segunda-feira, 24 de dezembro de 2012

pirâmides questões vestibular

Artigo sobre pirâmides, classificação das pirâmides, área e volume das pirâmides e questões de vestibular propostos e resolvidos.

Uma pirâmide é um poliedro, cuja base é um polígono qualquer e cujas faces laterais são triângulos com um vértice comum, que é o vértice da pirâmide.

classificação das pirâmides

           Pirâmide regular

dibujo


A pirâmide regular tem na base um polígono regular e sus faces laterais iguais.

Pirâmide irregular

dibujo


A pirâmide irregular tem como base um polígono irregular.

Pirâmide convexa

dibujo


A pirâmide convexa tem como base um polígono convexo.

Pirâmide côncava

dibujo


 A pirâmide convexa tem como base um polígono côncavo.

Pirâmide reta

dibujo

Na pirâmide reta o vértice tem a sua projeção coincidente com o centro da base.

Pirâmide obliqua

dibujo


Na pirâmide oblíqua a projeção do vértice não coincide com o cento do polígono da base.
Classificação das pirâmides segundo sua base

Pirâmide triangular

 triangular


Sua base é um triângulo.

Pirâmide quadrangular

 cuadrangular


Sua base é um quadrado.

Pirâmide pentagonal

 pentagonal


Sua base é um pentágono.

Pirâmide hexagonal

 hexagonal


Sua base é um hexágono.







Cálculo da aresta lateral de uma pirâmide

arista lateral de la pirámide


Calculamos a aresta lateral da pirâmide, conhecendo a altura e o raio da base o raio da circunferência circunscrita, aplicando el teorema de Pitágoras no triângulo sombreado:

apotema lateral de la pirámide
apotema lateral de la pirámide

Cálculo da apótema lateral de uma pirâmide

apotema lateral de la pirámide


Calculamos a apótema lateral da pirâmide  conhecendo a altura e a apótema da base, aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo sombreado:

apotema lateral de la pirámide
apotema lateral de la pirámide

Área da base

A área da base de uma pirâmide depende da área do polígono em questão, sendo calculada pela expressão:

onde P: perímetro do polígono e a: apótema do polígono.


Área lateral
É a soma de todas as áreas laterais, ou seja:

área y  volumen    onde: PB é o perímetro de base e Ap é o apótema lateral da pirâmide.

Área total 
Soma da área lateral com a área da base.
At = Al + Ab

Volume

O volume de uma pirâmide é dado pela expressão:

onde Ab: área da base (depende do polígono) e h: altura da pirâmide.

Questões propostas pirâmides

1) Calcule a área lateral, total e o volume de una pirâmide quadrangular de 10 cm de aresta e 12 cm de altura.
pirámide cuadrangular

apotema lateral de la pirámide
apotema lateral de la pirámide
perímetro
área lateral de la pirámide
área de la pirámide
volumen de la pirámide
2) Calcula a área lateral, total e o volume de una pirâmide hexagonal de 16 cm de aresta básica e 28 cm de aresta lateral.
pirámide hexagonal

apotema lateral de la pirámide
apotema lateral de la pirámide
área
 hexágono

apotema lateral de la pirámide
apotema lateral de la pirámide
área
pirámide hexagonal

altura de la pirámide
altura de la pirámide
volumen



3) Numa pirâmide quadrangular, a aresta mede 18cm e a altura é equivalente a 12 cm. Calcule o volume, a apótema.

Pirâmide - Exercício resolvido
Volume
Basta multiplicar a área da base (aresta x aresta) e dividir por 3. Veja:
Pirâmide - Exercício resolvidoO apótema é o valor da hipotenusa do triangulo que parte da altura e segue para o meio da aresta. Para calcula-lo, basta usar o teorema de Pitágoras, onde o um dos catetos é a altura e o outro é a metade da aresta:
Pirâmide - Exercício resolvido

4) ( UNIV ) As faces laterais de uma pirâmide hexagonal regular são triângulos isósceles com área de 12cm² cada.A área lateral do sólido vale:
         

a) 36cm²         b) 48cm²               c) 54cm²               d) 72cm²               e) 108cm²

Para resolver é só ler bem a questão e saber interpretar, é bem simples de resolvé-la basta multiplicar a área (que o problema nos dá ) pelos lados do hexágono ( 6 ),ou seja , 12 X 6 = 72cm² 

Resposta : letra D
4) Calcular a área lateral de uma pirâmide quadrangular regular que tem 12cm de altura e 40cm de perímetro da base.

5) Qual é a área total de uma pirâmide quadrangular regular, sabendo-se que sua altura mede 24cm e que o apótema da pirâmide mede 26cm?

6) A área lateral de uma pirâmide quadrangular regular de altura 4m e de área da base 64m² vale:

7) Uma pirâmide quadrada tem todas  as arestas medindo 2. A altura mede:

8) (UnB) Sejam Pi e P2 duas pirâmides de mesma altura. A base de Pi é um quadrado e a de P2 um triângulo de área igual a do quadrado. Então, a área lateral de Pi é:

a) sempre maior do que a de P2;
b) sempre menor do que a de P2;
c) sempre igual a de P2;
d) n.d.a.



9) (OSEC) Um prisma e uma pirâmide tem bases com a mesma área. Se o volume do prisma é o dobro do volume da pirâmide, a altura da pirâmide será:

a) O triplo da do prisma.
b) O dobro da do prisma.
c)  O triplo da metade da do prisma.
d) O dobro da terça parte da do prisma.
e) n.d.a

10) (Unirio) As arestas laterais de uma pirâmide reta medem 15cm, e a sua base é um quadrado cujos lados medem 18cm. A altura dessa pirâmide, em cm, é igual a:

a) 2√7                b) 37                     c) 4√7                  d) 5√7

11) (FEI - MAUÁ) Secciona-se uma pirâmide regular de altura h por um plano paralelo à base, a uma distância x do vértice. Pede-se x de modo que a áreas laterais da pirâmide se altura x e do tronco de pirâmide de altura h - x sejam iguais.

12) (MAUÁ) Na pirâmide VABC os ângulos AVB, BVC e CVA são retos. Calcular a distância de V ao Plano ABC sabendo-se que VA = VB = VC = 1m.

13) (UFRS) A base de uma pirâmide tem área igual a 225cm². A 2/3 do vértice, corta-se a pirâmide por um plano paralelo à base. A área da secção é igual a:

a) 30              b) 50                c) 70                 d) 90                 e) 100


Gabarito:
4) 260cm²  5) 1440cm²  6) 64√2 m²  7) √2  8)  D  9) C  10) B  11) h√2 /2   12)   13) E

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