Exercícios resolvidos e propostos de Juros Simples e Compostos

   1) Um eletrodoméstico sai à vista por R$ 550,00. Se for dada uma entrada de R$ 150,00 e o restante for pago em 4 prestações mensais a uma taxa de juros de 2,5% a.m., qual será o valor mensal de cada parcela?

Solução:

Como iremos abater R$ 150,00 dos R$ 550,00 que é o valor do produto, acabaremos financiando apenas R$ 400,00. Portanto as variáveis do problema têm os seguintes valores:

Agora podemos calcular o coeficiente de financiamento:

Aplicando a fórmula para o cálculo de prestações podemos executar os cálculos conforme abaixo:

Portanto:

O valor mensal da prestação deste eletrodoméstico será de R$ 106,33.

2) R$ 10.000,00 aplicados por 6 meses a uma taxa de juros simples de 3% a.m., para produzir o mesmo montante na modalidade de juros composto em um aplicação com a mesma duração, precisará ser aplicada a qual taxa mensal?

Do enunciado obtemos os seguintes valores:

Para sabermos qual o montante produzido na modalidade simples utilizaremos a fórmula abaixo:

Ao substituirmos as variáveis e realizarmos os cálculos iremos obter o resultado:

Agora que sabemos que o montante produzido na modalidade simples é R$ 11.800,00, utilizaremos a fórmula abaixo para calcularmos a taxa de juros na modalidade capitalizada:

Substituindo as variáveis e calculando:

Como sabemos ao multiplicarmos 0,0279698 por cem iremos obter o valor percentual da taxa a qual estamos procurando.

Portanto:

Os R$ 10.000,00 precisam ser aplicados à taxa capitalizada de 2,79698% a.m. para que se apure o montante de R$ 11.800,00, o mesmo montante produzido na aplicação a juros simples pelo mesmo período de tempo.

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3) (Cespe/UnB – Chesf/2002) Uma pessoa recebeu R$ 6.000,00 de herança, sob a condição de investirtodo o dinheiro em dois tipos particulares de ações, X e Y. As ações do tipo X pagam 7% a.a e as ações do tipo Y pagam 9% a.a. A maior quantia que a pessoa pode investir nas ações x, de modo a obter R$ 500,00 de juros em um ano, é:

a) R$ 1.200,00       b) R$ 1.600,00     c) R$ 2.000,00       d) R$ 2.300,00        e) R$ 2.500,00

Solução:

Cx + Cy = 6000
com ix = 0.07 a.a e iy = 0.09 a.a.
Jx + Jy = 500
Cx* 0.07 * 1 + Cy * 0,09 * 1 = 500
como Cy = 6000 – Cx
Cx* 0.07 + (6000 – Cx) * 0,09 = 500
Cx* 0.07 + 540 – 0.09 * Cx= 500
Cx = 2000, alternativa C.

4) (Cespe/UnB – TRT 6º Região – 2002) Considere o capital de R$ 5.000,00 é aplicado à taxa de juros compostos de 6% a.m. e sejam M1, M2, …, Mn os montantes gerados por esse capital após o 1º mês, 2º mês, respectivamente. Então os montantes M1, M2, …, Mn, formam uma progressão geométrica de razão igual a 1,06.

Solução:

M1 = 5000 * (i+0.06)¹
e
M2 = 5000 * (i+0.06)² → M2 = 5000 * (1.06)*(1.06)
M2 = M1*(1+0.06)
da mesma maneira M3:
M3 = 5000 * (1.06)³ → M3 = 5000 * (1.06)² * (1.06)
M3 = M2*(1.06)
Logo podemos definir M como uma progressão geométrica onde:
a1 = 5300; q = 1.06
an = an-1*1.06; para n > 1

5) Determine o juro de uma aplicação de R$ 20.000 a 4,5% a.m., capitalizados mensalmente durante 8 meses.

Solução:

M = C(1 + i)*n
j = M - C
j = C(1 + i)*n - C
j = C[(1 + i)^n - 1]
j = 20000[(1 + 0,045)*8 - 1]
j = 20000[1,045*8 - 1]
j = 20000[1,422100613 - 1]
j = 20000.0,422100613 = 8442,01226

6) Qual o valor atual de um título de R$ 15.000, resgatado a 6 meses de seu vencimento, sabendo que a taxa de desconto (composto) é de 6% ao bimestre?

Solução:

Você deve estar falando de Desconto Racional composto (por dentro). É esse que utilizei.
D = N[(1 + i)^n - 1]/(1 + i)^n
D = 15000[1,06^3 - 1]/1,06^3
D = 2405,71

Como D = N - A, vem:
2405,71 = 15000 - A
A = 15000 - 2405,71 = 12594,29

    7) Durante quanto tempo ficou empregado um capital de R$ 45.000,00 que rendeu R$ 8.100,00 de juros, à taxa de 2% ao mês?

