sábado, 17 de novembro de 2012

questões resolvidas fatorial


Neste artigo serão estudadas definição e operações com número fatorial com exercícios resolvidos para melhor entendimento do assunto.

Fatorial

Fatorial é uma expressão que tem por função determinar um número sucessor com ajuda do anterior ou anteriores.

Dado um número natural qualquer n, chamamos de fatorial de n ou n fatorial:
  • ao número 1 quando n = 0 ou n = 1;
  • ao produto de todos os números naturais desde n até 1 para qualquer n > 1. Indicamos o fatorial de n por n!
Assim:
0! = 1                        4! = 4 2 . 1 = 24      
1! = 1                        5! = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120
2! = 2 . 1                   n! = n . (n - 1) . (n -2) . ... . 3 . 1
3! = 3 . 2 1 = 6

Como aplicação da noção de fatorial resolveremos os exercícios seguintes:

01. Calcular o valor da expressão 5! + 2! / 3 . 4!

Solução:

5 . 4 . 3 . 2 . 1 / 3 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120 + 2 / 72 = 122 / 72 = 61 / 36

02. Resolver a equação (n + 2)! + (n + 1)! = 15 . n!

Solução:

(n + 2)! + (n + 1)! = 15 . n!
(n + 2) . (n + 1) . n! + (n + 1) . n! = 15 . n!
Colocando  (n + 1) . n! em evidência:

(n + 1) . n! [(n + 2) + 1] = 15 . n!
(n + 1) . n! . (n + 3) = 15 . n! 

Dividindo os dois membros por n! (podemos, pois n! ≠ 0)
(n + 1) . (n + 3) = 15 ► n² + 4n - 12 = 0
Resolvendo a equação, encontramos n = - 6 ou n = 2.
Como n = -6 não convém, pois devemos ter n € N, a resposta é apenas n = 2
Logo, S = {2}

03. Simplificar e calcular  

Solução: 

Nesse tipo de equação é necessário desenvolver o fatorial no numerador ou no denominador da fração a fim de que o fatorial seja cancelado.

Podemos escrever n! da seguinte forma:

n! = n∙(n-1)!

Substituindo na equação inicial, obtemos:
c)
Podemos escrever n! da seguinte forma:

n!=n∙(n-1)∙(n-2)!

Substituindo na equação inicial, obtemos:

04. Simplifique a expressão a seguir de acordo com as regras do Fatorial de um número:  
Solução: 



05.(UNIFOR) - A soma de todos os números primos que são divisores de 30! é :


a) 140
b) 139
c) 132
d) 130
e) 129

Solução:
Seja S = 30!, então 
S = 30.29.28...3.2.1
Sabemos que como S é obtido pelo produto dos números naturais de 1 a 30,
logo todos os números primos que aparecem nesse intervalo são divisores de S = 30!.
portanto a soma  é igual a 
2 + 3 + 5 + 7 + 11 + 13 + 17 + 19 + 23 + 29 = 129
opção "e"

06. se (n + 1)! = 10 n!, então ( n - 1 )² vale :


a) 100
b) 81
c) 64
d) 36
e) 25

solução :

(n+1)! = 10 n!
(n+1) . n! = 10 n! , dividimos tudo por n! , então
n + 1 = 10
n = 10 - 1
n = 9
portanto, (n - 1)² = (9 - 1)²
               (n - 1)² = 8²
               (n - 1)² = 64
opção "c"




Veja também:


Triângulo de Pascal e suas propriedades







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9 comentários:

  1. Fiquei com uma dúvida na questão da UNIFOR. Não existe nenhum outro número primo maior que 29 que seja divisor de 30! ?

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    Respostas
    1. Fiquei com a mesma dúvida!

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    2. Para outro número existir ele seria a multiplicação de dois ou mais termos do fatorial de 30, sendo assim não seria primo

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    3. No caso, estão levando em consideração os primos menores que 30.

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  2. Respostas
    1. 100!+101!/ 99! -> 100.99! + 101.100.99!/ 99! -> coloca o 99! em evidência,então ficaria assim -> 99!(100+101.100)/ 99! -> corta os dois 99! -> 100 + 101.100 -> 100 + 10.100 -> 10.200

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  3. 100.99! + 101.100.99!/ 99!
    100 + 101.100
    100 + 10100
    = 10200

    :]

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  4. Como eu faço (n+3)!. (n-1)! / (n-2)!) (n+2)!

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