Para colocar o pistão no motor que está sendo consertado, o dono da oficina terá de adquirir aquele que tenha o diâmetro mais próximo do que precisa.
Nessa condição, o dono da oficina deverá comprar o pistão de diâmetro
A 68,21 mm. B 68,102 mm. C 68,02 mm. D 68,012 mm. E 68,001 mm.
Solução:
O primeiro passo é identificar em um pistão, peça do motor a combustão, o seu diâmetro, corda que vai de uma extremidade a outra passando pelo centro do pistão, que deve ser de 68 mm, vê-se:
O segundo passo é saber que para o pistão entrar no cilindro ele possui anéis que se comprimem, então, para que o pistão possa ser utilizado no motor, em questão, é preciso que ele possua o diâmetro o mais próximo do possível do original, então:
Desta forma, o pistão mais adequado tem diâmetro de 68 milímetros e 1 milésimo de milímetro.
2) (ENEM-2011) Um mecânico de uma equipe de corrida necessita que as seguintes medidas realizadas em um carro sejam obtidas em metros:
a) distância a entre os eixos dianteiro e traseiro;
b) altura b entre o solo e o encosto do piloto.
Ao optar pelas medidas a e b em metros, obtêm-se respectivamente,
A 0,23 e 0,16. B 2,3 e 1,6. C 23 e 16. D 230 e 160. E 2 300 e 1 600.
Solução:
O primeiro passo é saber que 1 metro tem 100 cm e 1.000 mm.
O segundo passo é utilizar regras de três simples entre as grandezas diretamente proporcionais, centímetros e metro, e milímetros e metro. Afim de descobrir-se as medidas a e b em metros, tem-se:
Sendo assim, a medida a = 2.300 mm equivale a 2,3 m e a medida b = 160 cm equivale a 1,6 m.
Alternativa B
3) (ENEM-2011) Em uma certa cidade, os moradores de um bairro carente de espaços de lazer reivindicam à prefeitura municipal a construção de uma praça. A prefeitura concorda com a solicitação e afirma que irá construí-la em formato retangular devido às características técnicas do terreno. Restrições de natureza orçamentária impõem que sejam gastos, no máximo, 180 m de tela para cercar a praça. A prefeitura apresenta aos moradores desse bairro as medidas dos terrenos disponíveis para a construção da praça:
Terreno 1: 55 m por 45 m
Terreno 2: 55 m por 55 m
Terreno 3: 60 m por 30 m
Terreno 4: 70 m por 20 m
Terreno 5: 95 m por 85 m
Para optar pelo terreno de maior área, que atenda às restrições impostas pela prefeitura, os moradores deverão escolher o terreno
A 1. B 2. C 3. D 4. E 5.
Solução:
O primeiro passo é identificar o perímetro do terreno retangular, o contorno, onde a tela cercará a praça. Adota-se x para o comprimento da praça e y para a largura, vê-se:
O segundo passo é saber que o comprimento máximo da cerca é 180 m, o que significa dizer que o perímetro da praça não pode ultrapassar 180 m. Verifica-se, então, as possibilidades:
Desta forma, existe duas possibilidades para a construção da praça: x = 60 m e y = 30 m ou x = 70 m e y = 20 m. Ambas com cercas de 180 m.
O terceiro passo é encontrar entre as duas possibilidades a de maior área. Lembra-se que a área do retângulo é o produto das duas dimensões comprimento vezes largura, tem-se:
Sendo assim, a praça com cerca de 180 m e maior área deverá ter comprimento x = 60 m e largura y = 30 m.
Alternativa C
4) (ENEM-2011) Você pode adaptar as atividades do seu dia a dia de uma forma que possa queimar mais calorias do que as gastas normalmente, conforme a relação seguinte:
- Enquanto você fala ao telefone, faça agachamentos:
100 calorias gastas em 20 minutos.
- Meia hora de supermercado: 100 calorias.
- Cuidar do jardim por 30 minutos: 200 calorias.
- Passear com o cachorro: 200 calorias em 30 minutos.
- Tirar o pó dos móveis: 150 calorias em 30 minutos.
- Lavar roupas por 30 minutos: 200 calorias.
Disponível em: http://cyberdiet.terra.com.br. Acesso em: 27 abr. 2010 (adaptado).
Uma pessoa deseja executar essas atividades, porém, ajustando o tempo para que, em cada uma, gaste igualmente 200 calorias.
A partir dos ajustes, quanto tempo a mais será necessário para realizar todas as atividades?
A 50 minutos. B 60 minutos. C 80 minutos. D 120 minutos. E 170 minutos.
Solução:
O primeiro passo é identificar as atividades que gastam menos de 200 calorias e seus respectivos intervalos de tempo. Tem-se:
- Agachamentos ao telefone: 100 calorias em 20 minutos.
- Fazer supermercado: 100 calorias em meia hora, ou melhor, 30 minutos.
- Tirar pó dos móveis: 150 calorias em 30 minutos.
O segundo passo é calcular quanto tempo a mais deve-se gastar para completar as 200 calorias, tem-se:
Agora que já se sabe os tempos, a mais, necessários para que cada atividade gaste 200 calorias, basta, somá-los, tem-se:
Assim sendo, o tempo a mais necessário para que todas as atividades gastem igualmente 200 calorias soma 60 minutos.
Alternativa B
5) (ENEM-2011) Uma equipe de especialistas do centro meteorológico de uma cidade mediu a temperatura do ambiente, sempre no mesmo horário, durante 15 dias intercalados, a partir do primeiro dia de um mês. Esse tipo de procedimento é frequente, uma vez que os dados coletados servem de referência para estudos e verificação de tendências climáticas ao longo dos meses e anos.
As medições ocorridas nesse período estão indicadas no quadro:
Em relação à temperatura, os valores da média, mediana e moda são, respectivamente, iguais a
A 17 °C, 17 °C e 13,5 °C.
B 17 °C, 18 °C e 13,5 °C.
C 17 °C, 13,5 °C e 18 °C.
D 17 °C, 18 °C e 21,5 °C.
E 17 °C, 13,5 °C e 21,5 °C.
Solução:
O primeiro passo é entender os conceitos de média, mediana e moda.
A média aritmética simples é uma medida de posição (tendência central) que retorna o valor intermediário de todos os valores pesquisados é obtida dividindo-se a soma das observações pelo número delas.
A mediana é uma medida de tendência central que separa a amostra ordenada em metade inferior (valores menores que a mediana) e metade superior (valores maiores que a mediana).
A moda é o valor que mais vezes aparece numa distribuição, é o valor de maior frequência da distribuição.
O segundo passo é ordenar a distribuição de temperaturas em ordem crescente, tem-se:
O terceiro passo é calcular a média aritmética simples, tem-se:
O quarto passo é calcular a mediana da distribuição, tem-se:
O quinto passo é encontrar a moda valor que mais vezes aparece na distribuição de temperaturas, que neste caso é 13,5.
Sendo assim, a distribuição de temperaturas tem: média 17°, mediana 18° e moda 13,5°.
Alternativa B
6) (ENEM-2011) Para uma atividade realizada no laboratório de Matemática, um aluno precisa construir uma maquete da quadra de esportes da escola que tem 28 m de comprimento por 12m de largura. A maquete deverá ser construída na escala de 1 : 250.
Que medidas de comprimento e largura, em cm, o aluno utilizará na construção da maquete?
A 4,8 e 11,2 B 7,0 e 3,0 C 11,2 e 4,8 D 28,0 e 12,0 E 30,0 e 70,0
Solução:
O primeiro passo é converter o comprimento e a largura reais em centímetros, tem-se:
O segundo passo é entender que a escala é a razão entre as medidas do modelo e as medidas reais, então, utilizando o conceito de razão e proporção, tem-se:
Desta forma, a maquete terá 11,2 cm de comprimento e 4,8 cm de largura.
Letra C.
7) (ENEM-2011) Sabe-se que a distância real, em linha reta, de uma cidade A, localizada no estado de São Paulo, a uma cidade B, localizada no estado de Alagoas, é igual a 2.000 km. Um estudante, ao analisar um mapa, verificou com sua régua que a distância entre essas duas cidades, A e B, era 8 cm.
Os dados nos indicam que o mapa observado pelo estudante está na escala de
A 1 : 250.
B 1 : 2 500.
C 1 : 25 000.
D 1 : 250 000.
E 1 : 25 000 000.
Solução:
O primeiro passo é converter as unidades de medida de comprimento em uma única unidade. Considera-se, então, o metro como padrão. Convertendo, km e cm em metros, tem-se:
O segundo passo é montar a escala do mapa, fazendo a razão entre as medidas do modelo e as medidas reais, tem-se:
A escala do mapa é de 1:25.000.000.
Alternativa E
8) (ENEM-2011) Observe as dicas para calcular a quantidade certa de alimentos e bebidas para as festas de fim de ano:
- Para o prato principal, estime 250 gramas de carne para cada pessoa.