Solução:

Temos : j = (c.i.t) / 100

8100 = (45000. 2. t) / 100
90000t = 810000
t = 810000 / 90000
t = 9 meses

   8) Qual o capital que produziu R$ 18.360,00 durante 17 meses , a uma taxa de 24% ao ano?                                                                  R: R$ 54.000

 9) A importância de R$ 48.000,00, emprestada a 60% \o ano , no fim de 7 meses, rende juros de:

  a) R$ 16.800,00                 b) R$ 18.600,00              c) R$ 20.160,00                 d) R$ 21.060,00

10) Um capital aplicado em um fundo duplicou seu valor entre 11 de julho e 22 de dezembro do mesmo ano. A que taxa efetiva mensal foi aplicado?            R: 13,5184526% a.m

11) Uma pessoa depositou R$ 1.000,00 em um fundo que paga juros efetivos de 5% am, com o objetivo de dispor de R$ 1.102,50 dentro de 2 meses. Passados 24 dias após a aplicação, a taxa efetiva baixou para 4% am. Quanto tempo adicional terá de esperar para obter o capital requerido?                                                                   R: 9 dias

12) Um capital de R$ 50.000,00 rendeu R$ 1.000,00 em um determinado prazo. Se o prazo fosse dois meses maior, o rendimento aumentaria em R$ 2.060,40. Calcular a taxa de juros efetiva ao mês ganha pela aplicação e o prazo em meses.               R:  2% am; 1 mês

13) Suponha que a aplicação de R$ 5.000,00 tenha produzido ao final de um trimestre a quantia de R$ 190,00 de juros. Qual foi a taxa percentual trimestral da aplicação?             R: 3,8% a.t.

14) Qual o tempo necessário para que um capital, aplicado a uma taxa efetiva de 3% a.m., duplique seu valor?                                                    R: 23,45 meses

15) (ENEM-2011) Um jovem investidor precisa escolher qual  investimento lhe trará maior retorno financeiro em uma aplicação de R$ 500,00. Para isso, pesquisa o rendimento e o imposto a ser pago em dois investimentos: poupança  e CDB (certificado de depósito bancário). As informações obtidas estão resumidas no quadro:

Para o jovem investidor, ao final de um mês, a aplicação mais vantajosa é

A a poupança, pois totalizará um montante de R$ 502,80.
B a poupança, pois totalizará um montante de R$ 500,56.
C o CDB, pois totalizará um montante de R$ 504,38.
D o CDB, pois totalizará um montante de R$ 504,21.
E o CDB, pois totalizará um montante de R$ 500,87.

Solução:

O primeiro passo é calcular o juros recebido pelo capital de R$ 500,00 ao ser aplicado em um período de 1 mês com taxa mensal, tanto na poupança como no CDB, tem-se:

O segundo passo é calcular quanto o CDB recolhe de imposto de renda, uma vez que, a poupança é isenta, tem-se:

Sendo assim, o ganho no CDB é dado pelo juro menos o imposto de renda, tem-se:

O terceiro passo é calcular o montante alcançado na poupança e no CDB, lembre-se que o montante é o capital mais o juros descantado o imposto de renda, tem-se:

Percebe-se que sendo o arredondamento feito de maneira correta (o último número significativo 7 é impar e o primeiro duvidoso é 5, aumenta-se de uma unidade o último número significativo.), então, 0,1752 é, aproximadamente, 0,18 e o CDB é mais vantajoso resultando em um montante de, aproximadamente, R$ 524,20. Considerando-se o arredondamento como 0,17 este montante seria R$ 524,21.

16) (ENEM-2011) Uma pessoa aplicou certa quantia em ações. No primeiro mês, ela perdeu 30 % do total do investimento e, no segundo mês, recuperou 20 % do que havia perdido. Depois desses dois meses, resolveu tirar o montante  de R$ 3 800,00 gerado pela aplicação.

A quantia inicial que essa pessoa aplicou em ações corresponde ao valor de

A R$ 4 222,22.
B R$ 4 523,80.
C R$ 5 000,00.
D R$ 13 300,00.
E R$ 17 100,00.

Solução:

O primeiro passo é calcular qual foi o decréscimo obtido no 1° mês, trata-se de um valor igual ao juros simples, mas que é retirado do capital após o 1º mês, tem-se:

Sabe-se, então, que o decréscimo no 1º mês foi de 3/10 do capital.

O segundo passo é calcular o juros conseguido em cima do decréscimo obtido no 1º mês, tem-se:

Sendo assim, houve uma recuperação de 6/100 do capital inicial no 2º mês.

O terceiro passo é calcular o montante após esses dois meses, lembre-se: neste caso o montante é o capital inicial menos o decréscimo do 1º mês, mais o juros do 2º mês e deve resultar em R$ 3.800,00. Tem-se:

Desta forma, o capital aplicado, pela pessoa, em ações foi de R$ 5.000,00.

