domingo, 4 de novembro de 2012

Diagramas de Venn: Questões resolvidas


Os diagramas de Venn são utilizados na melhor visualização das propriedades dos conjuntos, facilitando cálculos e a interpretação de situações problema. 

A relação entre tais conteúdos pode ser feita através da união de conjuntos envolvendo número de elementos. Primeiramente, explique as propriedades do número de elementos da união de dois conjuntos e posteriormente da união de três conjuntos. 

Número de elementos da união de dois conjuntos 
Consideremos dois conjuntos A e B, iremos determinar os elementos de A por n(A), os elementos de B por n(B), a união de A com B por n(A U B) e a intersecção de A com B por n(A ∩ B). Demonstre a relação utilizando o diagrama:
n(A U B) = n(A) + n(B) – n(A ∩B) 


Número de elementos da união de três conjuntos 
Considerando os conjuntos A, B e C teremos a seguinte relação na determinação do número de elementos:
n(A U B U C) = n(A) + n(B) + n(C) – n(A ∩ B) – n(A ∩ C) – n(B ∩ C) + n(A U B U C) 


1) ( UFSE) Os senhores A, B e C concorriam à liderança de certo partido político. Para escolher o líder, cada eleitor votou apenas em dois candidatos de sua preferência. Houve 100 votos para A e B, 80 votos para B e C e 20 votos para A e C. Em consequência:

a) venceu A, com 120 votos.
b) venceu A, com 140 votos.
c) A e B empataram em primeiro lugar.
d) venceu B, com 140 votos.
e) venceu B, com 180 votos.

Resolução:
Votos recebidos pelo candidato A = 100 + 20 = 120
Votos recebidos pelo candidato B = 100 + 80 = 180
Votos recebidos pelo candidato C = 80 + 20 = 100



Resposta letra e.

2) (Unifap) O dono de um canil vacinou todos os seus cães, sendo que 80% contra parvovirose e 60% contra cinomose. Determine o porcentual de animais que foram vacinados contra as duas doenças.  

Resolução:



80 – x + x + 60 – x = 100
140 – 2x + x = 100
– x = 100 – 140
– x = – 40
x = 40

O porcentual de animais vacinados contra as duas doenças é de 40%.
 





3) Dez mil aparelhos de TV foram examinados depois de um ano de uso e constatou-se que 4.000 deles apresentavam problemas de imagem, 2.800 tinham problemas de som e 3.500 não apresentavam nenhum dos tipos de problema citados. Então o número de aparelhos que apresentavam somente problemas de imagem é: 

a) 4 000                b) 3 700                c) 3 500                d) 2 800            e) 2 500

Resolução: 

Observe o diagrama construído com base no enunciado, onde I é o conjunto dos que apresentavam defeito na imagem, S o conjunto dos que apresentavam problemas de som e N o conjunto daqueles que não apresentavam nenhum defeito citado.
Temos que  4000 - x + x + 2800 - x + 3500 = 10000, onde x é o números de televisores que apresentavam, ao mesmo tempo, os dois problemas citados. Segue que x = 10300 - 10000 = 300. Então o número de aparelhos que apresentavam somente problemas de imagem é 4000 - x = 4000 - 300 = 3700.  

 resposta letra B.

4) (PUC) Numa comunidade constituída de 1800 pessoas há três programas de TV favoritos: Esporte (E), novela (N) e Humanismo (H). A tabela abaixo indica quantas pessoas assistem a esses programas.

Programas E  N HE e NE e HN e HE, N e HNenhum
Número de telespectadores40012201080  220 180 800     100  x
Através desses dados verifica-se que o número de pessoas da comunidade que não assistem a qualquer dos três programas é:
(A) 200       (C) 900  
(B) os dados do problema estão incorretos.     (D) 100                   (E) n.d.a.

