conectivos lógicos - exercícios resolvidos

Artigo sobre conceitos básicos de conectivos lógicos e exercícios resolvidos de conectivos lógicos de provas anteriores de concursos.

Chamamos conectivos ou operadores lógicos a qualquer palavra ou símbolo que se usa para formar novas proposições compostas a partir de outras proposições simples.

São conectivos usuais em lógica matemática e, ou, não, se, então, se e somente se.

Operadores lógicos

O operador não é unário e os outros, binários, isto é ligam duas proposições para formar uma proposição composta.

Operações Lógicas sobre proposições

À partir dos conectivos lógicos pode-se definir operações fundamentais entre proposições. Tais operações obedecem às regras do cálculo proposicional.

NEGAÇÃO (símbolo ~):

Quando usamos a negação de uma proposição invertemos a afirmação que está sendo dada.

Veja os exemplos:

Ex1. :

~P (não P): O Pão não é barato. (É a negação lógica de P)

~Q (não Q): O Queijo é bom. (É a negação lógica de Q)

Se uma proposição é verdadeira, quando usamos a negação vira falsa.

Se uma proposição é falsa, quando usamos a negação vira verdadeira.

Regrinha para o conectivo de negação (~):

P	~P
V	F
F	V

CONJUNÇÃO (símbolo Λ)

Este conectivo é utilizado para unir duas proposições formando uma terceira. O resultado dessa união somente será verdadeiro se as duas proposições (P e Q) forem verdadeiras, ou seja, sendo pelo menos uma falsa, o resultado será FALSO.

Ex.2: P Λ Q. (O Pão é barato e o Queijo não é bom.) Λ = “e”

Regrinha para o conectivo de conjunção (Λ):

P	Q	PΛQ
V	V	V
V	F	F
F	V	F
F	F	F

DISJUNÇÃO (símbolo V)

Este conectivo também serve para unir duas proposições. O resultado será verdadeiro se pelo menos uma das proposições for verdadeira.

Ex3.: P V Q. (Ou o Pão é barato ou o Queijo não é bom.) V = “ou”

Regrinha para o conectivo de disjunção (V):

P	Q	PVQ
V	V	V
V	F	V
F	V	V
F	F	F

Disjunção exclusiva

Uma disjunção exclusiva é verdadeira somente quando apenas uma das proposições que a compõem for verdadeira.

Ou seja, a disjunção exclusiva “ou A ou B” é verdadeira somente quando A e B têm valores lógicos contrários (A é verdadeira e B é falsa ou vice-versa).

Se A e B tiverem o mesmo valor lógico (ambas verdadeiras ou ambas falsas), então a disjunção exclusiva será falsa.

Regrinha para o conectivo de disjunção exclusiva (⊻):

P	Q	P⊻Q
V	V	F
V	F	V
F	V	V
F	F	F

Equivalência da Disjunção exclusiva
p⊻ q ⇔ ~ (p ↔ q)

CONDICIONAL (símbolo →)

Este conectivo dá a ideia de condição para que a outra proposição exista. “P” será condição suficiente para “Q” e “Q” é condição necessária para “P”.

Ex4.: P → Q. (Se o Pão é barato então o Queijo não é bom.) → = “se...então”

Regrinha para o conectivo condicional (→):

P	Q	P→Q
V	V	V
V	F	F
F	V	V
F	F	V

Na proposição condicional “Se A, então B” a proposição A, que é anunciada pelo uso da conjunção “se”, é denominada condição ou antecedente enquanto a proposição B, apontada pelo advérbio “então”, é denominada conclusão ou consequente.

As seguintes expressões podem ser empregadas como equivalentes de “Se A, então B”:

Se A, B;

B, se A;

Todo A é B;

A implica B;

A somente se B;

A é suficiente para B;

B é necessário para A.