Alternativa A

17) Calcule o preço pago por um produto, usando-se um capital inicial de R$ 1500,00 aplicado a juros compostos durante 4 meses, á taxa mensal de 2,8%.

Solução:

M: ? M= C. (1+i)n
C: 1500,00 M= 1500 x (1+0,028)4
i: 2,8% ÷ 100= 0,028M= 1500 x (1,028)4
n: 4 m M= 1500 x 1,1167923

18)  (Fundação Carlos Chagas - Escriturário BB - 2011) Saulo aplicou R$ 45 000,00 em um fundo de investimento que rende 20% ao ano. Seu objetivo é usar o montante dessa aplicação para comprar uma casa que, na data da aplicação, custava R$ 135 000,00 e se valoriza à taxa anual de 8%. Nessas condições, a partir da data da aplicação, quantos anos serão decorridos até que Saulo consiga comprar tal casa?

(A)   15.  

(B)   12.

(C)   10.

(D)     9.

(E)     6.

Solução:

                   t                                   t

45000.(1,2)  = 135000.(1,08)

                t

(1,2/1,08)  =  135000/45000

          t

(10/9)   = 3

t = log3    =    log3        =          log3             =     0,48        =      0,48     =    0,48      =     12

       10/9         log(10/9)        log10 - 2.log3        1 - 2.0,48         1 - 0,96         0,04

19)  (COPS - Polícia Militar PR - 2010) Qual deve ser o capital inicial que um cidadão deve aplicar em um fundo de renda fixa, que utiliza o sistema de juros compostos e que rende 20% ao ano, de modo que ele tenha R$ 1.440,00 ao final de dois anos?

a) R$ 960,00

b) R$ 975,00

c) R$ 1.000,00

d) R$ 1.003,00

e) R$ 1.010,00

Solução:

Utilizando a fórmula de juros compostos:

                                    n

M = C (1 + i/100)

1440 = C (1 + 0,2)²

1440 = 1,44C

C = 1440 / 1,44 = 1000,00

20) Aplicando hoje na caderneta de poupança a quantia de R$ 20.000,00, qual será o montante gerado ao final de 4 anos, sabendo que a rentabilidade mensal é de 0,5%?

Solução:

S=P* (1+i)ⁿ

P= 20000
i = 0,5%a.m. = 0,005
n = 4 anos = 48 meses (observe que o tempo e a taxa devem estar no mesmo período)
S = ?
Aplicando a fórmula:
S = 20000*(1+0,005)⁴⁸
S = 20000*(1,005)⁴⁸
S= 20000*1,2704891611
S = 25409,78
O montante produzido será de R$ 25409,78.

21) Quanto terei de aplicar hoje num fundo de renda fixa para que, ao final de 10 anos a uma taxa de 1,3%a.m., haja um montante de R$ 100.000,00? 

Solução:

22) Vanessa comprou um telefone celular cujo preço à vista é R$ 690,00, pagando 60% de entrada e o restante após 30 dias em uma única parcela de R$ 300,84, qual a taxa de juros diárias cobradas pela loja?

Solução:

Sessenta por cento de entrada é 60% de 690 = R$ 414,00, portanto o capital inicial será R$ 414,00 e o capital final será 

R$ 414,00 + R$ 300,84 = R$714,84.

Da fórmula C = C₀.(1 + i)^t onde C é o capital final e C₀ é o capital inicial, i a taxa de juros e t o período segue que

714,84 = 414.(1 + i)¹

714,84 = 414 + 414i

714,84 - 414 = 414i

300,84 = 414i

i = 300,84/414 = 0,73 ao mês. Assim, por dia, divida por 30, ficará: i = 0,024 ao dia ou 2% ao dia, aproximadamente.

23) Na compra de um Bem cujo valor à vista é de R$ 140,00, deve-se pagar uma entrada mais duas prestações de R$ 80,00 no fim dos próximos 2 meses.  Considerando uma taxa de juros de 20% am, qual o valor da entrada?  Resp = 17,78

24) Por um equipamento de R$ 360.000,00 paga-se uma entrada de 20% mais dois pagamentos mensais consecutivos.  Se o primeiro pagamento for de R$ 180.000,00 e a taxa de juros efetiva aplicada, de 10% am, calcular o valor do segundo pagamento. Resp = 150.480,00

25) - Um certo capital após 4 meses transformou-se em R$ 850,85.  Esse capital, diminuído dos juros ganhos nesse prazo, reduz-se a R$ 549,15.  Calcular o capital e a taxa de juros efetiva ao mês ganha na aplicação.

Resp = 700,00; 4,999865% AM

26) Uma pessoa depositou R$ 1.000,00 em um fundo que paga juros efetivos de 5% am, com o objetivo de dispor de R$ 1.102,50 dentro de 2 meses.  Passados 24 dias após a aplicação, a taxa efetiva baixou para 4% am.  Quanto tempo adicional terá de esperar para obter o capital requerido? 

