número de linhas da tabela-verdade

O número de linhas da tabela-verdade de uma proposição composta depende do número de proposições simples que a integram, sendo dado pelo seguinte teorema:
“A tabela-verdade de uma proposição composta com n proposições simples componentes contém
2n (2 elevado a n) linhas”.


Vamos primeiro ver um exemplo construindo a tabela- verdade por uma proposição, depois, um exemplo construindo a tabela-verdade através de argumento.

Exemplo:

Dada a proposição P(p,q) = ~ (p ^ ~ q)
Primeiramente, calculamos o nº de linhas por 2n: 2² = 4 (o 2 da potência é porque só temos duas
variáveis, ou seja, p e q). Após sabermos o número de linhas que terá a tabela-verdade, vamos, agora, construí-la, através dos valores lógicos V e F.


Para a primeira proposição simples (p): 

Para valores Vs (verdadeiros), temos: p = 2n – 1, como n = 2, fica: 22 – 1 = 21 = 2 (significa que na primeira coluna, teremos dois valores Vs).
Usando o mesmo raciocínio, para valores Fs (falsos), concluímos que, teremos, também, dois valores Fs (falsos), na primeira coluna.
Nota: os valores Vs (verdadeiros) e Fs (falsos) vão se alternando de dois em dois, pois o resultado
de 2n – 1 foi 2.

Façamos, agora, para a segunda proposição (q):

Para valores Vs (verdadeiros), temos: q = 2n – 2, como n = 2, fica: 22 – 2 = 20 = 1 (significa que na segunda coluna, teremos um valor V). Pela mesma linha de raciocínio, para valores Fs (falsos), concluímos que teremos, também, um valor F.
Nota: os valores V (verdadeiro) e F (falso) vão se alternando de um em um, pois o resultado de 2n – 2 foi 1.
O candidato pode perguntar por que em relação à primeira premissa a potência foi n – 1 e em relação à segunda premissa a potência foi n – 2.
A resposta é: fundamenta-se na fórmula 2n / 2k = 2n - k onde n são os valores lógicos e k são as premissas.
Então, no nosso caso, ficamos assim:

Para a primeira premissa: 22 / 21 = 22 - 1, o 2 (potência) é porque os valores lógicos são V e F e o 1 (potência), porque é em relação à 1ª premissa.
Para a segunda premissa: 22 / 22 = 22 – 2, o primeiro 2 (potência) é porque os valores lógicos são V e F e o segundo 2 (potência) é porque a premissa é a segunda.
Agora, vamos montar a tabela-verdade:



p             q              ~q                p ^ ~q               ~(p ^ ~q)
_______________________________________________
V            V               F                   F                    V
V            F               V                   V                    F
F            V               F                   F                    V
F            F               V                   F                    V


Pela tabela-verdade, vemos que na primeira coluna existem dois Vs e dois Fs, enquanto na segunda
existe um V e um F, alternando-se, como foi comprovado no cálculo acima.