Resolução:

No diagrama de Venn-Euler colocamos a quantidade de elementos dos conjuntos, começando sempre pela interseção que tem 100 elementos.
Diagrama de Venn - Euler. Começamos sempre colocando o número de elementos da intersecção. Ao colocar o número de elementos de um conjunto, não podemos esquecer de descontar os da intersecçãoEntão, 100 + 120 + 100 + 80 +700 + 200 + 300 + x = 1800. Segue que, 1600 + x = 1800. Logo, o número de pessoas da comunidade que não assistem a qualquer dos três programas é: x = 1800 - 1600 = 200.
Assim, (A) é a opção correta.



5) Em uma prova discursiva de álgebra com apenas duas questões, 470 alunos acertaram somente uma das questões e 260 acertaram a segunda. Sendo que 90 alunos acertaram as duas e 210 alunos erraram a primeira questão. Quantos alunos fizeram a prova?

Resolução:

Temos que 90 acertaram as duas questões. Se 260 acertaram a segunda, então, 260 - 90 = 170 acertaram apenas a segunda questão. Se 470 acertaram somente uma das questões e 170 acertaram apenas a segunda, segue que, 470 - 170 = 300 acertaram somente a primeira. Como 210 erraram a primeira, incluindo os 170 que também erraram a primeira, temos que, 210 - 170 = 40 erraram as duas. Assim podemos montar o diagrama de Venn-Euler, onde: P1 é o conjunto dos que acertaram a primeira questão; P2 é o conjunto dos que acertaram a segunda e N é o conjunto dos que erraram as duas. Observe a interseção P1Ç P2 é o conjunto dos que acertaram as duas questões.
diagramas de conjuntos
Logo, o número de alunos que fizeram a prova é: 300 + 90 + 170 + 40 = 600.


6) Numa pesquisa sobre as emissoras de tevê a que habitualmente assistem, foram consultadas 450 pessoas, com o seguinte resultado: 230 preferem o canal A; 250 o canal B; e 50 preferem outros canais diferente de A e B. Pergunta-se: 
a) Quantas pessoas assistem aos canais A e B?
b) Quantas pessoas assistem ao canal A e não assistem ao canal B?
c) Quantas pessoas assistem ao canal B e não assistem ao canal A?
d) Quantas pessoas não assitem ao canal A?


Resolução: 

Seja o diagrama a seguir:

Temos que 230 - x + x + 250 - x + 50 = 450.
a) O número de pessoas que assistem aos canais A e B é x = 530 - 450 = 80
b) O número de pessoas que assistem ao canal A e não assistem ao canal B é 230 - x = 150.
c) O número de pessoas que assistem ao canal B e não assistem ao canal A é 250 - x = 170.
d) O número de pessoas que não assitem ao canal A é 250 - x + 50 = 250 - 80 + 50 = 220.





7) Em uma escola foi realizada uma pesquisa sobre o gosto musical dos alunos. Os resultados foram os seguintes: 


458 alunos disseram que gostam de Rock
112 alunos optaram por Pop
36 alunos gostam de MPB
62 alunos gostam de Rock e Pop 

Determine quantos alunos foram entrevistados.
Gostam somente de Rock = 396
Gostam somente de Pop = 50
Gostam de Rock e Pop = 62
Gostam de MPB = 36

396 + 50 + 62 + 36 = 544

Através da distribuição dos dados no diagrama constatamos que o número de alunos entrevistados é igual a 544. 


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36 comentários:

  1. kibe,fiquei puto quando percebi que ja tinha acabado essa bateria de exercicios

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    1. uma pesquisa mostrou que 39% dos entrevistados leem o jornal A, 29% leem o jornal B,22% leem o jornal C, 13% A e B, 6% leem B e C, 14% leem A e.C e 60% leem os tres jornais:
      Perguntas:
      A) quanto por cento nao leem nenhum desses?
      B) Quanto por cento lê os jornais A e B e não lê C
      C) Quanto por cemto lê pelo.menos um jornal?

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  2. Adorei esse site me ajudou muito com as resoluções das questões :)

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  3. Parabéns pelo site. Muito bom!!

