂ (8/4) = Log₂8 - log₂4log₂ (8/4) = 3 - 2
log₂ (8/4) = 1

Ex2: Primeiramente, note que 0,25 é 1/4 (um quarto).

Pela propriedade de logaritmo temos que

log₂[0,25] = log₂[1/4] = log₂[ 1 : 4] = log₂[ 1 ] – log₂[ 4 ] = 0 – 2 = –2.

log₂ 4 = y ⇔ 2^y = 4 ⇔ y = 2. Portanto, log₂ 4= 2 pois 2² = 4.

log₂ 1 = z ⇔ 2^z = 1 ⇔ z = 0. Portanto, log₂ 1= 0 pois 2⁰ = 1.

Portanto, log₂ 0,25 = –2

Logaritmo da Potência

O logaritmo de uma potência é igual a multiplicação do expoente pelo logaritmo da base.

Temos a seguinte fórmula, facilmente demonstrável: log_ab^k = k.log_ab.

Ex: log₅25⁶ = 6.log₅25 = 6.2 = 12.
Ex2: Calcular log 0,001 .

log₁₀[0,001] = log₁₀[ 10^–3] = (–3) ·log₁₀[ 10 ] = (–3) ·1 = –3

Repare que log₁₀[ 10 ] = y ⇔ 10^y = 10 ⇔ y = 1.

Portanto, log₁₀0,001= –3.

Mudança de base

Às vezes, para solucionar problemas, necessitamos mudar a base de um sistema de logaritmos, ou seja, conhecemos o logaritmo de A na base b e desejamos obter o logaritmo de A numa base c.

a base nova "c", pode ser qualquer número que
satisfaça a condição de existência da base, ou seja,
c > 0 e c ≠ 1.

Esta mudança de base, muito importante na solução de exercícios, poderá ser feita de acordo com a fórmula a seguir, cuja demonstração não apresenta dificuldades, aplicando-se os conhecimentos aqui expostos.

Log_ab = log_cb/log_ca

Ex:

(UFRGS) Sabendo que $formdata=\log+a=L$ e $formdata=\log+b=M$ , então o logaritmo de a na base b é

     (A) $formdata=L+M$
     (B) $formdata=L-M$
     (C) $formdata=L\cdot+M$

(D) $formdata=\frac{M}{L}$

(E) $formdata=\frac{L}{M}$

É dado o valor do logaritmo de a na base 10 e é pedido o logaritmo de a na base b.
Para adequar o pedido ao informado, vamos transformar o $formdata=\log_ba$ para a base 10.
$formdata=\log_ba=\frac{\log+a}{\log+b}+$
Este valor encontrado possui termos que foram dados no enunciado, portanto, podemos substituir:
$formdata=\log_ba=\frac{L}{M}+$

Questões de vestibular sobre Logaritmos

01. Calcule o Log24 6 sabendo que o Log27 6 = x que o Log27 4 = y.

Solução:

Para a resolução deste problema vamos partir do princípio que:

Esta é a propriedade que nos permite realizar a mudança de base de um logaritmo.

Recorrendo a ela temos:

Como o Log₂₇ 6 = x, podemos realizar tal substituição na equação. Além disto iremos aproveitar para escrever o logaritmando 24, no denominador da fração, como o produto de 6 por 4:

Agora vamos recorrer à propriedade do logaritmo de um produto:

Já que o Log₂₇ 6 = x e o Log₂₇ 4 = y, vamos realizar estas substituições na equação:

Portanto:

05. Se o Log₆₀ 3 = x que o Log₆₀ 6 = y, qual é o Log₁₈ 2?

Solução:

O objetivo desta questão é escrevermos o Log₁₈ 2 em função de x e y.

Para alcançarmos tal objetivo faremos algumas operações para que partindo do Log₁₈ 2, passemos pelos Log₆₀ 3e de Log₆₀ 6.

Para começar vamos passar o Log₁₈ 2 para a base 60.

Para isto vamos recorrer à propriedade da mudança de base de um logaritmo:

Então para a = 2, b = 18 e c = 60, temos:

O logaritmando 2, no numerador da fração pode ser escrito como a razão de 6 para 3, assim como o logaritmando 18, no denominador da fração pode ser escrito como produto de 6 por 3. O motivo disto é nos direcionarmos aos logaritmos no enunciado:

No numerador vamos aplicar a propriedade do logaritmo de um quociente e no denominador a propriedade do logaritmo de um produto, quando aí sim, iremos obter os logaritmos no enunciado:

Pronto, agora chegamos a um ponto no qual só precisamos trocar o Log₆₀ 3 e o Log₆₀ 6 por x e y, respectivamente:

06. Calcule: Log₅ 625 + Log 100 - Log₃ 27?

Solução:

Vamos calcular cada um dos logaritmos separadamente.

