Sentenças abertas e fechadas exercícios

Sentenças abertas

Sentenças matemáticas abertas ou simplesmente sentenças abertas são expressões que não podemos identificar como verdadeiras ou falsas.

Por exemplo: x + 4 = 12

Essa expressão pode ser verdadeira ou falsa, dependendo do valor da incógnita x.
Se x for igual a 8, a sentença é verdadeira, pois 8 + 4 = 12
Se x for igual a 3, a sentença é falsa, pois 3 + 4 não é igual a 12 (3 + 4 ≠ 12)

Em sentenças abertas sempre temos algum valor desconhecido (incógnita), que é representado por uma letra do alfabeto.

Pode-se colocar qualquer letra, mas as mais usadas pelos matemáticos são: x, y e z.
Veja outros exemplos de sentenças abertas:
x + 2≠ 6 (desigualdade)
4y - 2 < -7 (inequação)


Pode-se, também, ter uma sentença aberta como proposição, porém nesse caso não é possível atribuir um valor lógico.

Exemplos:

1) Obtenha o valor lógico da sentença abaixo.

b: x é um y brasileiro.

Nessa proposição b, o valor lógico só pode ser encontrado se soubermos quem é x e y (variáveis livres).

No caso de x igual a Roberto Carlos e y igual a cantor, a proposição será verdadeira. Já no caso de x igual a Frank Sinatra e y igual a cantor, a proposição será falsa. Portanto, é muito comum na resolução de problemas matemáticos, trocar-se alguns nomes (ou todos) por variáveis.

2) Estude os valores lógicos da sentença aberta:

Se 10x - 3 = 27 então x² - 7x = -12
Sabendo-se que na primeira equação o valor de x é igual 3, e na segunda equação os valores relacionados a x são 3 e 4.

Resposta:
a) Se x = 3 então a condição se verifica (V, V);
b) A condição (V, F) não se verifica;
c) Se x = 4 então a condição é verdadeira (F, V);
d) Se x diferente de 3 e x diferente de 4, então a condição (F, F) é verdadeira.

Sentenças fechadas

Sentenças matemáticas fechadas ou simplesmente sentenças fechadas são expressões que podemos identificar como verdadeiras ou falsas.

Por exemplo:

1ª: 3 + 8 = 11
2ª: 3 + 5 = 11

Dizemos que as igualdades são sentenças matemáticas fechadas, pois são definitivamente falsas ou definitivamente verdadeiras. No caso, a primeira é sempre verdadeira e a segunda é sempre falsa. 

Exercícios

1) (ICMS-SP 2006/FCC) Considere as seguintes frases:

I. Ele foi o melhor jogador do mundo em 2005.
II. (x+y)/5 é um número inteiro.
III. João da Silva foi o secretário da Fazenda do Estado de São Paulo em 2000.

É verdade que apenas:

a) I e II são sentenças abertas.
b) I e III são sentenças abertas
c) II e III são sentenças abertas
d) I é uma sentença aberta.
e) II é uma sentença aberta

Solução:

A frase I é uma sentença aberta, pois "Ele" pode, nesta questão, estar se referindo a uma homem qualquer. Não podemos classificá-la em V ou F, porque não sabemos sobre quem estamos falando. A frase I seria uma proposição se, por exemplo, o locutor apontasse para uma pessoa e falasse "Ele foi o melhor jogador do mundo em 2005".

A frase II é, sem dúvida, uma sentença aberta, pois há duas variáveis e infinitos valores que podem tornar a frase verdadeira ou falsa. 

Já a frase III não é uma sentença aberta, pois facilmente podemos verificar o sujeito e classificá-la em V ou F.

2) Identifique com F as sentenças fechadas e com A as abertas

a) ( ) 4 + 7 = 10      e) ( ) 18x + 3 = 3

b) ( ) 6 + x = 2        f) ( ) z - 6 = -10

c) ( ) 2 - 1 < 5         g) ( ) 5 - 2 = 9

d) ( ) y - 3 = 6         h) ( ) A baleia é um mamífero

3) (FCC – adaptada) Classifique abaixo as orações em Expressões, Sentenças Abertas e Proposições.

I - Que belo dia!
II - Um excelente livro de receitas.
III - O jogo terminou empatado.
IV - Existe vida no planeta terra.
V - Escreva uma poesia.

4) (CESPE/2008 – TJ/CE) A frase "No ano de 2007, o índice de criminalidade da cidade caiu pela metade em relação ao ano de 2006" é uma sentença aberta.

C. Certo
E. Errado

5) A frase “Amanhã vai chover” é uma sentença aberta.

C. Certo
E. Errado

6) (CESPE/2008) “A seguinte proposição: “Ninguém ensina ninguém” é um exemplo de sentença aberta”.

C. Certo
E. Errado

gabarito: 

1) A

2) a) F  b) A  c) F  d) A  e) A  f) A  g) F  h) F

3) 1)  I - Expressão, II - Expressão, III - Sentença Aberta (Jogo? Que jogo? Quem jogou e o que jogou?), IV - Sentença Fechada (Proposição, tem sentido, tem verbo, tem sujeito, tem predicado), V - Sentença Aberta (Tem verbo, mas, deixa o entendimento vago).

4) CERTO. Não se sabe em qual cidade ocorreu a queda nos índices de criminalidade. Note que esse item quer apenas saber se a frase é uma sentença aberta. Se, por exemplo, cidade = Rio de Janeiro, a frase se tornaria uma proposição, já que poderia ser verificado com dados divulgados nos jornais, nas revistas ou pela secretaria de segurança daquele Estado, se de fato ocorreu a queda nos índices de criminalidade entre os anos de 2006 e 2007.

5) ERRADO. A frase: “Amanhã vai chover” pode ser valorada como V ou F se tratando, portanto, de uma sentença fechada.

6) Esta questão o que se deve perceber é que quando o Cespe cita que a proposição “Ninguém ...” é uma sentença aberta, torna-se uma contradição, uma vez que uma proposição pode ser valorada, o que não ocorre com uma sentença aberta (não há como se valorar.) Logo, o item está errado.