Determinantes (regra de Saurus, cofator)

Inicialmente, iremos introduzir algumas regras que permitam o cálculo de determinantes nos casos particulares da matriz quadrada de ordem 1, 2 ou 3 e, a seguir, após o domínio dessas regras, apresentaremos uma definição geral para determinantes de uma matriz quadrada de ordem n.

Determinante de uma matriz quadrada de 1ª ordem 

O determinante da matriz A = | a11|, indicado por det A ou |a11|, é o próprio elemento a11, ou seja:
det A = |a11| = a11 (não confundir com o módulo do número a11).
Exs: Se A = [-3], então det A = |-3|.
       Se B = [6], então det A = |6| = 6

Determinante de uma matriz quadrada de 2ª ordem

O determinante da matriz  é igual à diferença entre o produto dos elementos da diagonal principal e o produto dos elementos da diagonal principal e o produto dos elementos da diagonal secundária.

Veja o exemplo abaixo:

   

                        

Determinante de uma matriz de 3ª ordem

O cálculo do determinante de uma matriz quadrada de ordem 3 pode ser calculado usando a regra de Saurus, que consiste no seguinte:

• copia-se o determinante repetindo-se as duas primeiras colunas;
• multiplicam-se os elementos ligados por "traços vermelhos", mantendo-se o sinal de cada produto;
• multiplicam-se os elementos ligados por "traços azuis", trocando-se o sinal de cada produto;
• somam-se os resultados obtidos.

Diagonal principal
(a₁₁ * a₂₂ * a₃₃) + (a₁₂ * a₂₃ * a₃₁) + (a₁₃ * a₂₁ * a₃₂)

Diagonal secundária 
(a₁₃ * a₂₂ * a₃₁) + (a₁₁ * a₂₃ * a₃₂) + (a₁₂ * a₂₁ * a₃₃)

Determinante 
D = {(a₁₁ * a₂₂ * a₃₃) + (a₁₂ * a₂₃ * a₃₁) + (a₁₃ * a₂₁ * a₃₂)} – {(a₁₃ * a₂₂ * a₃₁) + (a₁₁ * a₂₃ * a₃₂) + (a₁₂ * a₂₁* a₃₃)}

Exemplo : 

Dada a matriz  , calcule o seu determinante.




Diagonais principais 
(–1) * 0 * (–1) = 0
(–5) * 6 * (–4) = 120
(–7) * (8) * (5) = – 280


0 + 120 + (–280)
120 – 280
– 160


Diagonais secundárias 
(–7) * 0 * (–4) = 0
(–1) * 6 * 5 = – 30
(–5) * 8 * (–1) = 40

0 + (–30) + 40
–30 +40
10


Determinante 
D_B = –160 – 10
D_B = – 170

Matriz Cofator

consideremos uma matriz quadrada A, de ordem n(n ≥ 2), e um elemento aij de A. Chama-se cofator do elemento aij ao produto de (-1)^i+j  pelo determinante da matriz obtida, quando se elimina em A a linha i e a coluna j.

Exemplo:

Sendo , vamos calcular os cofatores A₂₂, A₂₃ e A₃₁:

Veja também:

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