O Log₅ 625 é o expoente da potência de base 5 que resulta em 625:

Podemos resolver a equação exponencial decompondo 625 em fatores primos:

Ou seja, 625 = 5⁴, o que nos leva ao valor de x:

Pudemos calcular o valor de x desta forma, pois a a base 5 é positiva e diferente de 1. Se você não se lembra disto, convém consultar o tema equação exponencial para recordar esta matéria.

Então 4 é o Log₅ 625:

O Log 100 é o expoente da potência de base 10 que resulta em 100:

O valor de x agora é óbvio.

Como sabemos, uma potência de dez com expoente natural resulta em um número começando pelo algarismo 1 seguido de tantos zeros quanto indicado por este expoente.

Sabendo-se disto, se o número 100 possui 2 zeros após o 1, é porque o expoente da potência de base dez é igual a dois (10² = 100), isto é, x = 2.

Então 2 é o Log 100:

Por último, o Log₃ 27 é igual a 3, pois este é o expoente ao qual devemos elevar a base também 3 para obtermos 27:

Se você tem dúvidas quanto a isto, também pode decompor o número 27 em fatores primos como fizemos com oLog₅ 625.

Realizando as substituições na expressão original temos:

Log₅ 625 + Log 100 - Log₃ 27 = 3.

07. Considerando-se Log₇ 10 = 1,1833. Qual é o Log₇ 70?

Solução:

Para a solução deste problema vamos recorrer à propriedade do logaritmo de um produto.

Utilizaremos esta propriedade, pois através dela podemos montar uma outra expressão com dois logaritmos conhecidos. Um é o Log₇ 10, obtido do enunciado e o outro é o Log₇ 7 que como sabemos é igual a 1.

É sabido que 70 é o produto de 7 por 10. Então temos que:

Através da propriedade do logaritmo de um produto podemos assim expressar o Log₇ 70:

O Log₇ 7 = 1 pois:

Conforme o enunciado, o Log₇ 10 = 1,1833, então substituindo tais valores na expressão, temos:

Log₇ 70 = 2,1833.

08. Simplifique:

log₂5 . log₇2

Solução:

A primeira vista parece uma grande confusão, mas nota-se que existe uma base 2 e um log de 2. Logo, deve-se mudar para a base 2.

Nota: No caso de dúvida entre várias bases que sejam múltiplos (ex: 3, 9, 81, ...), em princípio, escolhe-se a menor.

Resolvendo com a mudança de base para 2:

Note que como os dois logaritmos possuem base 2, pode se usar a fórmula de mudança de base ao inverso, logo:

09. Resolva:

Solução:
À primeira vista, um problema complexo, com muitas bases diferentes, mas, ao ser analisado parte por parte:

pois, somente um número elevado a zero resulta em 1;

também um log que a base ajuda bastante;

é um pouco mais interessante, mas, nada de amedrontar, pois as bases se "aparentam" entre si, logo:

Utilize a propriedade do logaritmo de potência:

Finalmente:

Fórmula de mudança de base:

Mudando para a base 2:

Retornando à equação original com os resultados:

10. (UFRGS) Se $formdata=\log(2)=a$ e $formdata=\log(3)=a+b$ , então $formdata=\log\sqrt[3]{54}$ é

(A) $formdata=4a+b$
(B) $formdata=12a+3b$

(C) $formdata=\frac{a+4b}{3}$

(D) $formdata=\frac{4a+3b}{3}$

(E) $formdata=\frac{4a+b}{3}$

Solução:

Este tipo de questão começamos fatorando o termo que estiver no logaritmando:

$formdata=\log\sqrt[3]{54}=\log\sqrt[3]{3^3\cdot+2}$

Agora podemos aplicar as propriedades de radiciação :

$formdata=\log\sqrt[3]{3^3\cdot+2}=\log\left(\sqrt[3]{3^3}\cdot\sqrt[3]{2}\right)=\log\left(3\cdot\sqrt[3]2\right)$

Então as propriedades operatórias dos logaritmos:

$formdata=\log\left(3\cdot\sqrt[3]2\right)=\log{3}+\log\sqrt[3]2=\log{3}+\frac{1}{3}\cdot\log{2}$

Agora é só substituir os valores dados no enunciado:

$formdata=a+b+\frac{1}{3}\cdot+a=\frac{4a+3b}{3}$

Resposta certa, letra "D".

