quarta-feira, 28 de novembro de 2012

implicações e equivalências lógicas exercícios

 Artigo sobre implicações e equivalências lógicas com exercícios para uma melhor compreensão do assunto.

Uma proposição P implica na proposição Q se e somente se a tabela verdade de ® Q for uma uma tautologia.


O símbolo P ⇒ Q (P implica Q) representa a implicação lógica. 

        A implicação lógica goza das seguintes propriedades:
P1 – Reflexiva. Isto é P Þ P.
P2 – Transitividade. Isto é P Þ Q e Q Þ S então P Þ S.
       A transitividade pode ser estendida a qualquer série de proposições: P Þ R e R Þ S e S Þ ...Þ X então P Þ X.


Estão abaixo as implicações lógicas fundamentais:
p => p v q         
p ^ q => p
(p v q) ^ ~p => q 
(p → q) ^ p => q        (Modus ponens)
(p → q) ^ ~q => ~p    (Modus tollens)
(p → q) ^ (q → r) => p → r    (Silogismo hipotético)
p ↔ q => p →q 
p ↔ q => q →p
(p↔q) ^ p => q

As implicações que estão destacadas em vermelho são as mais importantes regras de inferência, e as que mais aparecem em questões de concurso. No mais, apenas grave: a implicação (=>) para fins de cálculo lógico, corresponde a condicional (→).


Equivalência lógica

 Há equivalência entre as proposições P e Q quando tiverem a mesma tabela-verdade ou  quando a bicondicional P ↔ Q for uma tautologia. P ⇔ Q (P é equivalente a Q) é o símbolo que representa a equivalência lógica. 
      

 Para exemplificar, tomemos as seguintes proposições (p → q) ↔ (~q → ~p) criando suas tabelas-verdades.


Portanto, p → q é equivalente a ~q → ~p, pois estas proposições possuem a mesma tabela-verdade ou a bicondicional (p → q) ↔ (~q → ~p) é uma tautologia.

Equivalências lógicas válidas:

~~p <=> p          (dupla negação)
~p → p <=> p     (Clavius)
p →q <=> ~p v q
p ↔ q <=> (p → q) ^ (q →p)
p ↔ q <=> (p ^ q) v (~p ^ ~q)
p → q <=> ~q → ~p
p → p ^ q <=> p → q      (absorção)
p ^ ~q → c <=> p → q
p ^ q → r <=> p → (q → r)   (exportação-importação)

Destacadas em vermelho, as equivalências lógicas mais usadas em resoluções de questões.


Uma diferença importantíssima entre a implicação e equivalência reside no fato de que, na implicação, só há o caminho de ida, não existe o de volta. Ou melhor, toda equivalência é uma implicação lógica por natureza. Diferentemente, a implicação não se trata necessariamente de uma equivalência lógica. Podemos então dizer que toda equivalência é uma implicação lógica, mas nem toda implicação é uma equivalência lógica. Assim:

p ^ q => p (certo)
O caminho de volta pode estar errado se desejado:
p => p ^ q (errado)


Na equivalência, pode-se ir e vir entre duas proposições. Temos:
(~p v q) <=> (p → q)
O caminho de volta seria perfeitamente válido:
(~p v q) <=> (p → q)

Em outras palavras:dizer que p ^ q <=> p é a mesma coisa que afirmar que p ^ q => p. Porém p ^ q => p
não é a mesma coisa de dizer que p <=> p ^ q

Exercícios

1) (FCC TCE-MG 2007) São dadas as seguintes proposições:

I. Se Jaime trabalha no Tribunal de Contas, então ele é eficiente.
II. Se Jaime não trabalha no Tribunal de Contas, então ele não é eficiente.
III. Não é verdade que Jaime trabalha no Tribunal de Contas e não é eficiente.
IV. Jaime é eficiente ou não trabalha no Tribunal de Contas.


É correto afirmar que são logicamente equivalentes apenas as proposições de números:
a) 2 e 4
b) 2 e 3
c) 2, 3 e 4
d) 1, 2 e 3
e) 1, 3 e 4 **gabarito**

------------------
 resolução:

Simplificamos primeiro as proposições:
I) Trabalha --> eficiente
II) ~Trabalha --> ~eficiente
III) ~(trabalha ^ ~eficiente)
IV) eficiente v ~trabalha

Agora buscamos as equivalências lógicas.

I) Trabalha --> eficiente
é equivalente a essas duas:
~eficiente --> ~Trabalha
~trabalha v eficiente
II) ~Trabalha --> ~eficiente
é equivalente a essas duas:
eficiente --> trabalha
trabalha v ~eficiente

III) ~(trabalha ^ ~eficiente)
é equivalente a:
~trabalha v eficiente
(a negação de p ^ q é ~p v ~q)

IV) eficiente v ~trabalha
é equivalente a essas duas:
~eficiente --> ~trabalha
trabalha --> eficiente

em cores, todas as equivalências em comum. 

letra E, a correta.

2. Mostrar que as proposições “x = 1 v x ³ 3” e “~(x < 3 ^ x = 1)” não são equivalentes.
3. Demonstre as relações abaixo utilizando as tabelas-verdade:
a)    ® q Ù r  Û  ( p ® q ) Ù ( p ® r )
b)    ® q Ú r Û ( p ® q ) Ú ( p ® r )
c)    Ù q ® r Û p ® ( q ® r )
d)    ~( ~p ® ~q ) Û ~p Ù q
e)    ~( p Ù q Ù r ) Û ~p Ú ~q Ú ~r
f)      ~( p Ú q Ú  r ) Û ~p Ù ~q Ù ~r







Um comentário:

  1. Olá, primeiramente parabéns pelos conteúdos, estão sendo bastante úteis para eu passar exercícios para meus alunos.
    Gostaria apenas de relatar um pequeno erro que percebi na penúltima equivalência lógica que foi classificada como válida:
    p ^ ~q → c <=> p → q não é uma equivalência lógica válida, como podemos conferir fazendo as tabelas verdades das duas proposições, as quais diferem na quarta linha:

    P Q C ~Q P^~Q P^~Q->C P->Q
    V V V F F V V
    V F F V V F F
    V V F F F V V
    V F V V V V F
    F V V F F V V
    F F F V F V V
    F V F F F V V
    F F V V F V V

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