Resp = 9 dias

27) (FGV-SP) Uma instituição financeira oferece um tipo de aplicação tal que, após  t meses, o montante relativo ao capital aplicado é dado por M(t)= C. 2^0,04.t, onde C >0. O menor  tempo possível  para quadruplicar uma certa quantia aplicada nesse tipo de aplicação é:

a) 5 meses

b) 2 anos e 6 meses

c) 4 anos e 2 meses

d) 6 anos e  4 meses

Solução:   

M= 4C   →  4C = C. 2^0,04.t

 cancelando  “c” →            4 = 2^0,04.t

                                         2 ² = 2^0,04.t

Igualando os expoentes →  2  = 0,04 t   →  t= 2/0,04  →  t= 50 meses

  

                                                 t= 4 anos e 2 meses      → alternativa C

28) Maria pretende contratar um investimento que consiste em 12 depósitos mensais, iguais e postecipados, que serão resgatados em 3 saques mensais de R$ 500,00, sendo o primeiro saque realizado 1 mês depois do último depósito. A taxa de remuneração composta do investimento é de 4% ao mês. O valor de cada depósito, em reais, sem considerar os centavos, será:

(A) 83.

(B) 92.

(C) 107.

(D) 120.

(E) 135.

Solução:

Como  a taxa de  remuneração é 4% am. , e serão  feitos 3  saques de  R$ 500,00, então temos que  calcular, qual deve ser o valor total ao final dos  12 depósitos, e que deve ser aplicado a 4% am,  que possibilite o resgate de R$ 500,00, sendo assim:

Total= 500(1/1,04)  + [500/(1,04)²] +  [500/(1,04)³] =  480,77 +  462,28 + 444,50 = 1387,55

 O  cálculo dos depósitos, pode  ser feito utilizando a expressão:

1387,55 = d + d(1,04) + ...+ d(1,04)¹¹

1387,55 = d[1 + 1,04 +.....+ (1,04)¹¹ ]

1387,55 = d(15,025)

d=1387,55/15,025  =>  d= 92,34   

alternativa  B

29) Na compra de um imóvel, o contrato prevê o pagamento de uma parcela intermediária de R$ 28.000,00 dentro de um ano. Uma instituição financeira remunera os investimentos em sua carteira à taxa de juros compostos de 1,5% ao mês, livres de taxas e impostos. Nessa situação, considerando 1,2 como valor aproximado de 1,01512 , para obter o valor da parcela, o comprador do imóvel deverá investir hoje uma quantia que é inferior a R$ 23.300,00.

(   ) Certo      (   ) Errado

Solução:   

Considerando o valor a ser investido hoje como sendo o capital (c), temos:

 M= C.( 1+ i)^t

^{28000 = c(1,015)12} 

   28000= 1,2.c

  c= 28000/1,2    =>  C= 23333,33

"errado" 

30) Calcular o montante de um capital de R$ 8.000,00 aplicado a uma taxa de 16% a.a., com capitalização semestral, durante 20 anos e 6 meses.

Solução:

Como  capitalização é semestral, é necessário transformar a taxa anual em semestral e expressar o prazo em semestres

C = 8.000

i = 16% a.a. (taxa nominal) => i = 8% a.s.

t = 20 anos e seis meses = 41 semestres => n = 41

M = C (1 + i)n

M = 8.000 (1 + 0,08)41

Vamos na tabela no final deste capítulo e ... não tem n = 41. Na tabela dada, n só vai até 30. O que fazer?

Simples, utilize o seu conhecimento sobre potências de mesma base:

(1 + 0,008)41 = (1 + 0,008)30 . (1 + 0,008)11

(1 + 0,008)41 = 10,06266 . 2,331639 = 23,462490

M = 8.000 . 23,462490

M = 187.699,92

31) João toma emprestado R$ 1.000,00 e concorda em reembolsar o principal com juros de 3,6% a.a. compostos semestralmente. Quanto deve ele no fim de 4 anos?

Solução:

Observe que a captalização é semestral

C = 1.000

i = 3,6% a.a. (taxa nominal) => i = 1,8% a.s. = 0,018 a.s. (taxa proporcional semestral)

t = 4 anos = 8 semestres => n = 8

M = 1.000 (1 + 0,018)8

Vamos à tabela no final deste capítulo e ... não temos i = 1,8%.

Devemos, então, fazer a interpolação linear.