11. Dado $formdata=\log+5=P$ , calcule o valor de $formdata=\log{200}$ em função de P

(A) $formdata=5P$

(B) $formdata=200P$

(C) $formdata=P-3$

(D) $formdata=3-P$

(E) $formdata=5-P$

Solução:

Foi dado apenas uma informação, o valor de $formdata=\log+5$ .

Portanto, devemos moldar os valores no logaritmo que está sendo pedido em função do número 5. Veja só, vamos fatorar o 200:

$formdata=\log{200}=\log{(2^3\cdot+5^2)}$

Aplicar as propriedades dos logaritmos:

$formdata=\log{2^3}+\log{5^2}\\3\cdot\log{2}+2\cdot\log{5}$

Só que o problema agora é descobrir o valor de $formdata=\log+2$ . Aí que vem a mãnha. Veja que podemos trocar o valor 2 como sendo $formdata=\frac{10}{5}$

$formdata=\log+2=\log{\frac{10}{5}}=\log+10-\log+5$

Sabemos que log 10 = 1 e log 5 = P, portanto, log 2 = 1 - P.

Agora que sabemos o valor de log 2 = 1 - P e log 5 = P podemos descobrir o valor de log 200.

$formdata=\log+200+=+3\cdot\log+2+2\cdot\log+5=3\cdot(1-P)+2\cdot+P=3-P$

Resposta correta, "D".

12. (PUCRS) Se $formdata=\log(a)=4$ e $formdata=\log(b)=1$ , então $formdata=\log\sqrt[3]{\frac{a^3}{b}}$ é igual a

(A) $formdata=\frac{1}{5}$

(B) $formdata=\frac{11}{3}$

Agora a questão é ao contrário. Começamos aplicando as propriedades operatórias no logaritmo pedido:
$formdata=\log\sqrt[3]{\frac{a^3}{b}}=\frac{1}{3}\cdot\log\left(\frac{a^3}{b}\right)=\frac{1}{3}\cdot\left(\log{(a^3)}-\log{b}\right)=\frac{1}{3}\cdot\left(3\cdot\log{a}-\log{b}\right)$
Agora sim substituimos os valores dados no enunciado na expressão acima:
$formdata=\frac{1}{3}\cdot\left(3\cdot4-1\right)=\frac{11}{3}$
Resposta correta, letra "B"

13. Determine o número real x que satisfaz a equação log2(12 – 2x) = 2x.

Solução:

Condição 12 – 2x > 0
log2(12 – 2x) = 2x
12 – 2x = 22x
22x + 2x – 12 = 0
2x = y
y² + y – 12 = 0 (equação do 2º grau)

? = b² – 4ac
? = 1² – 4 * 1 * (-12)
? = 1 + 48
? = 49

14. Considerando-se que x = 2¹⁰⁰⁰ e sabendo que log2 é aproximadamente igual a 0,30103, determine o número de algarismos de x.

Solução:

Logx = Log21000 → 1000 * Log2 → 1000 * 0,30101 → 301

15. (UFRN) O valor da expressão log₂ 64 – log₃ 27 é igual a:

a) 3 b) 13 c) 17 d) 31 e) 37

Solução:

Resposta: A

16. (ITA-SP) log₂16 – log₄32 é igual a:

d) 4

e) 1

Solução:

Resposta: B

17. (Uneb-BA) O número real x, tal que log_x

^., é:

Solução:

18. (Vunesp) Sejam x e y números reais, com x > y. Se log₃(x – y) = m e (x + y) = 9, determine:

a) o valor de log₃(x + y);

b) log₃(x² – y²), em função de m.

Solução:

a) log₃(x + y) = log₃9 = 2.

b) log₃(x² – y²) = log₃ [(x + y) · (x – y)] =

log₃ (x + y) + log₃ (x – y) = m + 2.