- Um copo americano cheio de arroz rende o suficiente para quatro pessoas.
- Para a farofa, calcule quatro colheres de sopa por convidado.
- Uma garrafa de vinho serve seis pessoas.
- Uma garrafa de cerveja serve duas.
- Uma garrafa de espumante serve três convidados.
Quem organiza festas faz esses cálculos em cima do total de convidados, independente do gosto de cada um.
Quantidade certa de alimentos e bebidas evita o desperdício da ceia.
Jornal Hoje. 17 dez. 2010 (adaptado).
Um anfitrião decidiu seguir essas dicas ao se preparar para receber 30 convidados para a ceia de Natal. Para seguir essas orientações à risca, o anfitrião deverá dispor de
A ‚ 120 kg de carne, 7 copos americanos e meio de arroz, 120 colheres de sopa de farofa, 5 garrafas de vinho, 15 de cerveja e 10 de espumante.
B ‚ 120 kg de carne, 7 copos americanos e meio de arroz, 120 colheres de sopa de farofa, 5 garrafas de vinho, 30 de cerveja e 10 de espumante.
C 75 kg de carne, 7 copos americanos e meio de arroz, 120 colheres de sopa de farofa, 5 garrafas de vinho, 15 de cerveja e 10 de espumante.
D ‚ 7,5 kg de carne, 7 copos americanos arroz, 120 colheres de sopa de farofa, 5 garrafas de vinho, 30 de cerveja e 10 de espumante.
E 7,5 kg de carne, 7 copos americanos e meio de arroz, 120 colheres de sopa de farofa, 5 garrafas de vinho, 15 de cerveja e 10 de espumante.
Solução:
O primeiro passo é calcular as quantidades totais para os 30 convidados de cada um dos itens, tem-se:
O segundo passo é juntar as quantidades e escolher a alternativa. São : 75 kg de carne, 7,5 copos de arroz, 120 colheres de farofa, 5 garrafas de vinho, 15 garrafas de cerveja e 10 garrafas de espumante.
Alternativa E
9) (ENEM-2011) Um jovem investidor precisa escolher qual investimento lhe trará maior retorno financeiro em uma aplicação de R$ 500,00. Para isso, pesquisa o rendimento e o imposto a ser pago em dois investimentos: poupança e CDB (certificado de depósito bancário). As informações obtidas estão resumidas no quadro:
Para o jovem investidor, ao final de um mês, a aplicação mais vantajosa é
A a poupança, pois totalizará um montante de R$ 502,80.
B a poupança, pois totalizará um montante de R$ 500,56.
C o CDB, pois totalizará um montante de R$ 504,38.
D o CDB, pois totalizará um montante de R$ 504,21.
E o CDB, pois totalizará um montante de R$ 500,87.
Solução:
O primeiro passo é calcular o juros recebido pelo capital de R$ 500,00 ao ser aplicado em um período de 1 mês com taxa mensal, tanto na poupança como no CDB, tem-se:
O segundo passo é calcular quanto o CDB recolhe de imposto de renda, uma vez que, a poupança é isenta, tem-se:
Sendo assim, o ganho no CDB é dado pelo juro menos o imposto de renda, tem-se:
O terceiro passo é calcular o montante alcançado na poupança e no CDB, lembre-se que o montante é o capital mais o juros descantado o imposto de renda, tem-se:
Percebe-se que sendo o arredondamento feito de maneira correta (o último número significativo 7 é impar e o primeiro duvidoso é 5, aumenta-se de uma unidade o último número significativo.), então, 0,1752 é, aproximadamente, 0,18 e o CDB é mais vantajoso resultando em um montante de, aproximadamente, R$ 524,20. Considerando-se o arredondamento como 0,17 este montante seria R$ 524,21. Alternativa D.
10) (ENEM-2011) O prefeito de uma cidade deseja construir uma rodovia para dar acesso a outro município. Para isso, foi aberta uma licitação na qual concorreram duas empresas. A primeira cobrou R$ 100.000,00 por km construído (n), acrescido de um valor fixo de R$ 350.000,00, enquanto a segunda cobrou R$ 120.000,00 por km construído (n), acrescido de valor fixo de R$ 150.000,00. As duas empresas apresentam o mesmo padrão de qualidade dos serviços prestados, mas apenas uma delas poderá ser contratada.
Do ponto de vista econômico, qual equação possibilitaria encontrar a extensão da rodovia que tornaria indiferente para a prefeitura escolher qualquer uma das propostas apresentadas?
A 100n + 350 = 120n + 150
B 100n + 150 = 120n + 350
C 100(n + 350) = 120(n + 150)
D 100(n + 350.000) = 120(n + 150.000)
E 350(n + 100.000) = 150(n + 120.000)
Solução:
O primeiro passo é entender que a indiferença na escolha implica em custo final igual para as duas empresas. Sabe-se que o custo final é composto de uma parte fixa e uma parte dependente dos km construídos. Tem-se:
Conhecem-se, então, as funções do custo final de cada uma das empresas.
O segundo passo é igual o custo final da empresa A com o custo final da empresa B, para se chegara uma expressão que defina a proposição inicial, tem-se:
A expressão que mostra a indiferença entre os custos das duas empresas é 350 + 100n = 150 + 120n.
Alternativa A
11) (ENEM-2011) Uma pessoa aplicou certa quantia em ações. No primeiro mês, ela perdeu 30 % do total do investimento e, no segundo mês, recuperou 20 % do que havia perdido. Depois desses dois meses, resolveu tirar o montante de R$ 3 800,00 gerado pela aplicação.
A quantia inicial que essa pessoa aplicou em ações corresponde ao valor deA R$ 4 222,22.
B R$ 4 523,80.
C R$ 5 000,00.
D R$ 13 300,00.
E R$ 17 100,00.
Solução:
O primeiro passo é calcular qual foi o decréscimo obtido no 1° mês, trata-se de um valor igual ao juros simples, mas que é retirado do capital após o 1º mês, tem-se:
Sabe-se, então, que o decréscimo no 1º mês foi de 3/10 do capital.
O segundo passo é calcular o juros conseguido em cima do decréscimo obtido no 1º mês, tem-se:
Sendo assim, houve uma recuperação de 6/100 do capital inicial no 2º mês.
O terceiro passo é calcular o montante após esses dois meses, lembre-se: neste caso o montante é o capital inicial menos o decréscimo do 1º mês, mais o juros do 2º mês e deve resultar em R$ 3.800,00. Tem-se:
Desta forma, o capital aplicado, pela pessoa, em ações foi de R$ 5.000,00.
Alternativa A
12) (ENEM-2011) Cerca de 20 milhões de brasileiros vivem na região coberta pela caatinga, em quase 800 mil km² de área. Quando não chove, o homem do sertão e sua família precisam caminhar quilômetros em busca da água dos açudes. A irregularidade climática é um dos fatores que mais interferem na vida do sertanejo.
Disponível em: http://www.wwf.org.br. Acesso em: 23 abr. 2010.
Segundo este levantamento, a densidade demográfica da região coberta pela caatinga, em habitantes por km², é de
A 250. B 25. C 2,5. D 0,25. E 0,025.
Solução:
O primeiro passo é encontrar a expressão matemática para densidade demográfica. Vê-se que a medida de densidade demográfica é dada em número de habitantes por quilometro quadrado, logo essa grandeza é a razão entre o número de habitantes e a área em quilometro quadrado, tem-se:
O segundo passo é localizar os dados no texto e calcular a densidade demográfica da caatinga, tem-se:
A densidade demográfica da caatinga é de 25 hab/km².
13) (ENEM-2011) Uma indústria fabrica um único tipo de produto e sempre vende tudo o que produz. O custo total para fabricar uma quantidade q de produtos é dado por uma função, simbolizada por CT, enquanto o faturamento que a empresa obtém com a venda da quantidade q também é uma função, simbolizada por FT. O lucro total (LT) obtido pela venda da quantidade q de produtos é dado pela expressão LT(q) = FT(q) – CT(q).
Considerando-se as funções FT(q) = 5q e CT(q) = 2q + 12 como faturamento e custo, qual a quantidade mínima de produtos que a indústria terá de fabricar para não ter prejuízo?
A 0 B 1 C 3 D 4 E 5
Solução:
O primeiro passo é construir a função lucro dadas as funções do faturamento e do custo, tem-se:
Sabe-se, então, o lucro em função da quantidade de produto vendido.
O segundo passo é calcular qual a quantidade de produto q necessária para se obter um lucro (LT) nulo (zero), que significa não ter prejuízo e nem lucro. Tem-se:
Para não se ter prejuízo o lucro deve ser nulo e nessa situação a quantidade de produtos vendida tem que ser 4.
