quarta-feira, 5 de dezembro de 2012

questões de relações métricas no triângulo retângulo


Artigo com questões sobre relações métricas no triângulo retângulo resolvidas e propostas





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03. No triângulo retângulo abaixo determinar a hipotenusa, as projeções dos catetos sobre a hipotenusa e a altura relativa a hipotenusa:
Resolução:
Pelo teorema de Pitágoras temos:
x2 = 52 + 122
x2 = 169
x = 13

Aplicando as relações de projeções de catetos, vem:
52 = x . z
13 . z = 25
z = 25 / 13

12= x . t
13 . t = 144
t = 144 / 13
04. Dado o triângulo retângulo ABC, reto em A, representado na figura abaixo, calcule os valores desconhecidos (x, m, n e h).
image
x = 4 m,

h = 12/5 m = 2,4 m,

m = 9/5 m = 1,8 m,

n = 16/5 m =3,2 m

05. Em um triangulo retângulo, sua altura(h) é = 5 e sua hipotenusa(a) é =26. Calcule o cateto b (cateto maior).

Vamos recordar as relações métricas em um triângulo retângulo:
a = m + n
b² = a.m
c² = a.n
b.c = a.h
h² = m.n
a² = b² + c²

no exercício dado, sabemos que

h = 5
a = 26

observe que nenhuma das relações métricas envolve apenas essas duas medidas
vamos ter que encontrar um caminho.
Façamos, primeiro:
m + n = a
m + n = 26
n = 26 - m (I)
b² = a . m (onde m é a maior das projeções)
b² = 26m (II)

c² = a.n
c² = 26n --> c² = 26(26 - m) --> c² = 676 - 26m (III)

b . c = a . h
b . c = 26 . 5
b . c = 130
eleva ao quadrado:
b² c² = 16900
substitui (II) e (III)

26m ( 676 - 26m) = 16900
17576m - 676m² = 16900

676m² - 17576m + 16900 = 0 --> simplifica por 676
m² - 26m + 25 = 0

resolve por báskara ou pela soma e produto:
m' = 25
m" = 1 (despreza por ser o menor)

b² = 26m (II)
b² = 25 . 26 ==> b = 5√26 m que é o cateto maior

como a = m + n
n = 1
c² = 26n --> c² = 26 --> c= √26 m que é o cateto menor


Poderíamos também usar outras duas relações métricas:

h = m.n ---> m . n = 25 (I)
a = m + n --> m + n = 26 donde m = 26 - n (II)

Substitui (II) em (I)
( 26 - n ) . n = 25
n² - 26n + 25 = 0

resolvendo por báskara ou pela soma e produto:
n' = 1
n" = 25 (despreza, pois consideramos inicialmente que m é a maior)

como
m = 26 - n (II)
m = 26 - 1
m = 25

assim, sabendo que
b² = a.m
temos
b² = 26 . 25
b = √ 5² . 26
b = 5 √ 26
logo, o cateto maior b = 5 √26 m


08. No triângulo retângulo abaixo determinar a hipotenusa, as projeções dos catetos sobre a hipotenusa e a altura relativa a hipotenusa:



Resolução:
Pelo teorema de Pitágoras temos:
x2 = 52 + 122
x2 = 169
x = 13

Aplicando as relações de projeções de catetos, vem:
52 = x . z
13 . z = 25
z = 25 / 13

12= x . t
13 . t = 144
t = 144 / 13

Aplicando a relação do produto dos catetos, vem:
x . y = 5 . 12
13 . y = 60
y = 60 / 13




Agora pratique:


09. (FATEC-SP) Se os catetos de um triângulo retângulo T, medem, respectivamente, 12 cm e 5 cm, então a altura de T relativa à hipotenusa é:
a) 12/5 m            b) 5/13 m          c) 12/13 m           d) 25/13 m            e) 60/13 m

10. Sabe-se que a altura de um triângulo retângulo mede 48 cm e a medida de um dos catetos é igual a 60 cm. A projeção desse cateto sobre a hipotenusa é:

a) 33                 b) 34                 c) 35                   d) 36                   e) 37

11. (Cesgranrio-RJ) Num triângulo retângulo em A, a altura relativa à hipotenusa mede 12, e o menor dos segmentos que ela determina sobre a hipotenusa, 9. O menor lado do triângulo mede:
a) 12,5             b) 13              c) 15              d) 16               e) 16,5

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9 comentários:

  1. A 1 não ta errada não? porque a raiz de 400 é 20 e não 40

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  2. Mas de qualquer forma é muito bom o seu site

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  3. a 1 num ta errada n ? affs me confundi mais --'

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  4. A questão 1 tá errada, pois a raiz quadrada de 400 = 20 e não 40. E a questão 11, na divisão de 144 / 9 = 16 e não 15.
    Mas mesmo assim obrigada ajudou bastante.

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  5. a 1 ta errada ou não

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  6. Ñ entendi como calcular o quarto :(

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