Equivalências da Condicional
 A → B ⇔ ∼A ∨ B
 A → B ⇔ ∼B → ~A

BICONDICIONAL (símbolo ↔)

O resultado dessas proposições será verdadeiro se e somente se as duas forem iguais (as duas verdadeiras ou as duas falsas). “P” será condição suficiente e necessária para “Q”

Ex5.: P ↔ Q. (O Pão é barato se e somente se o Queijo não é bom.) ↔ = “se e somente se”

Regrinha para o conectivo bicondicional (↔):

P	Q	P↔Q
V	V	V
V	F	F
F	V	F
F	F	V

Podem-se empregar também como equivalentes de “A se e somente se B” as seguintes expressões:

A se e só se B;

Todo A é B e todo B é A;

Todo A é B e reciprocamente;

Se A então B e reciprocamente;

A é necessário e suficiente para B;

A é suficiente para B e B é suficiente para A;

A é necessário para B e B é necessário para A.

Equivalência da Bicondicional
p ↔ q ⇔ ( ~ p V  q) Λ (p V ~q)

Questões resolvidas conectivos lógicos

1) (SERPRO-2001/ESAF) Considere o seguinte argumento: “Se Soninha sorri, Sílvia é miss simpatia. Ora, Soninha não sorri. Logo, Sílvia não é miss simpatia”. Este não é um argumento logicamente válido, uma vez que:

a) a conclusão não é decorrência necessária das premissas.
b) a segunda premissa não é decorrência lógica da primeira.
c) a primeira premissa pode ser falsa, embora a segunda possa ser verdadeira.
d) a segunda premissa pode ser falsa, embora a primeira possa ser verdadeira.
e) o argumento só é válido se Soninha na realidade não sorri.

Solução:
Trata-se de uma questão meramente conceitual, e de resolução, portanto, imediata.

Se o enunciado está afirmando que um argumento qualquer é inválido, isso significa, tãosomente, que a conclusão não é decorrência necessária (obrigatória) das premissas!

É o que diz a opção A a Resposta!

2) Três alunos são suspeitos de não estarem matriculados no Curso de Raciocínio Lógico. O Aparecido entrevistou os três, para cobrar a matrícula, e obteve os seguintes depoimentos:

AURO: “Joaquim não pagou e Cláudia pagou”JOAQUIM: “Se Auro não pagou, Cláudia também não pagou”
CLÁUDIA: “Eu paguei, mas pelo menos um dos outros não pagou”
Pede-se:

1.         Exprimir simbolicamente os depoimentos

2.         Identificar os pagantes e os não pagantes, supondo que todos os depoimentos são verdadeiros

3.         Identificar os mentirosos, supondo que todos pagaram as matrículas.

Resolução:

a. Sejam as proposições

A = “Auro pagou a matrícula”

J = “Joaquim pagou a matrícula”

C = “Cláudia pagou a matrícula”

Depoimentos

a.      Tabela Verdade

b. Verificamos que se todos os depoimentos são verdadeiros estamos na terceira linha, logo VAL (A) = V, VAL (J) = F, VAL (C) = V

Portanto:
Os pagantes são Auro e Cláudia.
O não pagante é o Joaquim

c. Se todos pagaram a matrícula temos que VAL(A) = V, VAL(J) = V e VAL(C) = V, logo estamos na primeira linha, daí os depoimentos mentirosos são do Auro e Cláudia.

3) (ESAF) José quer ir ao cinema assistir ao filme “Fogo Contra Fogo”, mas não tem certeza se o mesmo está sendo exibido. Seus amigos, Maria, Luis e Julio têm opniões discordantes sobre se o filme está ou não em cartaz. Se Maria estiver certa, então Julio está enganado. Se Julio estiver enganado, então Luis está enga­nado. Se Luis estiver enganado, então o filme não está sendo exibido. Ora, ou o filme “Fogo contra Fogo” está sendo exibido, ou José não ira ao cinema. Verifi-cou-se que Maria está certa. Logo,

a. O filme “Fogo contra Fogo” está sendo exibido.

b. Luis e Julio não estão enganados.

c. Julio está enganado, mas Luis não.

d. Luis está enganado, mas Julio não.

e. José não irá ao cinema.

Resolução:

Se Maria está certa, então

Julio está enganado 
Se Julio está enganado, então 

Luis está enganado
Se Luis estiver enganado, então 

O Filme não está sendo exibido.

Ora, ou o filme está sendo exibido ou José não irá ao cinema.

Logo, concluímos que:
José não irá ao cinema.