Vamos pegar da tabela as taxas que se encontram imediatamente a seguir e imediatamente acima da taxa de 1,8% (1% e 2% respectivamente). Com os fatores dessas taxas para n = 8, montamos o seguinte esquema:

O Teorema de Tales, que você deve ter aprendido na 8a série, diz que um feixe de retas ao cortar duas transversais produz segmentos proporcionais. Decorre disso que, se dividirmos, em cada reta transversal, o segmento superior pelo segmento todo, deveremos obter o mesmo resultado. Podemos, então, escrever a seguinte igualdade:

0,8/1 = x – 1,082857/0,088802

Multiplicando em cruz, obtemos:

x – 1,082857 = 0,8 . 0,088802

Resolvendo, encontramos que:

x = 1,153898

Portanto, o montante será igual a:

M = 1.000 . 1,153898

M = 1.153,89

32) (Fundação Cesgranrio/Banco do Brasil - Escriturário) – Uma geladeira é vendida á vista por R$ 1.000,00 ou em duas parcelas, sendo a primeira como uma entrada de R$ 200,00 e a segunda, dois meses após, no valor de R$ 880,00. Qual a taxa mensal de juros simples utilizada?

a) 6%

b) 5%

c) -4%

d) 3%

e) 2%

Solução:

O valor do bem: R$ 1.000,00

Entrada: R$ 200,00

Segunda Parcela: R$ 880,00

Pagamento Total: R$ 1.080,00

Calculando juros simples:

Juro total 60 dias = R$ 80,00 em 02 meses

Juro total 30 dias = R$ 40,00 em 01 mês

Calculando percentual de juros mensal  = R$ 40,00 / R$ 800,00 = 0,05 * 100 = 5%

Resposta: Letra “b”

33) (AFR/SP) O capital que quadruplica em 2 meses, ao se utilizar de capitalização composta, deve estar vinculado a uma taxa mensal de:

a) 50%

b) 100%

c) 150%

d) 200%

e) 400%

Solução:

Esta questão cobra do candidato o conhecimento das relações de juros compostos. Em Matemática Financeira, boa parte das questões se resolve da seguinte forma:

1) Dados e pedidos do problema

2) Formulação Matemáticas

3) Conclusões

Colhendo os dados:

Montante (M) = 4 Capital (C)

n (período de tempo) = 2 meses

C (capital)

Pede-se a taxa de juros (i).

A fórmula matemática que relaciona as seguintes grandezas (M, C, n, i) e que resolve este problema é:

M = C (1+i)n

Substituindo os dados na fórmula tem-se:

4C = C (1+i)2

Mas “C” aparece dos dois lados da igualdade e por isso poderá ser simplificado, é como se dividíssemos os dois lados da igualdade por “C” que entendemos ser um número diferente de zero, na Matemática não se aceita a divisão por zero.

4 = (1+i)2

22 = (1+i)2

Em uma igualdade entre quadrados perfeitos, é possível tirar a raiz quadrada dos dois lados e não alterar a igualdade, assim:

(1+i) = 2 e i = 2 – 1 = 1 = 100%

ou

(1+i) = - 2 e i = - 2 – 1 = -3 (valor a ser desconsiderado uma vez que a taxa de juros não deve ser negativa).

É bom que, nesses tipos de provas, o candidato cheque se a resposta encontrada é coerente, poderíamos então fazer a seguinte pergunta:

Será que uma taxa de juros de 100% ao mês fará um capital quadruplicar em 2 meses?

Dados:

Taxa de juros (i = 100%a.m.)

n = 2 meses

C = capital

Pede-se o montante (M) :

M = C (1+i)n

M = C (1+ 1)2 = C (2)2 = 4C

Dessa forma, o capital que quadruplica em 2 meses, ao se utilizar de capitalização composta, deve estar vinculado a uma taxa mensal de 100%.

Resposta: Letra “b”

34) Um certo capital é aplicado em regime de juros compostos à uma taxa anual de 12%. Depois de quanto tempo este capital estará triplicado?

Solução:

Observe que 
9,7a = 9 + 0,7a = 9a + 0,7x12m = 9a + 8,4m = 9a + 8m + 0,4m = 9a + 8m + 0,4x30d = 9a + 8m + 12d. Arredondamos o resultado para maior (9 anos e 9 meses). 
Nota: log3 = 0,47712 e log1,12 = 0,04922.

Resposta: aproximadamente 9,7 anos ou aproximadamente 9 anos e 9 meses.

35)  (CESGRANRIO/TRANSPETRO/ADMINISTRADOR/2011) Duas empresas, Alfa e Beta, concorrentes no mercado, têm por coincidência o preço e as quantidades vendidas exatamente iguais. Os preços são de R$ 30,00 por unidade e as vendas de 190.000 unidades. A Alfa tem custos e despesas operacionais fixos anuais de R$ 1.094.000,00 contra R$ 1.820.000,00 da Beta. A Beta, em compensação, tem custos e despesas operacionais variáveis de R$ 10,00 por unidade, contra R$ 13,00 da concorrente. Com base nessas informações, qual o grau de alavancagem operacional das empresas Alfa e Beta, respectivamente, assumindo um crescimento para as vendas de 20%?