19. Se log 2 = x e log 3 = y, então log 72 é igual a:

a) 2x + 3y

b) 3x + 2y

c) 3x – 2y

d) 2x – 3y

e) x + y

Solução:

log72 = log(2³ · 3²) = log2³ + log3² =

= 3 · log2 + 2 · log3 = 3x + 2y

Resposta: B

20. (UFF-RJ) Sendo log a = 11, log b = 0,5, log c = 6 e log

= x, o valor de x é:

a) 5

b) 10

c) 15

d) 20

e) 25

Solução:

Resposta: B

21. (PUC-SP) Um estudante quer resolver a equação 2^x = 5, utilizando uma calculadora que possui a tecla log x. Para obter um valor aproximado de x, o estudante deverá usar a calculadora para obter os seguintes números:

a) log 2, log 5 e log 5 – log 2

b) log 2, log 5 e log 5 : log 2

c) log 2, log 5 e log 25

d) 5/2 e log 5/2

e log

Solução:

Aplicando logaritmo com base 10 nos dois membros temos:

log 2^x = log 5

x · log 2 = log 5 Þ x =

Resposta: B

22. (FGV-SP) A equação logarítmica log₂ (x + 1) + log₂ (x – 1) = 3 admite:

a) uma única raiz irracional.

b) duas raízes opostas.

c) duas raízes cujo produto é – 4.

d) uma única raiz e negativa.

e) uma única raiz e maior do que 2.

Resolução

Condição de existência:

x + 1 > 0 Þ x > – 1 ; x – 1 > 0 Þ x > 1.

Assim x > 1

log₂ (x + 1) · (x – 1) = 3

log₂ (x² – 1) = 3 Þ x² – 1 = 2³ Þ x² – 1 = 8

x = 3

Resposta: E

23. (Cesgranrio-RJ) Se log x representa o logaritmo decimal do número positivo x, a soma das raízes de
log² x – log x² = 0 é:

a) – 1

b) 1

c) 20

d) 100

e) 101

Solução:

Condição de existência: x > 0

log² x – log x² = 0

log² x – 2 log x = 0

Fazendo log x = y, obteremos:

y² – 2y = 0

y(y – 2) = 0

y = 0 ou y = 2

log x = 0

x = 1

log x = 2

x = 100

a soma das raízes será 101. S = {101}

Resposta: E

24. (FGV-SP) O produto (log₉2) · (log₂5) · (log₅3) é igual a:

a) 0 d) 30

c) 10

Solução:

x =

Resposta: B

25. A expressão

é equivalente a:

a) log₂50 d) log₂ 2

b) log₂ 10

e) log₂

c) log₂ 5

Solução

log₂ 3 · log₃ 5 · log₅ 10 = log₂ 10 e

Portanto

log₂ 10 + log₂ = log₂ 10

Resposta: B

26. (FCMSC-SP) São dados:

log₁₅ 3 = a e log₁₅ 2 = b. O valor de log₁₀ 2 é:

Solução:

Resposta: B

27. (Vunesp) Os biólogos dizem que há uma alometria entre duas variáveis, x e y, quando é possível determinar duas constantes, c e n, de maneira que y = c · xⁿ. Nos casos de alometria, pode ser conveniente determinar c e n por meio de dados expe-rimentais. Consideremos uma experiência hipotética na qual se obtiveram os dados da tabela a seguir.

Supondo que haja uma relação de alometria entre x e y e considerando log 2 = 0,301, determine o valor de n.

Solução:

y = c · xⁿ

16 = c · 2ⁿ

log 16 = log c · 2ⁿ

log 2⁴ = log c + log 2ⁿ

4 · log ²= log c + n · log 2 (I)

40 = c · (20)ⁿlog 40 = log [c · (20)ⁿ]

log 4 · 10 = log c + log (20)ⁿ

log 4 + log 10 =log c + n · log 20

log 2² + 1 = log c + n · log (2 · 10)

2 · log2 + 1 = log c + n · (log 2 + log 10)

2 · log 2+ 1 = log c + n · log 2 + n (II)

Fazendo (I) – (II), temos:

2 · log 2 – 1 = –n

n = 1 – 2 · log 2 = 0,398

Resposta: n = 0,398

28. (UFC-CE) Suponha que o nível sonoro b e a intensidade I de um som estejam relacionados pela equação logarítmica b = 120 + 10 log₁₀ I, em que b é medido em decibéis e I, em watts por metro quadrado. Sejam I₁ a intensidade correspondente ao nível sonoro de 80 decibéis de um cruzamento de duas avenidas movimentadas e I₂ a intensidade correspondente ao nível sonoro de 60 decibéis do interior de um automóvel com ar-condicionado. A razão I₁/I₂ é igual a:

a) 1/10 d) 100

b) 1 e) 1 000

c) 10

Solução:

