Questões resolvidas de função exponencial

Lista de questões resolvidas de função exponencial.

1) (Fatec-SP - Adaptada) Suponhamos que a população de uma certa cidade seja estimada, para daqui a x anos, por  . Determine a população referente ao terceiro ano.

  A população referente ao 3º ano é de 19.875 habitantes.

2) (PUCC-SP) Numa certa cidade, o número de habitantes, num raio de r jm a partir do seu centro é dado por P(r) = k * 2^3r, em que k é constante e r > 0. Se há 98 304 habitantes num raio de 5 km do centro, quantos habitantes há num raio de 3 km do centro?

P(r) = k * 2^3r

98 304 = k * 2 ^3*5

98 304 = k * 215

98 304 = k * 32 768

k =98 304 / 32 768

k = 3

Calculando o número de habitantes num raio de  3 km

P (r) = k * 2^3r

P (3) = 3 * 2^3*3

P (3) = 3 * 29

P (3) = 3 * 512

P(3) = 1536

O número de habitantes num raio de 3 km é igual a 1536.

3) Se , então "x" vale:

   

   a)                         b)                       c)                    d)                       e) 

Resolução:

Primeiro vamos transformar os decimais (números com vírgula) em frações:

 Veja que podemos simplificar a fração da esquerda e transformar em potência o lado direito da igualdade:

-As bases estão quase igualadas, só que uma é o inverso da outra. Vamos inverter uma delas e adicionar o expoente "-1".

- Agora sim, com as bases igualadas podemos cortá-las:

   Resposta certa letra "A".

4) A partir dos gráficos das funções f(x)=2^x, g(x)=2^x+2 e h(x)=2^-x, descreva o que ocorre com g=g(x) e h=h(x) em relação a f=f(x).

Resolução:

O gráfico da função g(x)=2+2^x é obtido de f(x)=2^xtransladado verticalmente (no eixo y) por 2 unidades. O gráfico da função h(x)=(1/2)^x é uma linha simétrica em relação ao eixo dos y (como se estivesse espelhada) que corresponde à função a f.

5) (EU-PI) Suponha que, em 2003, o PIB (Produto Interno Bruto) de um país seja de 500 bilhões de dólares. Se o PIB crescer 3% ao ano, de forma cumulativa, qual será o PIB do país em 2023, dado em bilhões de dólares? Use 1,03²⁰ = 1,80.

Resolução:

P(x) = P0 * (1 + i)^t

P(x) = 500 * (1 + 0,03)²⁰

P(x) = 500 * 1,03²⁰

P(x) = 500 * 1,80

P(x) = 900

O PIB do país no ano de 2023 será igual a R$ 900 bilhões. 

6)  Qual o domínio da função exponencial  y = 2^x ?

Resolução:

Sabemos que o domínio de uma função y = f(x) é o conjunto de valores que podem ser atribuídos a x. Observe que x sendo um expoente, ele poderá assumir qualquer valor e, portanto, o domínio da função dada é o conjunto dos números reais, ou seja: 
D = R.

7) (IPA/IMEC) Se 2^x+2^-x=10 então 4^x+4^-x vale

    

a) 40                        b) 50                   c) 75                    d) 98                   e) 100

Resolução: 

Aplicando as propriedades de potenciação, o que o exercício dá e pede é:

- Este problema é o tipo de exercício que se você nunca viu como se faz, nunca iria conseguir fazer. Para resolvê-lo devemos pegar a equação dada e elevar ao quadrado ambos os lados. Veja só:

- Agora devemos efetuar ambos os lados. Não esqueça da regra para o produto notável da esquerda:
 Resposta certa letra "D".


8) (ENEM-2009) Considere que uma pessoa decida investir uma determinada quantia e que lhe sejam apresentadas três possibilidades de investimento, com rentabilidades líquidas garantidas pelo período de um ano, conforme descritas:

Investimento A: 3% ao mês

Investimento B: 36% ao ano

Investimento C: 18% ao semestre

As rentabilidades, para esses investimentos, incidem sobre o valor do período anterior. O quadro fornece algumas aproximações para a análise das rentabilidades:

Para escolher o investimento com a maior rentabilidade anual, essa pessoa deverá

A) escolher qualquer um dos investimentos A, B ou C, pois as suas rentabilidades anuais são iguais a 36%.