Alternativa D
14) (ENEM-2011) A resistência das vigas de dado comprimento é diretamente proporcional à largura (b) e ao quadrado da altura (d), conforme a figura. A constante de proporcionalidade k varia de acordo com o material utilizado na sua construção.
Considerando-se S como resistência, a representação algébrica que exprime essa relação é
Solução:
O primeiro passo é entender a proporcionalidade direta entre grandezas. Se uma grandeza aumentar e conjuntamente a ela uma outra, também, aumentar ou se uma grandeza diminuir e a outra, também, diminuir na mesma proporção, então, elas são diretamente proporcionais. Quando isso ocorre pode-se dizer que uma grandeza é igual a outra multiplicada por uma constante de proporcionalidade.
O Segundo passo é traduzir a proporcionalidade descrita para a matemática, tem-se:
A expressão acima mostra a resistência da viga em função da largura e da altura.
15) (ENEM-2011) Em um jogo disputado em uma mesa de sinuca, há 16 bolas: 1 branca e 15 coloridas, as quais, de acordo com a coloração, valem de 1 a 15 pontos (um valor para cada bola colorida).
O jogador acerta o taco na bola branca de forma que esta acerte as outras, com o objetivo de acertar duas das quinze bolas em quaisquer caçapas. Os valores dessas duas bolas são somados e devem resultar em um valor escolhido pelo jogador antes do início da jogada.
Arthur, Bernardo e Caio escolhem os números 12, 17 e 22 como sendo resultados de suas respectivas somas.
Com essa escolha, quem tem a maior probabilidade de ganhar o jogo é
A Arthur, pois a soma que escolheu é a menor.
B Bernardo, pois há 7 possibilidades de compor a soma escolhida por ele, contra 4 possibilidades para a escolha de Arthur e 4 possibilidades para a escolha de Caio.
C Bernardo, pois há 7 possibilidades de compor a soma escolhida por ele, contra 5 possibilidades para a escolha de Arthur e 4 possibilidades para a escolha de Caio.
D Caio, pois há 10 possibilidades de compor a soma escolhida por ele, contra 5 possibilidades para a escolha de Arthur e 8 possibilidades para a escolha de Bernardo.
E Caio, pois a soma que escolheu é a maior.
Solução:
O primeiro passo é entender que probabilidade é a razão entre o número de elementos de um evento, também chamado de possibilidades de sucesso (S), e o número de elementos do espaço amostral, também chamado de universo possibilidades (U), tem-se:
O segundo passo é encontrar o número de elementos do espaço amostral, ou o universo de possibilidades de se construir duplas de bolas diferentes. Esses pares de bolas além de terem números diferentes a ordem dos mesmos não importará na composição dos pares, ou seja, 1 e 2 é igual a 2 e 1. Essas são as características da combinação simples, tem-se:
Sendo assim as bolas de 1 a 15 formam 105 pares diferentes que representam o espaço amostral ou o universo de possibilidades.
O terceiro passo é encontrar o número de elementos dos eventos de Arthur, Bernardo e Caio o sucesso de cada um é composto por um determinado número de pares de bolas que somadas resultam nos números escolhidos por eles, tem-se:
O quarto passo é calcular a probabilidade de cada um dos jogadores ganhar o jogo, tem-se:
Desta forma, a probabilidade de Bernardo ganhar o jogo é maior, pois existem 7 possibilidades para a soma 17, enquanto que a soma 12 de Arthur tem 5 possibilidades e a soma 22 de Caio tem 4 possibilidades.
Alternativa C
16) (ENEM-2009) Suponha que o modelo exponencial
A) 490 e 510 milhões.
B) 550 e 620 milhões.
C) 780 e 800 milhões.
D) 810 e 860 milhões.
E) 870 e 910 milhões.
Solução:
Para a população de 2030, x = 30, calcula-se:
Em 2030 a população com mais de 60 anos será de 893,1 milhões de habitantes.
Alternativa E.
17) (ENEM-2009) Em 2050, a probabilidade de se escolher, aleatoriamente, uma pessoa com 60 anos ou mais de idade, na população dos países desenvolvidos, será um número mais próximo de
A) 1/2. B) 7/20. C) 8/25 . D) 1/5. E) 3/25 .
Solução:
O primeiro passo é calcular o total da população nos países desenvolvidos (x) que representará o espaço amostral da pesquisa (Universo), tem-se:
Alternativa C.
O primeiro passo é calcular o total da população nos países desenvolvidos (x) que representará o espaço amostral da pesquisa (Universo), tem-se:
O total da popuação em 2050 nos países desenvolvidos será de 1.418 milhões de pessoas. Então, a probabilidade de se escolher um habitante com mais de 60 anos é calculada da seguinte forma:
A probabilidade de se escolher um habitante com mais de 60 anos é de, aproximadamente, 8/25.
A probabilidade de se escolher um habitante com mais de 60 anos é de, aproximadamente, 8/25.
Alternativa C.
18) (ENEM-2009) Uma resolução do Conselho Nacional de Política Energética (CNPE) estabeleceu a obrigatoriedade de adição de biodísel ao óleo dísel comercializado nos postos. A exigência é que, a partir de 1.º de julho de 2009, 4% do volume da mistura final seja formada por biodísel. Até junho de 2009, esse percentual era de 3%. Essa medida estimula a demanda de biodísel, bem como possibilita a redução da importação de dísel de petróleo.
Disponível em: http://www1.folha.uol.com.br. Acesso em: 12 jul. 2009 (adaptado).
Estimativas indicam que, com a adição de 4% de biodísel ao dísel, serão consumidos 925 milhões de litros de biodísel no segundo semestre de 2009. Considerando-se essa estimativa, para o mesmo volume da mistura final dísel/biodísel consumida no segundo semestre de 2009, qual seria o consumo de biodísel com a adição de 3%?
A) 27,75 milhões de litros.
B) 37,00 milhões de litros.
C) 231,25 milhões de litros.
D) 693,75 milhões de litros.
E) 888,00 milhões de litros.
Solução:
Se 4 % da mistura correspondem a 925 milhões de litros de biodisel, 3% dessa mesma mistura corresponderá a x milhões de litros. Basta montar uma regra de três simples e direta. Calcula-se:
Alternativa D.
19) (ENEM-2009) A suspeita de que haveria uma relação causal entre tabagismo e câncer de pulmão foi levantada pela primeira vez a partir de observações clínicas. Para testar essa possível associação, foram conduzidos inúmeros estudos epidemiológicos. Dentre esses, houve o estudo do número de casos de câncer em relação ao número de cigarros consumidos por dia, cujos resultados são mostrados no gráfico a seguir.
Centers for Disease Control and Prevention CDC-EIS Summer Course – 1992 (adaptado).
De acordo com as informações do gráfico,
A) o consumo diário de cigarros e o número de casos de câncer de pulmão são grandezas inversamente proporcionais.
A) o consumo diário de cigarros e o número de casos de câncer de pulmão são grandezas inversamente proporcionais.
B) o consumo diário de cigarros e o número de casos de câncer de pulmão são grandezas que não se relacionam.
C) o consumo diário de cigarros e o número de casos de câncer de pulmão são grandezas diretamente proporcionais.
D) uma pessoa não fumante certamente nunca será diagnosticada com câncer de pulmão.
E) o consumo diário de cigarros e o número de casos de câncer de pulmão são grandezas que estão relacionadas, mas sem proporcionalidade.
Solução:
O gráfico mostra que de 0 a 1 cigarro ao dia aumenta de 0 para 20 o número de casos de câncer no pulmão. Já de 1 a 14 cigarros ao dia mantem constante em 20 o número de casos de câncer no pulmão. De 14 a 15 cigarros ao dia ocorre um novo aumento de 20 para 30 o número de casos de câncer no pulmão e de 15 a 24 cigarros ao dia o número de casos de câncer no pulmão volta a permanecer constante mas agora em 30 casos. Percebe-se, facilmente que há uma relação entre as grandezas, porém o crescimento no número de dias não é proporcional ao crescimento de caso de câncer no pulmão.
20) (ENEM-2009) A música e a matemática se encontram na representação dos tempos das notas musicais, conforme a figura seguinte.
Um compasso é uma unidade musical composta por determinada quantidade de notas musicais em que a soma das durações coincide com a fração indicada como fórmula do compasso. Por exemplo, se a fórmula de compasso for 1/2, poderia ter um compasso ou com duas semínimas ou uma mínima ou quatro colcheias, sendo possível a combinação de diferentes figuras.
Um trecho musical de oito compassos, cuja fórmula é 3/4, poderia ser preenchido com
A) 24 fusas.
B) 3 semínimas.
C) 8 semínimas.
D) 24 colcheias e 12 semínimas.
E) 16 semínimas e 8 semicolcheias.
Solução:
Calcula-se:
O trecho musical de 8 compassos de 3/4 pode ser preenchido com 24 colcheias e 12 semínimas.