80 = 120 + 10 · log₁₀ I₁ – 40 = 10 · log₁₀ I₁

log₁₀ I₁ = – 4 I₁ = 10^–4

60 = 120 + 10 · log₁₀ I₂ – 60 = 10 · log₁₀ I₂

log₁₀ I₂ = – 6 I₂ = 10 ^–6

Resposta: D

29. O anúncio de certo produto aparece diaria-mente num certo horário na televisão. Após t dias do início da exposição, o número de pessoas (y) que ficam conhecendo o produto é dado por

y = 3 – 3 · (0,95)^t, onde y é dado em milhões de pessoas.

Para que valores de t teremos pelo menos 1,2 milhão de pessoas conhecendo o produto?

Solução:

y 1,2 3 – 3 · (0,95)^t 1,2 –3 · (0,95)^t –1,8

(0,95)^t 0,6

log_0,95 (0,95)^t log_0,95 0,6 (base entre 0 e 1)

t log_0,95 0,6

Resposta: t log_0,95 0,6

30. (UnB-DF) Estima-se que 1 350 m² de terra sejam necessários para fornecer alimento para uma pessoa. Admite-se, também, que há 30 × 1 350 bilhões de m² de terra arável no mundo e que, portanto, uma população máxima de 30 bilhões de pessoas pode ser sustentada, se não forem exploradas outras fontes de alimento. A população mundial, no início de 1987, foi estimada em 5 bilhões de habitantes. Considerando que a população continua a crescer, a uma taxa de 2% ao ano, e usando as aproximações

n 1,02 = 0,02;

n 2 = 0,70 e

n 3 = 1,10, determine em quantos anos, a partir de 1987, a Terra teria a máxima população que poderia ser sustentada.

Solução:

Se a taxa de crescimento é de 2% ao ano, depois de um ano a população, em bilhões de habitantes, será 5 · 1,02. Depois de x anos será 5 · (1,02)^x.

Logo, para as condições do problema:

30 = 5 · (1,02)^x 6 = (1,02)^x

n 6 =

n (1,02)^x

n (2 · 3) = x ·

n(1,02)

n 2 +

n 3 = x· 0,02

0,70 + 1,10 = x· 0,02 1,80 = x · 0,02

x =90

Resposta: 90 anos

31. (UFMG) O pH de uma solução aquosa é definido pela expressão pH = –log [H⁺], em que [H⁺] indica a concentração, em mol/L, de íons de hidrogênio na solução e log, o logaritmo na base 10.

Ao analisar uma determinada solução, um pesquisador verificou que, nela, a concentração de íons de hidrogênio era [H⁺] = 5,4 · 10^–8 mol/L. Para calcular o pH dessa solução, ele usou os valores aproximados de 0,30, para log 2, e de 0,48, para log 3.

Então, o valor que o pesquisador obteve para o pH dessa solução foi:

a) 7,26 c) 7,58

b) 7,32 d) 7,74

Solução:

pH = –log [H⁺] = –log 5,4 · 10^–8

pH = –(log 5,4 + log 10^–8)

pH = –(log 54/10+ (–8))

pH = –(log 54 – log 10– 8)

pH = –(log (3³ · 2) – 1 – 8) = –(log 3³ + log 2 – 9)

pH = –(3 · 0,48 +0,30 – 9)

pH =7,26

Resposta: A

32. (PUC-SP) A energia nuclear, derivada de isótopos radiativos, pode ser usada em veículos espaciais para fornecer potência. Fontes de energia nuclear perdem potência gradualmente, no decorrer do tempo. Isso pode ser descrito pela função exponencial

na qual P é a potência instantânea, em watts, de radioisótopos de um veículo espacial; P₀ é a potência inicial do veículo; t é o intervalo de tempo, em dias, a partir de t₀ = 0; e é a base do sistema de logaritmos neperianos. Nessas condições, quantos dias são necessários, aproximadamente, para que a potência de um veículo espacial se reduza à quarta parte da potência inicial? (Dado: ln 2 = 0,693)

a) 336 d) 342

b) 338 e) 346

c) 340

Solução:

Para P

· e ^{– t /250} = e ^{– t /250}

n 2^–2 = ln e^–t/250

–2 ·

n 2 = 2 · 0,693 · 250 = t

t = 346,1 346

Resposta: E

33. (UFF-RJ) No dia 6 de junho de 2 000, um terremoto atingiu a cidade de Ancara, na Turquia, com registro de 5,9 graus na escala Richter e outro terremoto atingiu o oeste do Japão, com registro de 5,8 graus na escala Richter.