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  4. Também curti muito o site, me auxiliou bastante, gostaria que pusesse mais exercícios
    ^.^

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  5. Muiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiito obrigado mesmo, valew demais, ajudo muitoo!!!

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  6. gostei bastante, vou fazer uma prova pra escola tecnica federal e sempre cai questoes assim...

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  7. Muito obrigada pelas questões!

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  8. muito bom me ajudou d+++ pra prova amanha....mais poderia ter mais exercicios...

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  9. muuuito bom mesmo, agradeço antecipadamente se houverem mais questoes sobre divesos assuntos

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  10. pessoal , gostaria de saber um coisa que fiquei em dúvida , no exercicio 3. da onde se tirou o 10300?

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    1. 10 300 é a soma do numero de tvs com problema de imagem, com problema de som, e sem problema nenhum, para saber quantas tem problema de som e imagem é só diminuir esse valor assim: 10 300 - 10 000 (que é o total de tvs) que vai dar 300. então: 4000-300 = 3 700 tvs com problemas de imagem

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    2. depois de ter postado a pergunta , eu entendi o exercicio hehhehee.É que eu sou assim, olhei a pergunta e nao entendi , nao fico tentando kkkkkkkk, mas muitissimo obrigado pela resposta..

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  11. Não entendi a questão 4 dá onde saiu esse 1800 ??????????

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    1. 1800 é o valor de quantas pessoas existem na comunidade n( A u B u C ).

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    2. queria saber de onde surgiu o 1600

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    3. e o resultado da soma : 100 + 120 + 100 + 80 +700 + 200 + 300

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    4. e o resultado da soma : 100 + 120 + 100 + 80 +700 + 200 + 300

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  12. Meu nome é Antonio e gostei das questões. Me ajudaram muito. Valeu!

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  13. Adorei o site ! Me ajudou bastante

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  14. mas galera cade as ppk

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  15. Não entendi a questão 4 dá onde saiu esse 1600 ??????????

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  16. oi me explica uma coisa da 4!!
    DE onde veio 100 + 120 + 100 + 80 +700 + 200 + 300= 1600
    Se os valores da tabela são 400+1220+1080+220+180+800+100=4000?
    A resposta correta então não seria a b) os dados do problema estão incorretos?
    Pq é impossível ter 4000 telespectadores se o problema diz que é 1800, e mesmo considerando parte do valor de cada programa os valores unidos, e retirando-os da equação, o valor ficaria 1640, oq ainda não mostra pq o resultado deu a.

    Resumindo toda essa dúvida, a resposta da 4 não é b??? Pq com os valores da tabela, sem ler a resolução não dá pra chegar em 200

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  17. "Como 210 erraram a primeira, incluindo os 170 que também erraram a primeira, temos que, 210 - 170 = 40 erraram as duas." Não entendi essa parte da questão 5. De onde saiu essas 170 pessoas que também erraram a primeira questão ???

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  18. Srs.
    Foi feita alguma correção no texto da questão 3 do Diagrama de Venn (2.800 tinham problemas de som)? A resposta está incorreta pois, DE ACORDO COM O TEXTO DA QUESTÃO, a resposta correta é a letra " A" - 4000 e a resolução informada não está de acordo com o texto.

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  19. gostaria de saber como fazer esse diagrama? suponha tambem que essa loja possua em seu banco de dados o cadastro de 820 clientes feminino, na faixa etária de 18 a25 anos, 1750 clientes do sexo feminino que apresentam interesse por moda ,e 530 do sexo feminino na faixa etária de 18 a25 , qque tem enteresse poo moda , como fazer essa diagrama?

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  20. gostaria de saber como fazer esse diagrama? suponha tambem que essa loja possua em seu banco de dados o cadastro de 820 clientes feminino, na faixa etária de 18 a25 anos, 1750 clientes do sexo feminino que apresentam interesse por moda ,e 530 do sexo feminino na faixa etária de 18 a25 , qque tem enteresse poo moda , como fazer essa diagrama?

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