21) (ENEM-2009) A tabela mostra alguns dados da emissão de dióxido de carbono de uma fábrica, em função do número de toneladas produzidas.
Cadernos do Gestar II, Matemática TP3.
Disponível em: www.mec.gov.br. Acesso em: 14 jul. 2009.
Os dados na tabela indicam que a taxa média de variação entre a emissão de dióxido de carbono (em ppm) e a produção (em toneladas) é
A) inferior a 0,18.
B) superior a 0,18 e inferior a 0,50.
C) superior a 0,50 e inferior a 1,50.
D) superior a 1,50 e inferior a 2,80.
E) superior a 2,80.
Solução:
O primeiro passo é encontrar a variação pontual na emissão de dióxido de carbono (Y)em ppm, de acordo com a tabela, tem-se:
Conforme a produção em toneladas (X) vai aumentando a emissão de dióxido de carbono tem um acréscimo, pontualmente essa variação na emissão de dióxido de carbono foi calculada na tabela acima. O segundo passo é calcular a média dessa variação de emissão de dióxido de carbono. tem-se:
Sabe-se, então que a variação média na emissão de dióxido de carbono é de, aproximadamente, 0,21 ppm. A tabela inicial mostra que a produção em toneladas (X)tem um aumento (variação da produção) pontual constante de 0,1 toneladas o que resulta em um aumento médio igual ao valor constante. O terceiro passo é calcular a taxa média de variação entre a emissão de dióxido de carbono (em ppm) e a produção (em toneladas), vê-se:
A taxa média de emissão de dióxido de carbono por toneladas produzida é de 2,067ppm/ton.
Alternativa D.
22) (ENEM - 2009) Um grupo de 50 pessoas fez um orçamento inicial para organizar uma festa, que seria dividido entre elas em cotas iguais. Verificou-se ao final que, para arcar com todas as despesas, faltavam R$ 510,00, e que 5 novas pessoas haviam ingressado no grupo. No acerto foi decidido que a despesa total seria dividida em partes iguais pelas 55 pessoas. Quem não havia ainda contribuído pagaria a sua parte, e cada uma das 50 pessoas do grupo inicial deveria contribuir com mais R$ 7,00.
De acordo com essas informações, qual foi o valor da cota calculada no acerto final para cada uma das 55 pessoas?
A) R$ 14,00. B) R$ 17,00. C) R$ 22,00. D) R$ 32,00. E) R$ 57,00.
Solução:
O primeiro passo é identificar a despesa total da festa, sabendo que inicialmente 50 pessoas participariam do rateio e considerando que o valor unitário pago por cada pessoa é x. Tem-se:
Sabendo-se o valor total da despesa, ao dividi-lo por 55 pessoas (50 iniciais + 5 novos ingressantes) obtém-se o valor individual com que cada pessoa deve contribuir e esse valor é idêntico ao valor pago individualmente pelo grupo inicial de 50 pessoas mais R$ 7,00. Tem-se:
Sabe-se, então, que inicialmente as 50 pessoas pagariam, individualmente, R$ 25,00 pela festa e ainda ficariam faltando R$ 510,00. O valor final pago pelas 55 pessoas é a soma do valor individual, inicialmente, pago pelas 50 pessoas mais R$ 7,00. Uma vez que todos pagaram o mesmo valor. Tem-se:
Desta forma, cada uma das pessoas contribuiu com R$ 32,00 para a organização da festa
Alternativa D.
23) (ENEM-2009) A rampa de um hospital tem na sua parte mais elevada uma altura de 2,2 metros. Um paciente ao caminhar sobre a rampa percebe que se deslocou 3,2 metros e alcançou uma altura de 0,8 metro. A distância em metros que o paciente ainda deve caminhar para atingir o ponto mais alto da rampa é
A) 1,16 metros. B) 3,0 metros. C) 5,4 metros. D) 5,6 metros. E) 7,04 metros.
Solução:
O primeiro passo é esquematizar a situação descrita, vê-se:
Percebe-se, facilmente, que o triângulo ABC é semelhante ao triângulo ADE. A semelhança ocorre devido a congruências dos ângulos correspondentes.
Sendo assim, os lados correspondentes são proporcionais e a razão entre esses lados é sempre constante, tem-se:
O próximo passo é calcular o comprimento total da rampa AC do hospital, tem-se:
A rampa do hospital tem 8,8 m de comprimento. O último passo é encontrar a distânciaEC que o paciente ainda deve caminhar para completar toda a rampa, tem-se:
Estando no ponto E da rampa o paciente ainda deve caminhar 5,6 metros para atingir o ponto C e completar a totalidade da mesma.
Alternativa D.
24) Para cada indivíduo, a sua inscrição no Cadastro de Pessoas Físicas (CPF) é composto por um número de 9 algarismos e outro número de 2 algarismos, na forma d1d2, em que os dígitos d1 e d2 são denominados dígitos verificadores. Os dígitos verificadores são calculados, a partir da esquerda, da seguinte maneira: os 9 primeiros algarismos são multiplicados pela sequência 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2 (o primeiro por 10, o segundo por 9, e assim sucessivamente); em seguida, calcula-se o resto r da divisão da soma dos resultados das multiplicações por 11, e se esse resto r for 0 ou 1, d1 é zero, caso contrário d1 = (11 – r). O dígito d2 é calculado pela mesma regra, na qual os números a serem multiplicados pela sequência dada são contados a partir do segundo algarismo, sendo d1 o último algarismo, isto é, d2 é zero se o resto s da divisão por 11 das somas das multiplicações for 0 ou 1, caso contrário, d2 = (11 – s). Suponha que João tenha perdido seus documentos, inclusive o cartão de CPF e, ao dar queixa da perda na delegacia, não conseguisse lembrar quais eram os dígitos verificadores, recordando-se apenas que os nove primeiros algarismos eram 123.456.789. Neste caso, os dígitos verificadores d1 e d2 esquecidos são, respectivamente,
A) 0 e 9. B) 1 e 4. C) 1 e 7. D) 9 e 1. E) 0 e 1.
Solução:
O primeiro passo é seguir a sequência indicada e calcular o dígito d1, tem-se:
Sabe-se, então, que d1 vale 0. O segundo passo é calcular d2, tem-se:
Sendo assim, d1 = 0 e d2 = 9, respectivamente.
O primeiro passo é seguir a sequência indicada e calcular o dígito d1, tem-se:
Sabe-se, então, que d1 vale 0. O segundo passo é calcular d2, tem-se:
Sendo assim, d1 = 0 e d2 = 9, respectivamente.
Alternativa A.
25) (ENEM-2009) Em Florença, Itália, na Igreja de Santa Croce, é possível encontrar um portão em que aparecem os anéis de Borromeo. Alguns historiadores acreditavam que os círculos representavam as três artes: escultura, pintura e arquitetura, pois elas eram tão próximas quanto inseparáveis.
Scientific American, ago. 2008.
Qual dos esboços a seguir melhor representa os anéis de Borromeo?
Solução:
Deve-se atentar ao primeiro plano da imagem e compará-lo com as alternativas, veja:
Percebe-se que os pontos vermelhos estão sempre em segmentos de arcos que passam por cima de outros segmentos de arco.
Alternativa E.
26) (ENEM-2010) No monte de Cerro Armazones, no deserto de Atacama, no Chile, ficará o maior telescópio da superfície terrestre, o Telescópio Europeu Extremamente Grande (E-ELT). O E-ELT terá um espelho primário de 42 m de diâmetro, “o maior olho do mundo voltado para o céu”.
Solução:
O conceito de razão trata de uma fração entre as grandezas em questão. A razão entre o diâmetro do olho humano e o diâmetro do telescópio é, nada menos, uma fração de numerador igual ao diâmetro do olho humano e denominador igual ao diâmetro do telescópio.
Deve-se lembrar que as unidades de medidas devem ser as mesmas, então, o diâmetro do telescópio deve ser passado de metro para centímetros, tem-se:
Sendo o diâmetro do telescópio 4.200 cm, pode-se, agora, calcular a razão procurada.Vê-se:
A razão entre o diâmetro do olho humano e o diâmetro do telescópio é 1/2.000, o que significa que o diâmetro do telescópio é 2.000 vezes maior que o do olho humano.
D.A. RESOLVE
O primeiro passo é esquematizar as duas barras de chocolates, vê-se:
O segundo passo é entender que o volume de um sólido geométrico reto é o produto de suas três dimensões, comprimento, largura e espessura. No paralelepípedo as dimensões são diferentes, já no cubo as três dimensões são iguais. O volume do paralelepípedo é comprimento x largura x espessura e o volume do cubo é o produto das três arestas.
O terceiro passo é igualar o volume da barra de chocolate 1 com o volume da barra de chocolate 2, para encontrar a aresta da barra em forma de cubo, tem-se:
Existe, ainda, um quarto passo, extrair a raiz cúbica de 216. Para isso, decompõe-se o número em fatores primos, tem-se:
Desta forma, a barra de chocolate 2 em formato de cubo tem aresta de 6 cm.
