sexta-feira, 9 de novembro de 2012

Inequações logarítmicas exercícios e exemplos



Ao estudarmos as inequações logarítmicas, devemos ter cuidados especiais com as restrições a que devem estar submetidas a incógnita.  Para resolvê-las, procuraremos obter nos dois membros logaritmos de mesma base.  A partir disso, trabalharemos apenas com os logaritmandos, usando o fato de a função ser crescente ou decrescente:
a) mantendo para eles o mesmo sinal da inequação quando a base for maior que 1, pois a função é crescente;
b) invertendo para eles o sinal da inequação quando a base estiver entre 0 e 1, pois a função é decrescente.
Ex: Resolver a inequação  log2 x - 1  > 5.

Temos que  → log2 x - 1 > 5*log2 2 → log2 x - 1   > log2 25  → log2 x - 1 > log2 32   
Como a base é 2 > 1, a função logarítmica é crescente e, portanto, o sinal > da inequação deve ser mantido para os logaritmandos, ou seja, devemos ter x – 1 > 32.
Então, x > 32 + 1 → x > 33  ( I )
A solução é o conjunto dos valores de x que, além de tornar ( I ) verdadeiro, satisfazem também a restrição inicial.
Desse modo, a restrição deverá ser “ mais trabalhada”, ou seja: x – 1 > 0 → x > 1 ( II )
O conjunto solução é S = {x Є R/x > 33}.
Ex2: O número real x que satisfaz a equação log2(12 – 2x) = 2x é:
Solução:
log2(12 – 2x) = 2x
12 – 2 = 22x
22x + 2x – 12 = 0
(2x)2 + 2x – 12 = 0
Substituindo 2x por y, temos:
y2 + y – 12 = 0
Resolvendo a equação do 2.º grau acima, temos:
y’ = -4 ; y’’ = 3
2x = -4
2x = 3    x = log23
Exercícios inequações logarítmicas

1)     Resolva a inequação log3 (2 – 5x) ≤ log3 3

2) Resolva a inequação logarítmica 

3) Determine para quais valores de x o número logx+1 (2 - x) está definido nos reais


4) (Unicamp) Suponha que o preço de um automóvel tenha uma desvalorização de 19% ao ano sobre o preço do ano anterior. Se F representa o preço inicial (preço de fábrica) e p(t) o preço após t anos, pede-se:

a) A expressão para p(t)

b) O tempo mínimo necessário, em número inteiro de anos, após a saída da fábrica, para que um automóvel venha a valer menos que 5% do valor inicial. Se necessário, use:

log2 = 0,301 log3 = 0,477

5) (Fuvest) Seja f(x) o logaritmo de 2x na base .

Resolva a inequação f(x) > 1.

Gabarito:

1) S = { x  Є R/ -1/5 ≤ x < 2/5}  2)    3) S = { x ∈ R/ -1 < x < 2 e x ≠ 0}

4) a) p(t) = (0,81)t F  b) t = 15 anos  5) S= {\in R | 0 < x < 1 - \frac{\sqrt{2}}{2} ou \frac{\sqrt{2}}{2} < x < 1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}



Um comentário:

  1. Ai do nada da 32 na letra b da 1° , da pra explicar?

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