(A) 1,32 e 2,86   (B) 1,41 e 2,15    (C) 1,51 e 1,92    (D) 1,59 e 3,14    (E) 1,82 e 1,54

 Solução:

O grau de alavancagem operacional mede a variação do lucro a uma dada variação das vendas.

 GAO = [(L1 – L0)/L0] x [V0/(V1 – V0)]

 Em que,

L0 = lucro operacional inicial

L1 = lucro operacional com crescimento das vendas

V0 = volume das vendas inicial

V1 = volume das vendas aumentado

CDVu = custo e despesas variáveis unitário

CDF = custos e despesas fixas

P = preço

 Para Alfa:

L0 = P x V0 – CDF0 – V0 x CDVu

L0 = 30 x 190000 – 1094000 – 190000 x 13 = 2136000

 L1 = P x V1 – CDF1 – V1 x CDVu

L1 = 30 x 190000 x 1,2 – 1094000 – 190000 x 1,2 x 13 = 2782000

 Vo = 190000

V1 = 190000 x 1,2 = 228000

Substituindo,

GAO = [(2782000 – 2136000)/ 2136000] x (190000)/(228000 – 190000)

GAO = 1,512

O cálculo para Beta é análogo, mas desnecessário para se encontrar o gabarito.

Letra C

 36)  (CESGRANRIO/ANP/ANAL.ADM.GERAL/2008) A taxa de juros compostos de 1% ao mês é equivalente a que taxa trimestral?

(A) 1,3%      (B) 2,0%       (C) 2,1%          (D) 3,0%           (E) 3,03%

Solução:

As taxas equivalentes são aplicadas no modelo de juros compostos.

(1 + im)3 = (1 + it)

(1 + 0,01)3 -1 = it

it = 0,0303

37) (Caixa Econômica Federal-2012) Um imóvel de 100 mil reais é financiado em 360 prestações mensais, a uma taxa de juros de 1% ao mês, pelo Sistema de Amortização Francês (Tabela Price), gerando uma prestação de R$ 1.028,61. Reduzindo-se o prazo do financiamento para 240 prestações, o valor de cada prestação é, em reais, aproximadamente,

Dado: (1,01)^(−120) = 0,3

(A) 2.127,00    (B) 1.714,00       (C) 1.099,00    (D) 1.428,00     (E) 1.371,00

Solução: 

Precisamos simplesmente calcular o valor da prestação, reduzindo-se o prazo para 240 meses. Assim como nas provas da Cespe, é dado um fator elevado em um expoente negativo. O examinador tenta levar o candidato inexperiente ao erro, contudo, basta sabermos um pouco de exponenciais, que fugimos dessa fria:

Basta transformarmos para:

(1,01)^(−120) = 0,3; então: (1,01)^(120) = 10/3;

sabemos que (1,01)^(240) = (1,01)^(120) . (1,01)^(120) = 10/3 x 10/3 = 100/9 = 11,11

R = P . [(1+i)^n . i] / [(1+i)^n - 1], onde:

P = valor do financiamento de R$ 100.000,00;

R = valor da nova prestação, pedida na questão;

n = prazo de 240 meses

i = taxa efetiva mensal de juros de 1%

R = 100.000 . [(1,01)^240 . 0,01]  /  [(1,01)^240 - 1] =100.000 . [11,11 . 0,01]  /  [11,11 - 1] = 1.099,00; letra C.

38) (Caixa Econômica Federal-2012)  O montante gerado por uma instituição financeira, em uma aplicação no regime de juros compostos, é R$ 5.000,00, em

10 meses, ou R$ 5.202,00, em 1 ano. Se a taxa de juros é constante, o valor aplicado é, em reais, de, aproximadamente,

(A) 4.100
(B) 3.950
(C) 1.950
(D) 3.400
(E) 3.100

Solução: 

Primeiramente, precisamos descobrir a taxa de juros compostos da aplicação. Consideramos, para isso, o capital de 5.000,00 que se torna em 2 meses o valor de 5.202,00. Utilizando a fórmula de juros compostos, e isolando o termo i, chegamos a uma taxa mensal de 2%. Com esta taxa, trazemos a valor presente o montante de 5.000,00, em 10 meses. Bastando, para isso, multiplicar 5.000 pelo fator dado na tabela:

1,02 ^ (-10) = 0,82. Assim, 5.000 x 0,82 = 4.100,00, que é o capital inicialmente aplicado. Letra A.

39)(CESPE/PM-CE)Considere que uma viatura policial adquirida por R$ 80.000,00 se desvalorize à taxa composta de 5% ao ano. Nesse caso, considerando-se 0,6 como valor aproximado para 0,95^10, é correto afirmar que, 10 anos após a compra, a viatura valerá menos de R$ 45.000,00.