Se o Brasil tivesse obtido mais 4 medalhas de ouro, 4 de prata e 10 de bronze, sem alteração no número de medalhas dos demais países mostrados no quadro, qual teria sido a classificação brasileira no quadro de medalhas das Olimpíadas de 2004?
A. 13º B. 12º C. 11º D. 10º E. 9º
Solução:
O primeiro passo é calcular o número de medalhas de ouro prata e bronze que o Brasil passará a ter depois do novo acréscimo, vê-se:
O segundo passo é identificar o posicionamento do Brasil no quadro de medalhas após o acréscimo das novas medalhas, tem-se:
Então, o Brasil assumiu a 12ª posição no quadro de medalhas.
Alternativa B
26) (ENEM-2010) No monte de Cerro Armazones, no deserto de Atacama, no Chile, ficará o maior telescópio da superfície terrestre, o Telescópio Europeu Extremamente Grande (E-ELT). O E-ELT terá um espelho primário de 42 m de diâmetro, “o maior olho do mundo voltado para o céu”.
Disponível em: http://www.estadao.com.br. Acesso em: 27 abr. 2010 (adaptado).
Ao ler esse texto em uma sala de aula, uma professora fez uma suposição de que o diâmetro do olho humano mede aproximadamente 2,1 cm. Qual a razão entre o diâmetro aproximado do olho humano, suposto pela professora, e o diâmetro do espelho primário do telescópio citado?
A. 1 / 20 B. 1 / 100 C. 1 / 200 D. 1 / 1 000 E. 1 / 2 000
Solução:
O conceito de razão trata de uma fração entre as grandezas em questão. A razão entre o diâmetro do olho humano e o diâmetro do telescópio é, nada menos, uma fração de numerador igual ao diâmetro do olho humano e denominador igual ao diâmetro do telescópio.
Deve-se lembrar que as unidades de medidas devem ser as mesmas, então, o diâmetro do telescópio deve ser passado de metro para centímetros, tem-se:
Sendo o diâmetro do telescópio 4.200 cm, pode-se, agora, calcular a razão procurada.Vê-se:
A razão entre o diâmetro do olho humano e o diâmetro do telescópio é 1/2.000, o que significa que o diâmetro do telescópio é 2.000 vezes maior que o do olho humano.
Alternativa E
27) (ENEM-2010) Uma fábrica produz barras de chocolates no formato de paralelepípedos e de cubos, com o mesmo volume. As arestas da barra de chocolate no formato de paralelepípedo medem 3 cm de largura, 18 cm de comprimento e 4 cm de espessura.
Analisando as características das figuras geométricas descritas, a medida das arestas dos chocolates que têm o formato de cubo é igual a
A. 5 cm. B. 6 cm. C. 12 cm. D. 24 cm. E. 25 cm.
D.A. RESOLVE
O primeiro passo é esquematizar as duas barras de chocolates, vê-se:
O segundo passo é entender que o volume de um sólido geométrico reto é o produto de suas três dimensões, comprimento, largura e espessura. No paralelepípedo as dimensões são diferentes, já no cubo as três dimensões são iguais. O volume do paralelepípedo é comprimento x largura x espessura e o volume do cubo é o produto das três arestas.
O terceiro passo é igualar o volume da barra de chocolate 1 com o volume da barra de chocolate 2, para encontrar a aresta da barra em forma de cubo, tem-se:
Existe, ainda, um quarto passo, extrair a raiz cúbica de 216. Para isso, decompõe-se o número em fatores primos, tem-se:
Desta forma, a barra de chocolate 2 em formato de cubo tem aresta de 6 cm.
Alternativa B
28) (ENEM 2010) A classificação de um país no quadro de medalhas nos Jogos Olímpicos depende do número de medalhas de ouro que obteve na competição, tendo como critérios de desempate o número de medalhas de prata seguido do número de medalhas de bronze conquistados. Nas Olimpíadas de 2004, o Brasil foi o décimo sexto colocado no quadro de medalhas, tendo obtido 5 medalhas de ouro, 2 de prata e 3 de bronze. Parte desse quadro de medalhas é reproduzida a seguir.
Se o Brasil tivesse obtido mais 4 medalhas de ouro, 4 de prata e 10 de bronze, sem alteração no número de medalhas dos demais países mostrados no quadro, qual teria sido a classificação brasileira no quadro de medalhas das Olimpíadas de 2004?
A. 13º B. 12º C. 11º D. 10º E. 9º
Solução:
O primeiro passo é calcular o número de medalhas de ouro prata e bronze que o Brasil passará a ter depois do novo acréscimo, vê-se:
O segundo passo é identificar o posicionamento do Brasil no quadro de medalhas após o acréscimo das novas medalhas, tem-se:
Então, o Brasil assumiu a 12ª posição no quadro de medalhas.
Alternativa B
29) (ENEM-2010) Em sete de abril de 2004, um jornal publicou o ranking de desmatamento, conforme o gráfico, da chamada Amazônia Legal, integrada por nove estados.
Considerando-se que até 2009 o desmatamento cresceu 10,5% em relação aos dados de 2004, o desmatamento médio por estado em 2009 está entre
A.100 km² e 900 km².
B. 1 000 km² e 2 700 km².
C. 2 800 km² e 3 200 km².
D. 3 300 km² e 4 000 km².
E. 4 100 km² e 5 800 km².
Solução:
O primeiro passo é calcular o desmatamento médio por estado em 2004. Faz-se a média aritmética simples, soma dos desmatamentos mensais, dividida pelo número de estados, tem-se:
Em 2004 a média de desmatamento por Estado foi de 2.639 km².
O segundo passo é calcular 10,5 % de aumento sobre o desmatamento médio de 2004 para se descobrir o desmatamento médio de 2009, tem-se:
Em 2009, o desmatamento médio foi de, aproximadamente, 2.916 km². Entre 2.800 km²e 3.200 km².
Alternativa C
30) (ENEM-2010) A figura I abaixo mostra um esquema das principais vias que interligam a cidade A com a cidade B. Cada número indicado na figura II representa a probabilidade de pegar um engarrafamento quando se passa na via indicada. Assim, há uma probabilidade de 30% de se pegar engarrafamento no deslocamento do ponto C ao o ponto B, passando pela estrada E4, e de 50%, quando se passa por E3. Essas probabilidades são independentes umas das outras.
D.A. RESOLVE
O primeiro passo é perceber que tanto o número de canudos, quanto o número de quadrados de uma figura para outra corresponde a uma progressão aritmética. Para se descobrir o número de canudos da figura n, deve-se calcular o último termo da P.A.. Tem-se:
Percebe-se que a posição da figura corresponde ao número de quadrados, fig.1 = 1 quadrado, fig. 2 = 2 quadrados e assim por diante. Mas a sequência de figuras e quadrados, também, é uma P.A., tem-se:
Comparando as duas sequências, de canudos e de quadrados, existe uma correspondência entre seus termos. Então, o n é o mesmo nas duas sequências, tem-se:
A relação que representa o número de canudos C em função do número de quadradosQ é dada pelo item B.
Solução:
O primeiro passo é calcular a área e o perímetro das telas da primeira encomenda, cuidado com as unidades, os preços levam em conta metro quadrado e metro linear, logo tanto a área quanto o perímetro devem estar nessas unidades, tem-se:
Agora que se sabe a área da tela e o seu perímetro, o segundo passo é calcular o gasto para se produzir 8 quadros, tem-se:
O terceiro passo é calcular a área e o perímetro das telas da segunda encomenda, tem-se:
O quarto passo é calcular o gasto da segunda encomenda
Percebe-se que a 2ª encomenda custou mais caro que a 1ª, mas não exatamente o dobro do valor da 1ª e sim R$ 240,00 mais caro, uma vez que a 2ª custou R$ 440,00 e a 1ª R$ 200,00.
Um cientista monitora o movimento desse satélite para controlar o seu afastamento do centro da Terra. Para isso, ele precisa calcular a soma dos valores de r, no apogeu e no perigeu, representada por S.
O cientista deveria concluir que, periodicamente, S atinge o valor de
A. 12 765 km. B. 12 000 km. C. 11 730 km. D. 10 965 km. E. 5 865 km.
D.A. RESOLVE
O primeiro passo é entender quando a função r(t) atinge seus valores máximos e mínimos. Como r(t) trata de uma fração ela será máxima para um denominador menor e será mínima para um denominador maior. Deve-se, então, olhar para o denominador que é uma adição de 1 e o cosseno de um determinado ângulo. Sendo assim, atenta-se para os valores máximos e mínimos do cosseno, tem-se:
O segundo passo é identificar o valor de S que representa a soma das distâncias do apogeu e do perigeu do satélite, tem-se:
Percebe-se, então, que periodicamente o satélite apresenta o valor S de 12.000 km.