B) escolher os investimentos A ou C, pois suas rentabilidades anuais são iguais a 39%.

C) escolher o investimento A, pois a sua rentabilidade anual é maior que as rentabilidades anuais dos investimentos B e C.

D) escolher o investimento B, pois sua rentabilidade de 36% é maior que as rentabilidades de 3% do investimento A e de 18% do investimento C.

E) escolher o investimento C, pois sua rentabilidade de 39% ao ano é maior que a rentabilidade de 36% ao ano dos investimentos A e B.

RESOLUÇÃO:

Galera, vamos calcular quanto vai render cada um dos investimentos.

→ Investimento A: Rende  3% ao mês.

100% + 3% =103% = 1,03

Durante 12 meses teremos 1,03¹² = 1,426 do valor inicial. (consulte a tabela)

→ Investimento B: Rende  36% ao ano.

100% + 36% =136% = 1,36

Durante 1 ano teremos 1,36 do valor inicial.

→ Investimento C: Rende  18% ao semestre.

100% + 18% =118% = 1,18

Durante 2 semestres teremos 1,18² = 1,3924 do valor inicial

Portanto, o investimento de maior rentabilidade no ano é o  Investimento A. 

Gabarito letra C.

9)  (Unicamp - 2011) Em uma xícara que já contém certa quantidade de açúcar, despeja-se café. A curva abaixo representa a função exponencial M(t), que fornece a quantidade de açúcar não dissolvido (em gramas), t minutos após o café ser despejado. Pelo gráfico, podemos concluir que

a) M(t) = 2^4−t/75
b) M(t) = 2^4−t/50
c) M(t) = 2^5−t/50
d) M(t) = 2^5−t/150

Resolução

• Para o ponto (0,16), temos:

M(0) = 16 = 2⁴

• Para o ponto (150,4), temos:

M(150) = 4 = 2² = M(0).2^k = 2⁴.2^k = 2^{4 + k} = 2^{4 - 2} = 2^{4 - 150/75} 

M(t) = 2^{4 - t/75}

10) (Unit-SE) Uma determinada máquina industrial se deprecia de tal forma que seu valor, t anos após a sua compra, é dado por v(t) = v₀ * 2 ^–0,2t, em que v₀ é uma constante real. Se, após 10 anos, a máquina estiver valendo R$ 12 000,00, determine o valor que ela foi comprada.

Resolução:

Temos que v(10) = 12 000, então:

v(10) = v0 * 2 ^–0,2*10
12 000 = v0 * 2 ^–2
12 000 = v0 * 1/4

12 000 : 1/ 4 = v0

v0 = 12 000 * 4

v0 = 48 000

A máquina foi comprada pelo valor de R$ 48 000,00.

11) (UFCE ) Se f ( x ) = 16^(1+1/x), então f ( -1 ) + f ( -2 ) + f ( -4 ) é igual a :

a. 11
b. 13
c. 15
d. 17
e. nda

Resolução:

Outra questão simples .. basta calcular a função substituindo o x ....

f(-1) = 16^(1+1/-1)
f(-1) = 16^(1 - 1)
f(-1) = 16^0
f(-1) = 1 ...

f(-2) = 16^(1- 1/2)
f(-2) = 16^1/2 ....SEMPRE se lembre que denominador de expoente é raiz ... logo denominador 2 é raiz quadrada:
f(-2) = V16
f(-2) = 4 ...

f(-4) = 16^(1- 1/4)
f(-4) = 16^(3/4) 
f(-4) = ∜16³
f(-4) = 2³
f(-4) = 8 .... assim a soma vale

1 + 4 + 8 = 13 ...

Alternativa b.