Considere que m₁ e m₂medem a energia liberada sob a forma de ondas que se propagam pela crosta terrestre por terremotos com registros, na escala Richter, r₁ e r₂, respectivamente.

Sabe-se que estes valores estão relacionados pela fórmula:

r₁ – r₂ = log₁₀ (m₁/m₂)

Considerando-se que r₁ seja o registro do terremoto da Turquia e r₂ o registro do terremoto do Japão, pode-se afirmar que (m₁/m₂) é igual a:

a) 10^–1 d) 10/0,1

e) 1/0,1

c) (0,1)¹⁰

Solução:

r₁ – r₂ = log₁₀ (m₁/m₂)

5,9 – 5,8 = log₁₀ (m₁/m₂)

Resposta: B

34. (UnB-DF) A escala de um aparelho para medir ruídos é definida da seguinte forma: R = 12 + log₁₀(I), em que R é a medida do ruído, em bels, e I é a intensidade sonora, em W/m². No Brasil, a unidade utilizada é o decibel (1/10 do bel). Por exemplo, o ruído dos motores de um avião a jato é de 160 decibéis, enquanto o ruído do tráfego em uma esquina movimentada de uma grande cidade é de 80 decibéis, sendo este o limite a partir do qual o ruído passa a ser nocivo ao ouvido humano. Com base nessas informações, julgue os itens que se seguem.

(1) A intensidade sonora de um ruído de zero decibel é de 10^–12 W/m².

(2) A intensidade sonora dos motores de um avião a jato é o dobro da intensidade sonora do tráfego em uma esquina movimentada de uma grande cidade.

(3) Uma intensidade sonora maior que 10^–4W/m²produz um ruído que é nocivo ao ouvido humano.

Solução:

(1) 0 = 12 + log₁₀ (I) log₁₀ (I) = –12

I = 10^–12 W/m² (Verdadeira)

(2) Para o motor de um avião a jato, temos:

16 = 12 + log₁₀ (I_j) log₁₀ (I_j) = 4 I_j= 10⁴

Para o tráfego em uma esquina movimentada, temos:

8 = 12 + log₁₀ (I_e) log₁₀ (I_e) = –4 I_e = 10^–4

Logo I_j = 10⁴ 2 · I_e = 2 · 10^–4 (Falsa)

(3) Se 80 decibéis é o limite a partir do qual o ruído é nocivo ao ouvido humano, então:

8 = 12 + log₁₀ (I_L) I_L = 10^–4 W/m² (Verdadeira)

Resposta

(1) V (2) F (3) V

35. Resolva a equação

Solução: usando as propriedades do logaritmo, podemos reescrever a equação acima da seguinte forma:

Note que para isso utilizamos as seguintes propriedades:

Vamos retornar à equação:

Como ficamos com uma igualdade entre dois logaritmos, segue que:
(2x +3)(x + 2) = x²
ou
2x² + 4x + 3x + 6 = x²
2x² – x² + 7x + 6 = 0
x² + 7x + 6 = 0

x = -1 ou x = - 6

Lembre-se que para o logaritmo existir o logaritmando e a base devem ser positivos.
Com os valores encontrados para x, o logaritmando ficará negativo. Sendo assim, a equação não tem solução ou S = ø.

36. (FUVEST-SP) Encontre a solução da equação

Solução:CE: Como a incógnita x não está presente no logaritmando nem na base do logaritmo, não há restrições para o valor de x. Portanto, x E R.

Eliminado o parênteses temos:

Usando as propriedades dos logaritmos:

Como não há restrições para o valor de x temos: S = {-2, 0}.

37. Resolva o sistema

Solução:Condição de existência: x > 0 e y > 0

Na primeira equação temos: log x + log y = 7 => log y = 7 – log x
Substituindo log y na segunda equação temos:

3.log x–2.(7–log x) =1 => 3.log x – 14 + 2.log x = 1
5.log x = 15 =>log x = 3 => x=103³

Como x = 10³ e log y = 7 – log x, então:
7 – log x = 7 – log 103 => log y = 7 – 3 => log y = 4 => y = 104.
Como satisfazem à CE, temos:

38. (Fuvest-SP / Adaptada) Encontre o valor de x em