Alternativa B
Paula deseja se deslocar da cidade A para a cidade B usando exatamente duas das vias indicadas, percorrendo um trajeto com a menor probabilidade de engarrafamento possível. O melhor trajeto para Paula é
A. E1E3. B. E1E4. C. E2E4. D. E2E5. E. E2E6.
Solução:
O primeiro passo é identificar a probabilidade da união de eventos independentes (evento A independente do evento B).
Essa probabilidade é dada pela ocorrência de A "ou" B e, é representada pela soma da probabilidade de ocorrer A, com a probabilidade de ocorrer B.
Porém, existe a probabilidade de ocorrer ambos os eventos ao mesmo tempo, A "e" Bque é representada pelo produto da probabilidade de ocorrer A e a probabilidade de ocorrer B.
Essa probabilidade de ocorrer ambos os eventos ao mesmo tempo A "e" B está computada tanto na probabilidade de ocorrer A como na probabilidade de ocorrer B. Então, deve ser descontada na soma das probalidades de A mais B para se obter a verdadeira probabilidade da união de dois eventos independentes.
Representam-se:
Agora, que se sabe o conceito de probabilidade da reunião de eventos independentes, calcula-se a probabilidade de se encontrar congestionamento nos quatro trajetos possíveis para Paula ir de A para B. Tem-se:
Sendo assim, a menor probabilidade de pegar um congestionamento é pelo trajetoE2E5, 0,82 ou 82 %.
O primeiro passo é identificar a probabilidade da união de eventos independentes (evento A independente do evento B).
Essa probabilidade é dada pela ocorrência de A "ou" B e, é representada pela soma da probabilidade de ocorrer A, com a probabilidade de ocorrer B.
Porém, existe a probabilidade de ocorrer ambos os eventos ao mesmo tempo, A "e" Bque é representada pelo produto da probabilidade de ocorrer A e a probabilidade de ocorrer B.
Essa probabilidade de ocorrer ambos os eventos ao mesmo tempo A "e" B está computada tanto na probabilidade de ocorrer A como na probabilidade de ocorrer B. Então, deve ser descontada na soma das probalidades de A mais B para se obter a verdadeira probabilidade da união de dois eventos independentes.
Representam-se:
Agora, que se sabe o conceito de probabilidade da reunião de eventos independentes, calcula-se a probabilidade de se encontrar congestionamento nos quatro trajetos possíveis para Paula ir de A para B. Tem-se:
Sendo assim, a menor probabilidade de pegar um congestionamento é pelo trajetoE2E5, 0,82 ou 82 %.
Alternativa D
31) Uma professora realizou uma atividade com seus alunos utilizando canudos de refrigerante para montar figuras, onde cada lado foi representado por um canudo. A quantidade de canudos (C) de cada figura depende da quantidade de quadrados (Q) que formam cada figura. A estrutura de formação das figuras está representada a seguir.
Que expressão fornece a quantidade de canudos em função da quantidade de quadrados de cada figura?
A. C = 4Q B. C = 3Q + 1 C. C = 4Q - 1 D. C = Q + 3 E. C = 4Q - 2
D.A. RESOLVE
O primeiro passo é perceber que tanto o número de canudos, quanto o número de quadrados de uma figura para outra corresponde a uma progressão aritmética. Para se descobrir o número de canudos da figura n, deve-se calcular o último termo da P.A.. Tem-se:
Percebe-se que a posição da figura corresponde ao número de quadrados, fig.1 = 1 quadrado, fig. 2 = 2 quadrados e assim por diante. Mas a sequência de figuras e quadrados, também, é uma P.A., tem-se:
Comparando as duas sequências, de canudos e de quadrados, existe uma correspondência entre seus termos. Então, o n é o mesmo nas duas sequências, tem-se:
A relação que representa o número de canudos C em função do número de quadradosQ é dada pelo item B.
32) (ENEM-2010) A loja Telas & Molduras cobra 20 reais por metro quadrado de tela, 15 reais por metro linear de moldura, mais uma taxa fixa de entrega de 20 reais.
Uma artista plástica precisa encomendar telas e molduras a essa loja, suficientes para 8 quadros retangulares (25 cm × 50 cm). Em seguida, fez uma segunda encomenda, mas agora para 8 quadros retangulares (50 cm × 100 cm). O valor da segunda encomenda será
A. o dobro do valor da primeira encomenda, porque a altura e a largura dos quadros dobraram.
B. maior do que o valor da primeira encomenda, mas não o dobro.
C. a metade do valor da primeira encomenda, porque a altura e a largura dos quadros dobraram.
D. menor do que o valor da primeira encomenda, mas não a metade.
E. igual ao valor da primeira encomenda, porque o custo de entrega será o mesmo.
Solução:
O primeiro passo é calcular a área e o perímetro das telas da primeira encomenda, cuidado com as unidades, os preços levam em conta metro quadrado e metro linear, logo tanto a área quanto o perímetro devem estar nessas unidades, tem-se:
Agora que se sabe a área da tela e o seu perímetro, o segundo passo é calcular o gasto para se produzir 8 quadros, tem-se:
O terceiro passo é calcular a área e o perímetro das telas da segunda encomenda, tem-se:
O quarto passo é calcular o gasto da segunda encomenda
Percebe-se que a 2ª encomenda custou mais caro que a 1ª, mas não exatamente o dobro do valor da 1ª e sim R$ 240,00 mais caro, uma vez que a 2ª custou R$ 440,00 e a 1ª R$ 200,00.
Alternativa B
33) (ENEM-2010) Um satélite de telecomunicações, t minutos após ter atingido sua órbita, está a rquilômetros de distância do centro da Terra. Quando r assume seus valores máximo e mínimo, diz-se que o satélite atingiu o apogeu e o perigeu, respectivamente. Suponha que, para esse satélite, o valor de r em função de t seja dado por
Um cientista monitora o movimento desse satélite para controlar o seu afastamento do centro da Terra. Para isso, ele precisa calcular a soma dos valores de r, no apogeu e no perigeu, representada por S.
O cientista deveria concluir que, periodicamente, S atinge o valor de
A. 12 765 km. B. 12 000 km. C. 11 730 km. D. 10 965 km. E. 5 865 km.
D.A. RESOLVE
O primeiro passo é entender quando a função r(t) atinge seus valores máximos e mínimos. Como r(t) trata de uma fração ela será máxima para um denominador menor e será mínima para um denominador maior. Deve-se, então, olhar para o denominador que é uma adição de 1 e o cosseno de um determinado ângulo. Sendo assim, atenta-se para os valores máximos e mínimos do cosseno, tem-se:
O segundo passo é identificar o valor de S que representa a soma das distâncias do apogeu e do perigeu do satélite, tem-se:
Percebe-se, então, que periodicamente o satélite apresenta o valor S de 12.000 km.
Alternativa B
34) (ENEM-2010) Uma empresa possui um sistema de controle de qualidade que classifica o seu desempenho financeiro anual, tendo como base o do ano anterior. Os conceitos são:insuficiente, quando o crescimento é menor que 1%; regular, quando o crescimento é maior ou igual a 1% e menor que 5%; bom, quando o crescimento é maior ou igual a 5% e menor que 10%; ótimo, quando é maior ou igual a 10% e menor que 20%; eexcelente, quando é maior ou igual a 20%. Essa empresa apresentou lucro de R$ 132 000,00 em 2008 e de R$ 145 000,00 em 2009.
De acordo com esse sistema de controle de qualidade, o desempenho financeiro dessa empresa no ano de 2009 deve ser considerado
A. insuficiente. B. regular. C. bom. D. ótimo. E. excelente.
Solução:
O primeiro passo é identificar qual foi o aumento no lucro de 2008 para 2009, tem-se
De 2008 para 2009 houve um aumento de R$ 13.000,00 no lucro da empresa.
O segundo passo é identificar qual a porcentagem que representa esses R$ 13.000,00 em relação ao lucro de 2008 R$ 132.000,00, tem-se:
O terceiro passo é identificar qual é o conceito correspondente a 9,85 % de aumento, tem-se:
A empresa teve um desempenho financeiro considerado bom.
Alternativa C
35) Uma escola recebeu do governo uma verba de R$ 1000,00 para enviar dois tipos de folhetos pelo correio. O diretor da escola pesquisou que tipos de selos deveriam ser utilizados. Concluiu que, para o primeiro tipo de folheto, bastava um selo de R$ 0,65 enquanto para folhetos do segundo tipo seriam necessários três selos, um de R$ 0,65, um de R$ 0,60 e um de R$ 0,20. O diretor solicitou que se comprassem selos de modo que fossem postados exatamente 500 folhetos do segundo tipo e uma quantidade restante de selos que permitisse o envio do máximo possível de folhetos do primeiro tipo.