12) Identifique o intervalo cujos valores de k tornam a função exponencial ,

f(x) = (5k – 1)^x decrescente.

A) 1/5 < k < 2/5

B) 0 < k < 1/5

C) k < 2/5

D) k > 1/5

E) k < 1

Resolução:

Para identificar o intervalo, devemos lembrar da seguinte propriedade da função exponencial:

Na função exponencial, cuja lei dada por f(x) = a^x se 0 < a < 1, então a função é decrescente.

Veja, na lei de formação da função, a é a base da potência e deve estar entre 0 e 1 exclusivos.

Portanto, para que a função f do enunciado, dada pela lei f(x) = (5k – 1)^x seja decrescente, devemos ter

0 < 5k – 1 < 1.

Resolvendo:

0 < 5k – 1, então 1 < 5k, logo 1/5 < k.

5k – 1 < 1, então 5k < 2, logo k < 2/5.

Logo, para que a função seja decrescente devemos ter 1/5 < k < 2/5.

13) Determinar o conjunto solução da equação 3^x-3^4-x=24.

Resolução:

           Como 3^4-x=3⁴.3^-x=81/3^x, obtemos 3^x-81/3^x=24

Com a mudança de variável 3^x=y, obteremos y-81/y=24

Multiplicando ambos os membros desta equação por y, obtemos a equação do segundo grau: y²-24y-81=0

Usando a fórmula quadrática, obtemos duas raízes reais

dadas por y₁=27 e y₂=-3 e como esta equação possui duas raizes reais, temos dois casos a considerar:

Caso 1: Se y₁=27 então 3^x=27=3³, portanto x=3.

Caso 2: Se y₂=-3 então 3^x=-3. Como f(x)=3^x é sempre positiva, esta função não pode assumir um valor negativo. Assim S={x em R: x=3}

14) (FUVEST-2013) Seja f(x) = a + 2^bx + c, em que a, b e c são números reais. A imagem de f é a semirreta  ]-1,  [ e o gráfico de f intercepta os eixos coordenados nos pontos (1,0) e (0,-3/4). Então o produto abc vale:

a) 4                b) 2              c) 0              d) -2                e) -4

Vamos desenhar o gráfico desta função:

Vamos analisar uma parte da função f(x). Iremos chamar a parte 2bx+ c de g(x).

A função g(x) = 2bx+ c tem a seguinte imagem:

Im g(x) = ]0, + ∞[ , para todo x pertencente aos reais.

Mas a função f(x) tem uma constante “a” somada com a função g(x). E a questão nos informa que o intervalo neste caso é:

Im f(x) = ]-1, + ∞[

A soma de uma constante numa função exponencial faz com que ela se desloque sobre o eixo y (conjunto-imagem) e mude o valor do intervalo aberto à esquerda que será exatamente o da constante.

Na função f(x) temos a constante “a” e o valor do intervalo aberto à esquerda é -1. Portanto, a = -1.

Já temos o valor de “a”. Precisamos agora do valor de b e c.

A questão nos informa também que a função f(x) passa pelos pontos (1,0) e (0,-3/4).

Vamos ver o ponto (1,0):

Neste caso, temos x = 1 e y = f(1) = 0.

Logo,

f(x) = a+ 2bx+ c

f(1) = -1+ 2bx+ c

0 = -1 + 2b1+ c

-1 + 2b1+ c = 0

2b+ c = 20

b + c = 0

b = -c

Agora veremos o ponto (0,-3/4):

Neste caso, temos x = 0 e y = f(0) = -3/4.

Logo,

f(x) = a+ 2bx+ c

f(0) = -1+ 2bx+ c

-3/4 = -1 + 2b0+ c

1 – 3/4 = 2c

1/4= 2c

2c = 1/4

2c = 2-2

c = -2

Mas b = -c. Logo, b = 2

Portanto, a = -1, b = 2 e c =-2

Logo, a.b.c = (-1).2.(-2) = 4

a.b.c = 4

ALTERNATIVA A

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