( ) Certo

( ) Errado

Solução:

Quando falamos que se desvaloriza 5% ao ano, estamos dizendo que a cada ano ela vale 95% do ano anterior, ou seja, em um ano vale 80000.0,95, no segundo ano 80000.0,95², e assim sucessivamente…

Em 10 anos:

ERRADO.

40) (CESGRANRIO/2015 – Banco do Brasil) A empresa ALFA tomou um empréstimo no valor de 100 mil reais, em janeiro de 2015, a uma taxa de juros de 12% ao ano, no regime de juros compostos, a serem pagos em 3 parcelas anuais, consecutivas e postecipadas.

A primeira parcela, a ser paga em janeiro de 2016, corresponderá a 20% do valor do empréstimo; a segunda parcela, um ano após a primeira, será igual a 30% do valor do empréstimo, e a terceira parcela a ser paga, em janeiro de 2018, liquidará a dívida.

A quantia, em milhares de reais, que mais se aproxima do valor da terceira parcela é igual a:

a) 72,0

b) 90,5

c) 56,0

d) 64,2

e) 81,8

Solução:

Parcela 1:

Após 1 ano, os R$ 100 mil foram acrescidos dos juros de 12%.

R$ 100.000,00 x 1,12 = R$ 112.000,00

O valor amortizado pela empresa foi de 20% do empréstimo.

R$ 100.000,00 x 20% = R$ 20.000,00

Saldo devedor após o pagamento da parcela:

R$ 112.000,00 – R$ 20.000,00 = R$ 92.000,00

Parcela 2:

Após 1 ano, os R$ 92 mil foram acrescidos dos juros de 12%.

R$ 92.000,00 x 1,12 = R$ 103.040,00

O valor amortizado pela empresa foi de 30% do empréstimo.

R$ 100.000,00 x 30% = R$ 30.000,00

Saldo devedor após o pagamento da parcela:

R$ 103.040,00 – R$ 30.000,00 = R$ 73.040,00

Parcela 3:

Após 1 ano, os R$ 73.040,00 foram acrescidos dos juros de 12%.

R$ 73.040,00 x 1,12 = R$ 81.804,00. Alternativa “e”.

41) (CESPE-2015) Se for proposta ao investidor uma taxa de juros nominal semestral de 30%, com capitalização mensal, o valor do juro obtido com a aplicação será superior a R$ 3.300,00.

( ) Errado.

( ) Certo.

Solução:

Duas formas de resolução:

Resolução 1:

i= 30% a.s com capitalização mensal ou seja 30%/6=5%a.m

M=C.(1+I)^n

C=10000 n=1 semestre ou 6 meses i=5% a.m.

M=10000.(1,05)^6 onde 1,05^6=1,34

M=1,34*10000=13400

J=M-C=>13400-10000=>J=3400

Resolução 2:

1º passo é transformar, sempre, uma taxa nominal em efetiva.

30% ao semestre, com capitalização ao mês ( taxa nominal )

30% / 6 = 5% ao mês, com capitalização ao mês ( taxa efetiva mensal )

Agora, basta capitalizar os R$ 10.000 e verificar se o juro obtido é superior a R$ 3.000

1,05^6 = 1,34

M = 10.000 * 1,34 = R$ 13.400

Como é só multiplicar 10.000 * 1,34, nem precisava terminar os cálculos, pois da para notar que o resultado será de 13.400; conclui-se, por conseguinte, que foram R$ 3.400 de juros.

Alternativa “certa”.

42) (CESPE/2014 – Caixa – Técnico Bancário) Em cada um dos itens a seguir, é apresentada uma situação hipotética, seguida de uma assertiva a ser julgada com base nas seguintes informações: determinado banco oferece a aplicação financeira X, que remunera a uma taxa de juros compostos a 1% ao mês e tem liquidez imediata.

No dia 3/12/2013, Alberto iniciou um investimento mediante um depósito de R$ 100,00 na aplicação financeira X. No dia 3/1/2014, ele fez um segundo depósito desse mesmo valor, e , no dia 3/2/2014, fez um terceiro depósito, também no valor de R$ 100,00. Durante todo esse período, nenhum montante foi retirado dessa aplicação. Nessa situação, no dia 3/02/2014, após ter efetuado o terceiro depósito, Alberto possuía mais de R$ 304,00 investidos na aplicação X.  

(     ) Certo

(     ) Errado

Solução:

A fórmula de renda fixa é: Rf = p.(1+i)^t-1/i, onde Rf é renda fixa; p são as prestações ou depósitos. Logo:

Rf = 100.(1+0,01)^3 - 1/0,01

Rf = 100.(1,01)^3 - 1/0,01

Rf = 100.1,0303 - 1/0,01

Rf=100.0,0303/0,01

Rf=3,03/0,01

Rf = R$303,00

Ou seja, daqui a 3 meses, Alberto vai ter R$303,00; Resposta “errado”.