Quantos selos de R$ 0,65 foram comprados?
A. 476 B. 675 C. 923 D. 965 E. 1 538
O primeiro passo é identificar quanto será gasto para enviar 500 folhetos do segundo tipo, tem-se:
Percebe-se, então, que para enviar 500 folhetos do segundo tipo foram gastos R$ 725,00.
O segundo passo é calcular quantos folhetos do primeiro tipo da para enviar com o restante da verba, tem-se:
Sabe-se que foram enviados 423 folhetos do tipo 1. Como tanto os folhetos do tipo 1 como os do tipo 2 utilizam um selo de R$ 0,65 , então, o último passo é calcular o total desse tipo de selo, vê-se:
Com a verba de R$ 1.000,00 compraram-se 923 selos de R$ 0,65.
Alternativa C
Quantos selos de R$ 0,65 foram comprados?
A. 476 B. 675 C. 923 D. 965 E. 1 538
Solução:
O primeiro passo é identificar quanto será gasto para enviar 500 folhetos do segundo tipo, tem-se:
Percebe-se, então, que para enviar 500 folhetos do segundo tipo foram gastos R$ 725,00.
O segundo passo é calcular quantos folhetos do primeiro tipo da para enviar com o restante da verba, tem-se:
Sabe-se que foram enviados 423 folhetos do tipo 1. Como tanto os folhetos do tipo 1 como os do tipo 2 utilizam um selo de R$ 0,65 , então, o último passo é calcular o total desse tipo de selo, vê-se:
Com a verba de R$ 1.000,00 compraram-se 923 selos de R$ 0,65.
Alternativa C
36) (ENEM-2010) Para construir uma manilha de esgoto, um cilindro com 2 m de diâmetro e 4 m de altura (de espessura desprezível), foi envolvido homogeneamente por uma camada de concreto, contendo 20 cm de espessura.
Supondo que cada metro cúbico de concreto custe R$ 10,00 e tomando 3,1 como valor aproximado de
,
então o preço dessa manilha é igual a
A. R$ 230,40. B. R$ 124,00. C. R$ 104,16. D. R$ 54,56. E. R$ 49,60.
O primeiro passo é esquematizar a situação descrita acima, vê-se:
O segundo passo é calcular o volume de concreto utilizado para construir a manilha. Para isso é necessário calcular o volume do cilindro de externo (superfície externa de concreto) e subtrair o volume do cilindro interno. Utiliza-se, então, a expressão matemática do volume do cilindro. Como o custo é apresentado por m³ as unidades de medida devem estar em metros. Tem-se:
O terceiro passo é subtrair do volume externo o interno, para saber o total de m³ de concreto utilizado na construção da manilha, e depois, basta multiplicar esse volume por R$ 10,00 para encontrar o valor total gasto, tem-se:
O valor gasto para a construção da manilha foi de R$ 54,56.
Alternativa D
Supondo que cada metro cúbico de concreto custe R$ 10,00 e tomando 3,1 como valor aproximado de
,A. R$ 230,40. B. R$ 124,00. C. R$ 104,16. D. R$ 54,56. E. R$ 49,60.
Solução:
O primeiro passo é esquematizar a situação descrita acima, vê-se:
O segundo passo é calcular o volume de concreto utilizado para construir a manilha. Para isso é necessário calcular o volume do cilindro de externo (superfície externa de concreto) e subtrair o volume do cilindro interno. Utiliza-se, então, a expressão matemática do volume do cilindro. Como o custo é apresentado por m³ as unidades de medida devem estar em metros. Tem-se:
O terceiro passo é subtrair do volume externo o interno, para saber o total de m³ de concreto utilizado na construção da manilha, e depois, basta multiplicar esse volume por R$ 10,00 para encontrar o valor total gasto, tem-se:
O valor gasto para a construção da manilha foi de R$ 54,56.
Alternativa D
37) (ENEM-2010) Embora o Índice de Massa Corporal (IMC) seja amplamente utilizado, existem ainda inúmeras restrições teóricas ao uso e às faixas de normalidade preconizadas.
O Recíproco do Índice Ponderal (RIP), de acordo com o modelo alométrico, possui uma melhor fundamentação matemática, já que a massa é uma variável de dimensões cúbicas e a altura, uma variável de dimensões lineares.
As fórmulas que determinam esses índices são:
Se uma menina, com 64 kg de massa, apresenta IMC igual a 25 kg/m², então ela possui RIP igual a
Solução:
O primeiro passo é calcular a altura da menina, uma vez que, foi apresentado o IMC = 25kg/m² e a sua massa 64 kg. Utiliza-se, então, a expressão matemática do IMC, tem-se:
De posse da altura da menina 1,6 m e de sua massa 64 kg, como segundo passo, calcula-se o seu RIP. Tem-se:
O Recíproco do Índice Ponderal da menina é dado pela alternativa E.
Alternativa E
O Recíproco do Índice Ponderal (RIP), de acordo com o modelo alométrico, possui uma melhor fundamentação matemática, já que a massa é uma variável de dimensões cúbicas e a altura, uma variável de dimensões lineares.
As fórmulas que determinam esses índices são:
Se uma menina, com 64 kg de massa, apresenta IMC igual a 25 kg/m², então ela possui RIP igual a
Solução:
O primeiro passo é calcular a altura da menina, uma vez que, foi apresentado o IMC = 25kg/m² e a sua massa 64 kg. Utiliza-se, então, a expressão matemática do IMC, tem-se:
De posse da altura da menina 1,6 m e de sua massa 64 kg, como segundo passo, calcula-se o seu RIP. Tem-se:
O Recíproco do Índice Ponderal da menina é dado pela alternativa E.
Alternativa E
38) (ENEM-2010) Um balão atmosférico, lançado em Bauru (343 quilômetros a Noroeste de São Paulo), na noite do último domingo, caiu nesta segunda-feira em Cuiabá Paulista, na região de Presidente Prudente, assustando agricultores da região. O artefato faz parte do programa Projeto Hibiscus, desenvolvido por Brasil, França, Argentina, Inglaterra e Itália, para a medição do comportamento da camada de ozônio, e sua descida se deu após o cumprimento do tempo previsto de medição.
Na data do acontecido, duas pessoas avistaram o balão. Uma estava a 1,8 km da posição vertical do balão e o avistou sob um ângulo de 60°; a outra estava a 5,5 km da posição vertical do balão, alinhada com a primeira, e no mesmo sentido, conforme se vê na figura, e o avistou sob um ângulo de 30°.
Qual a altura aproximada em que se encontrava o balão?
A. 1,8 km B. 1,9 km C. 3,1 km D. 3,7 km E. 5,5 km
Solução:
O primeiro passo é relembrar a relação trigonométrica em um triângulo retângulo denominada tangente. O triângulo retângulo possui dois lados que formam o ângulo de 90° chamados de catetos e o maior lado oposto ao ângulo de 90° denominado hipotenusa. Tendo como referência um dos outros ângulos que não o de 90°, a tangente desse ângulo é a razão entre o cateto oposto a esse ângulo e o cateto adjacente ao mesmo, vê-se:
Sabendo o conceito da relação trigonométrica tangente, o segundo passo é aplicá-lo a um dos triângulos retângulos do esquema apresentado. A altura do balão é o cateto oposto aos ângulos de 60° e 30° e as distâncias dos observadores até o pé da altura são os catetos adjacentes, tem-se:
Desta forma, a altura do balão é de, aproximadamente, 3,1 km.
Alternativa C
Disponível em: http://www.correiodobrasil.com.br. Acesso em: 02 maio 2010.
Na data do acontecido, duas pessoas avistaram o balão. Uma estava a 1,8 km da posição vertical do balão e o avistou sob um ângulo de 60°; a outra estava a 5,5 km da posição vertical do balão, alinhada com a primeira, e no mesmo sentido, conforme se vê na figura, e o avistou sob um ângulo de 30°.
Qual a altura aproximada em que se encontrava o balão?
A. 1,8 km B. 1,9 km C. 3,1 km D. 3,7 km E. 5,5 km
Solução:
O primeiro passo é relembrar a relação trigonométrica em um triângulo retângulo denominada tangente. O triângulo retângulo possui dois lados que formam o ângulo de 90° chamados de catetos e o maior lado oposto ao ângulo de 90° denominado hipotenusa. Tendo como referência um dos outros ângulos que não o de 90°, a tangente desse ângulo é a razão entre o cateto oposto a esse ângulo e o cateto adjacente ao mesmo, vê-se:
Sabendo o conceito da relação trigonométrica tangente, o segundo passo é aplicá-lo a um dos triângulos retângulos do esquema apresentado. A altura do balão é o cateto oposto aos ângulos de 60° e 30° e as distâncias dos observadores até o pé da altura são os catetos adjacentes, tem-se:
Desta forma, a altura do balão é de, aproximadamente, 3,1 km.
