Combinações simples
Com os elementos a, b, c e d vamos escrever todos os agrupamentos com 3 elementos que diferem
entre si pela natureza de seus elementos.
{a, b, c}, {a, b, d}, {a, c, d}, {b, c, d}
Cada um desses agrupamentos chama-se combinação simples de 4 elementos, tomados 3 a 3.
De um modo geral:
Dados n elementos distintos, chama-se combinação simples desses n elementos, tomados p a p, a qualquer agrupamento de p elementos distintos, escolhidos entre os n elementos dados e que diferem entre si pela natureza de seus elementos.
Vamos, como exemplo, formar as combinações simples dos elementos a, b, c e d, tomados 2 a 2:
(a, b), (a, c), (a, d), (b, c), (b, d), (c, d)
(b, a), (c, a), (d, a), (c, b), (d, b), (d, c) 12 arranjos
Indicando o número de combinações simples de 4 elementos, toamdos 2 a 2, por C4,2, temos:
2! . C4,2 = A4,2, onde 2! representa o número de permutações dos elementos de cada combinação.
As combinações simples dos 4 elementos, tomados 3 a 3, são aquelas vistas acima:
(a, b, c), (a, b, d), (a, c, d), (b, c, d)
Permutando os elementos de cada uma dessas combinações, obteremos os arranjos simples dos 4 elementos, tomados 3 a 3.
Assim, temos 3! . C4,3 = A4,3, onde 3! representa o número de permutações de cada combinação.
Esses exemplos nos sugerem que, se indicarmos o número de combinações simples de n elementos distintos, tomados p a p, por Cn,p, teremos:
p! . Cn,p = An,p, ou seja:
n é a quantidade de elementos de um conjunto
p é um número natural menor ou igual a n, que representa a quantidade de elementos que irão formar os agrupamentos.
Exemplo1:
Calcule C4,3
Solução:
n = 4 p = 3
C4,3 = 4! 3! (4-3)! C4,3 = 4 . 3!
3! . 1
C4,3 = 4
Exemplo2:
Calcule o valor de x na equação Cx + 2,2 + Cx,2 = 5x +1
Solução:
Restrição: O termo Cx,2 indica que x E N e x ≥ 2.
Cx + 2,2 + Cx,2 = 5x + 1 ► (x + 2) . (x + 1) / 2! + x (x - 1) / 2! = 5x + 1 ► 2x² - 8x = 0
Resolvendo a equação, encontramos: x1 = 0 e x2 = 4.
Como devemos ter x > 2, então S = {4}.
Veja também:
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