43) (FCC/2014 – SEFAZ-RJ – Auditor Fiscal) Sabe-se que um capital é aplicado, durante 2 meses e 12 dias, à taxa de juros compostos de 2% ao mês. Utilizando a convenção linear, obteve-se que, no final do prazo de aplicação, o valor dos juros simples correspondente ao período de 12 dias foi igual a R$ 104,04. Este mesmo capital, aplicado durante 2 bimestres, a uma taxa de juros compostos de 4% ao bimestre, apresentará no final do período um total de juros igual a

a) R$ 877,20

b) R$ 1.020,00

c) R$ 959,60

d) R$ 938,40

e) R$ 897,60

Resolução 1:

Se os juros simples relativos ao período de 12 dias (ou 12/30 mês) somaram

104,04 reais, então o capital no início deste período foi:

J = C x j x t

104,04 = C x 2% x (12/30)

C = 13005 reais

Esses 13.005 reais na verdade corresponde ao montante final da aplicação do bimestre.

Então 13.005 = C(1,02)²

C=12.500

Então esse mesmo capital aplicado ao final de dois bimestre (taxa de 4% ao bimestre)...

M = 12.500(1,04)²

M=12.500 (1,0816)

M= 13.520

Juros = M - C

Juros = 13.520 - 12.500

Juros = 1.020 reais. Alternativa “b”.

Resolução 2:

A convenção linear é a formação de juros compostos para a parte inteira do prazo e de juros simples para a parte fracionária. Esta convenção é uma mistura de regime composto e linear, adotando fórmulas de juros compostos na parte inteira do período e uma formação de juros simples na parte fracionária.

O juros da parte fracionária é calculado em cima do capital produzido na capitalização da parte inteira [c(1+i)^t]. Como o juros do regime de juros simples é dado pela formula CIT, é só desenvolver a formula trocando o C pelo capital produzido no capitalização na capitalização da parte inteira para achar o capital. Desta maneira: J = [C(1+i)^t](IT). Na nossa questão temos:

104,04 = C(1,02^2)(0,02X12/30)

Eesolvendo:

C = 12500

Agora fica fácil, né?

vamos lá!!! Ele quer saber o juros gerado por esse capital, aplicado durante 2 bimestres, a uma taxa de juros compostos de 4% ao bimestre. Em juros composto temos M = C(1+i)^t = J + C. então J = C(1+i)^t - C. resolvendo:

J = 12500 (1,04)^2 - 12500 = 1020,00. Alternativa “b”.

44) (CESGRANRIO/2014 – Analista de pesquisa energética) Um capital foi aplicado a uma taxa de 5% ao trimestre, no regime de juros compostos. Qual o valor mais próximo do tempo mínimo necessário, em trimestres, para que esse capital cresça de 200%?

a) 23

b) 30

c) 38 

d) 40

e) 48

Solução:

Se aumentarmos em 200% do valor do capital, então teremos um montante de 300%, ou três vezes o valor do capital.

Então, vejamos:

Chamando o capital de C, então teremos que o montante será 3C.

Aplicando a fórmula:

3C = C x (1+0,05)^n -> 3 = (1,05)^n

Colocamos log nos dois lados para não mudar o resultado da equação:

log3 = log(1,05)^n ou log3 = n.log105/100 -> log3 = n.(log105 - log100) = 0,477 = n.(2,021 - 2), logo n é, aproximadamente, 23. Alternativa “a”.

45) (FUNRIO/2013 – INSS – Analista) Um eletrodoméstico é vendido por R$ 1.200,00 (mil e duzentos reais) sem entrada e em 3 parcelas fixas de R$ 400,00. O mesmo eletrodoméstico pode ser vendido à vista por R$ 1.100,00 (mil e cem reais). Antônio comprou o eletrodoméstico à vista com dinheiro que retirou de uma aplicação com juros compostos à taxa de 2% ao mês. A economia de Antônio nessa compra em relação ao valor parcelado foi de aproximadamente

a) R$ 100,00.

b) R$ 86,00.

c) R$ 68,00.

d) R$ 57,00.

e) R$ 41,00.

Solução:

Temos de comparar o valor do dinheiro no tempo, em relação a ambas as propostas de preços. Assim, vamos comparar o montante que seria acumulado, caso fossem aplicados os R$ 1.100,00, pela taxa de 2% a.m., e por 3 meses, da mesma forma como oferecidos os R$ 1.200 (3 * 400). Assim, teríamos:

1.100................P¹.............P²............ ...P³

|----------------|1m|--------|2m|---------|3m|--------| n ( i = 2% a.m.)
0

Seja "P" a parcela a ser calculada:

1.100 = a3¬2% * P

P = 1.100 / 2,89 (consultar fator financeiro da Tabela II)

P = 381 (arrendodado)

Montante = 381 * 3

Montante = 1.143

Economia = 1.200 - 1.143

Economia = 57,00. Alternativa “d”.