Alternativa C
39) (ENEM-2010) A ideia de usar rolos circulares para deslocar objetos pesados provavelmente surgiu com os antigos egípcios ao construírem as pirâmides.
Representando por R o raio da base dos rolos cilíndricos, em metros, a expressão do deslocamento horizontal y do bloco de pedra em função de R, após o rolo ter dado uma volta completa sem deslizar, é
Solução:
Considerando o rolo como um cilindro perfeito, este tem como base uma circunferência. Uma volta completa do rolo é como se esticar a circunferência da base do rolo, vê-se:
O comprimento da circunferência é dado por:
Fique atento, enquanto o rolo dá uma volta sobre o solo, o bloco corre sobre o rolo a mesma distância da volta, vê-se:
Sendo assim, o bloco se deslocou por dois comprimentos da circunferência, tem-se:
Alternativa E
Representando por R o raio da base dos rolos cilíndricos, em metros, a expressão do deslocamento horizontal y do bloco de pedra em função de R, após o rolo ter dado uma volta completa sem deslizar, é
Solução:
Considerando o rolo como um cilindro perfeito, este tem como base uma circunferência. Uma volta completa do rolo é como se esticar a circunferência da base do rolo, vê-se:
O comprimento da circunferência é dado por:
Fique atento, enquanto o rolo dá uma volta sobre o solo, o bloco corre sobre o rolo a mesma distância da volta, vê-se:
Sendo assim, o bloco se deslocou por dois comprimentos da circunferência, tem-se:
Alternativa E
40) (ENEM-2010) O gráfico apresenta a quantidade de gols marcados pelos artilheiros das Copas do Mundo desde a Copa de 1930 até a de 2006.
A partir dos dados apresentados, qual a mediana das quantidades de gols marcados pelos artilheiros das Copas do Mundo?
A. 6 gols B. 6,5 gols C. 7 gols D. 7,3 gols E. 8,5 gols
O primeiro passo é identificar o conceito de mediana. Em Estatística a mediana é uma medida de tendência central que separa um grupo de dados ordenados em metade inferior da amostra, com valores inferiores ou iguais a mediana, e metade superior da amostra, com valores superiores ou iguais a mediana.
Sabe-se, então, o conceito. O segundo passo é ordenar o grupo de dados demonstrados no gráfico, tem-se:
A amostra possui 18 elementos acima ordenados. O terceiro passo é identificar a expressão matemática que fornece a mediana e calculá-la, tem-se:
Para uma amostra de n = 18 elementos dada pelo gráfico, a mediana é 6,5. Ela separa a amostra em metade inferior e metade superior.
Alternativa B
Quantidades de Gols dos Artilheiros
das Copas do Mundo
A partir dos dados apresentados, qual a mediana das quantidades de gols marcados pelos artilheiros das Copas do Mundo?
A. 6 gols B. 6,5 gols C. 7 gols D. 7,3 gols E. 8,5 gols
Solução:
O primeiro passo é identificar o conceito de mediana. Em Estatística a mediana é uma medida de tendência central que separa um grupo de dados ordenados em metade inferior da amostra, com valores inferiores ou iguais a mediana, e metade superior da amostra, com valores superiores ou iguais a mediana.
Sabe-se, então, o conceito. O segundo passo é ordenar o grupo de dados demonstrados no gráfico, tem-se:
A amostra possui 18 elementos acima ordenados. O terceiro passo é identificar a expressão matemática que fornece a mediana e calculá-la, tem-se:
Para uma amostra de n = 18 elementos dada pelo gráfico, a mediana é 6,5. Ela separa a amostra em metade inferior e metade superior.
Alternativa B
41) (ENEM-2010) Um grupo de pacientes com Hepatite C foi submetido a um tratamento tradicional em que 40% desses pacientes foram completamente curados. Os pacientes que não obtiveram cura foram distribuídos em dois grupos de mesma quantidade e submetidos a dois tratamentos inovadores. No primeiro tratamento inovador, 35% dos pacientes foram curados e, no segundo, 45%.
Em relação aos pacientes submetidos inicialmente, os tratamentos inovadores proporcionaram cura de
A. 16%. B. 24%. C. 32%. D. 48%. E. 64%.
O primeiro passo é identificar o número inicial de pacientes com Hepatite C submetido a tratamento tradicional. Denomina-se esse numero de pacientes por x.
O segundo passo é identificar qual porcentagem desses pacientes não se curaram, tem-se:
O terceiro passo é identificar a porcentagem de pacientes em cada grupo dos novos tratamentos. Como foi divididos todos os não curados em dois grupos de mesmo tamanho (metade), tem-se:
O quarto passo é identificar a porcentagem de pacientes curados em cada grupo, tem-se:
O primeiro tratamento inovador curou 10,5 % do total inicial de pacientes e o segundo tratamento inovador curou 13,5 % do total inicial de pacientes. O quinto e último passo é somar as porcentagens de pacientes curados pelos tratamentos inovadores, tem-se;
Do total de pacientes com Hepatite C, no início dos tratamentos, 24 % foram curados por tratamentos inovadores.
Alternativa B
Em relação aos pacientes submetidos inicialmente, os tratamentos inovadores proporcionaram cura de
A. 16%. B. 24%. C. 32%. D. 48%. E. 64%.
Solução:
O primeiro passo é identificar o número inicial de pacientes com Hepatite C submetido a tratamento tradicional. Denomina-se esse numero de pacientes por x.
O segundo passo é identificar qual porcentagem desses pacientes não se curaram, tem-se:
O terceiro passo é identificar a porcentagem de pacientes em cada grupo dos novos tratamentos. Como foi divididos todos os não curados em dois grupos de mesmo tamanho (metade), tem-se:
O quarto passo é identificar a porcentagem de pacientes curados em cada grupo, tem-se:
O primeiro tratamento inovador curou 10,5 % do total inicial de pacientes e o segundo tratamento inovador curou 13,5 % do total inicial de pacientes. O quinto e último passo é somar as porcentagens de pacientes curados pelos tratamentos inovadores, tem-se;
Do total de pacientes com Hepatite C, no início dos tratamentos, 24 % foram curados por tratamentos inovadores.
Alternativa B
42) (ENEM-2010) O diretor de um colégio leu numa revista que os pés das mulheres estavam aumentando. Há alguns anos, a média do tamanho dos calçados das mulheres era de 35,5 e, hoje, é de 37,0. Embora não fosse uma informação científica, ele ficou curioso e fez uma pesquisa com as funcionárias do seu colégio, obtendo o quadro a seguir:
Escolhendo uma funcionária ao acaso e sabendo que ela tem calçado maior que 36,0, a probabilidade de ela calçar 38,0 é
A. 1/3 B. 1/5 C. 2/5 D. 5/7 E. 5/14
O primeiro passo é relembrar o conceito de probabilidade. Em um espaço amostral, umuniverso de possibilidades, encontram-se alguns eventos que satisfazem a proposição, possibilidades de sucesso. A probabilidade de se obter sucesso ao se escolher ao acaso uma das possibilidades do universo é dada pela razão entre o número de possibilidades de sucesso e o número de possibilidades do universo, tem-se:
O segundo passo é identificar o universo de possibilidades do problema e, também, o número de possibilidades de sucesso. Vê-se:
O terceiro passo é calcular a probabilidade, de escolhida ao acaso uma das funcionárias que calça maior que 36, calçar 38, tem-se:
A probabilidade da funcionária calçar 38 é 5/7.
Alternativa D
Escolhendo uma funcionária ao acaso e sabendo que ela tem calçado maior que 36,0, a probabilidade de ela calçar 38,0 é
A. 1/3 B. 1/5 C. 2/5 D. 5/7 E. 5/14
Solução:
O primeiro passo é relembrar o conceito de probabilidade. Em um espaço amostral, umuniverso de possibilidades, encontram-se alguns eventos que satisfazem a proposição, possibilidades de sucesso. A probabilidade de se obter sucesso ao se escolher ao acaso uma das possibilidades do universo é dada pela razão entre o número de possibilidades de sucesso e o número de possibilidades do universo, tem-se:
O segundo passo é identificar o universo de possibilidades do problema e, também, o número de possibilidades de sucesso. Vê-se:
O terceiro passo é calcular a probabilidade, de escolhida ao acaso uma das funcionárias que calça maior que 36, calçar 38, tem-se:
A probabilidade da funcionária calçar 38 é 5/7.
Alternativa D
43) (ENEM-2013)
44) (ENEM-2013)
45) (ENEM-2013)
46) (ENEM-2013)
47) (ENEM-2013)
48) (ENEM-2013)
49) (ENEM-2013)
50) (ENEM-2013)
Fonte: http://www.da-educa.com/
Gostaria de corrigir que para a questão 8 foi dada a alternativa correta, no entanto na explicação está 75 kg de carne quando na verdade são 7,5 kg de carne.
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