quarta-feira, 28 de novembro de 2012

implicações e equivalências lógicas exercícios

 Artigo sobre implicações e equivalências lógicas com exercícios para uma melhor compreensão do assunto.

Uma proposição P implica na proposição Q se e somente se a tabela verdade de ® Q for uma uma tautologia.


O símbolo P ⇒ Q (P implica Q) representa a implicação lógica. 

        A implicação lógica goza das seguintes propriedades:
P1 – Reflexiva. Isto é P Þ P.
P2 – Transitividade. Isto é P Þ Q e Q Þ S então P Þ S.
       A transitividade pode ser estendida a qualquer série de proposições: P Þ R e R Þ S e S Þ ...Þ X então P Þ X.


Estão abaixo as implicações lógicas fundamentais:
p => p v q         
p ^ q => p
(p v q) ^ ~p => q 
(p → q) ^ p => q        (Modus ponens)
(p → q) ^ ~q => ~p    (Modus tollens)
(p → q) ^ (q → r) => p → r    (Silogismo hipotético)
p ↔ q => p →q 
p ↔ q => q →p
(p↔q) ^ p => q

As implicações que estão destacadas em vermelho são as mais importantes regras de inferência, e as que mais aparecem em questões de concurso. No mais, apenas grave: a implicação (=>) para fins de cálculo lógico, corresponde a condicional (→).


Equivalência lógica

 Há equivalência entre as proposições P e Q quando tiverem a mesma tabela-verdade ou  quando a bicondicional P ↔ Q for uma tautologia. P ⇔ Q (P é equivalente a Q) é o símbolo que representa a equivalência lógica. 
      

 Para exemplificar, tomemos as seguintes proposições (p → q) ↔ (~q → ~p) criando suas tabelas-verdades.


Portanto, p → q é equivalente a ~q → ~p, pois estas proposições possuem a mesma tabela-verdade ou a bicondicional (p → q) ↔ (~q → ~p) é uma tautologia.

Equivalências lógicas válidas:

~~p <=> p          (dupla negação)
~p → p <=> p     (Clavius)
p →q <=> ~p v q
p ↔ q <=> (p → q) ^ (q →p)
p ↔ q <=> (p ^ q) v (~p ^ ~q)
p → q <=> ~q → ~p
p → p ^ q <=> p → q      (absorção)
p ^ ~q → c <=> p → q
p ^ q → r <=> p → (q → r)   (exportação-importação)

Destacadas em vermelho, as equivalências lógicas mais usadas em resoluções de questões.


Uma diferença importantíssima entre a implicação e equivalência reside no fato de que, na implicação, só há o caminho de ida, não existe o de volta. Ou melhor, toda equivalência é uma implicação lógica por natureza. Diferentemente, a implicação não se trata necessariamente de uma equivalência lógica. Podemos então dizer que toda equivalência é uma implicação lógica, mas nem toda implicação é uma equivalência lógica. Assim:

p ^ q => p (certo)
O caminho de volta pode estar errado se desejado:
p => p ^ q (errado)


Na equivalência, pode-se ir e vir entre duas proposições. Temos:
(~p v q) <=> (p → q)
O caminho de volta seria perfeitamente válido:
(~p v q) <=> (p → q)

Em outras palavras:dizer que p ^ q <=> p é a mesma coisa que afirmar que p ^ q => p. Porém p ^ q => p
não é a mesma coisa de dizer que p <=> p ^ q

Exercícios

1) (FCC TCE-MG 2007) São dadas as seguintes proposições:

I. Se Jaime trabalha no Tribunal de Contas, então ele é eficiente.
II. Se Jaime não trabalha no Tribunal de Contas, então ele não é eficiente.
III. Não é verdade que Jaime trabalha no Tribunal de Contas e não é eficiente.
IV. Jaime é eficiente ou não trabalha no Tribunal de Contas.


É correto afirmar que são logicamente equivalentes apenas as proposições de números:
a) 2 e 4
b) 2 e 3
c) 2, 3 e 4
d) 1, 2 e 3
e) 1, 3 e 4 **gabarito**

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 resolução:

Simplificamos primeiro as proposições:
I) Trabalha --> eficiente
II) ~Trabalha --> ~eficiente
III) ~(trabalha ^ ~eficiente)
IV) eficiente v ~trabalha

Agora buscamos as equivalências lógicas.

I) Trabalha --> eficiente
é equivalente a essas duas:
~eficiente --> ~Trabalha
~trabalha v eficiente
II) ~Trabalha --> ~eficiente
é equivalente a essas duas:
eficiente --> trabalha
trabalha v ~eficiente

III) ~(trabalha ^ ~eficiente)
é equivalente a:
~trabalha v eficiente
(a negação de p ^ q é ~p v ~q)

IV) eficiente v ~trabalha
é equivalente a essas duas:
~eficiente --> ~trabalha
trabalha --> eficiente

em cores, todas as equivalências em comum. 

letra E, a correta.

2. Mostrar que as proposições “x = 1 v x ³ 3” e “~(x < 3 ^ x = 1)” não são equivalentes.
3. Demonstre as relações abaixo utilizando as tabelas-verdade:
a)    ® q Ù r  Û  ( p ® q ) Ù ( p ® r )
b)    ® q Ú r Û ( p ® q ) Ú ( p ® r )
c)    Ù q ® r Û p ® ( q ® r )
d)    ~( ~p ® ~q ) Û ~p Ù q
e)    ~( p Ù q Ù r ) Û ~p Ú ~q Ú ~r
f)      ~( p Ú q Ú  r ) Û ~p Ù ~q Ù ~r







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