Resposta “E”

O texto abaixo refere aos exercícios de 4 a 7:

Chapéuzinho Vermelho ao entrar na floresta, perdeu a noção dos dias da semana. A Raposa e o Lobo Mau eram duas estranhas criaturas que freqüentavam a flo­resta. A Raposa mentia às segundas, terças e quartas-feiras, e falava a verdade nos outros dias da semana. O Lobo Mau mentia às quintas, sextas e sábados, mas falava a verdade nos outro dias da semana.
(Adaptado de Linguagem Lógica de Iole de Freitas Druck IME - USP
- publicado na revista do professor de Matemática)

4. Um dia Chapéuzinho Vermelho encontrou o Raposa e o Lobo Mau descansando à sombra de uma árvore. Eles disseram: Raposa: Ontem foi um dos meus dias de mentir. Lobo Mau: Ontem foi um dos meus dias de mentir. A partir dessas afirmações, Chapéuzinho Vermelho descobriu qual era o dia da semana. Qual era?

Pela resposta da Raposa, pode ser 2ª ou 5ª.
Pela resposta do Lobo Mau, pode ser 5ª ou domingo.
Portanto, como os dois se referiam a um mesmo dia da semana, este era quinta-feira.

5. Em outra ocasião Chapéuzinho Vermelho encontrou o Raposa sozinha. Ela fez as seguintes afirmações: Eu menti ontem. Eu mentirei daqui a 3 dias. Qual era o dia da semana?

Por (1), o dia poderia ser 2ª ou 5ª.
Por (2), como a Raposa mentirá 3 dias depois de hoje, hoje pode ser 2ª, 3º, 4ª, 6ª, sábado, domingo.

6. Em qual dia da semana é possível a Raposa fazer as seguintes afirmações? Eu menti ontem. Eu mentirei amanhã.

– A afirmação (1) pode ser feita 2ª ou 5ª.

– A afirmação (2) pode ser feita 4ª e domingo.

7. Em que dias da semana é possível a Raposa fazer cada uma das seguintes afirmações: a) Eu menti ontem e eu mentirei amanhã. b) Eu menti ontem ou eu mentirei amanhã. c) Se menti ontem, então mentirei de novo amanhã. d) Menti ontem se e somente se mentirei amanhã.

a. Esta afirmação (que é uma conjunção) é uma mentira quando alguma das suas com­ponentes for falsa, logo, como mentira, a Raposa pode afirmá-la 2ª ou 4ª. Por outro lado, ela será verdadeira somente quando suas duas componentes o forem, logo a Raposa não poderá afirmá-la em nenhum dia em que fala a verdade.

Resposta: 2ª ou 4ª (compare este exercício com Problema 05 e explique por que eles são diferentes).

b. Esta afirmação (que é uma disjunção) é mentirosa quando as suas duas componen­tes forem falsas, logo a Raposa não poderá afirmá-la nos dias em que mente. Por outro lado, ela será verdadeira quando pelo menos uma das suas componentes o for, assim a Raposa poderá afirmá-la na 5ª ou no domingo.

Resposta: 5ª ou domingo.

c. Esta afirmação (que é uma implicação), composta de duas outras, só é falsa quando, sendo a primeira (premissa) verdadeira, a segunda (conclusão) for falsa. Logo, a Raposa poderá afirmá-la mentirosamente somente na 4ª (na 2ª e na 3ª a afirmação é verdadeira - tabela verdade). Pelo mesmo motivo acima a Raposa não poderá dizê­la na 5ª, dia em que fala a verdade. Nos demais dias de verdade ela poderá afirmá­la (6ª, sábado e domingo), já que, a premissa sendo falsa, a implicação é verdadeira.

Resposta: 4ª, 6ª, sábado ou domingo.

d. Esta afirmação (que é uma equivalência) é verdadeira quando suas duas componen­tes forem verdadeiras ou quando forem as duas falsas. Assim, ela é uma mentira, dentre os dias em que a Raposa mente, somente na 2ª ou na 4ª. Dentre os dias em que ela fala a verdade , ela poderá afirmá-la somente na 6ª ou no sábado.

Resposta: 2ª, 4ª, 6ª ou sábado.

8) José quer ir ao cinema assistir ao filme “Fogo contra Fogo”, mas não tem certeza se o mesmo está sendo exibido. Seus amigos, Maria, Luís e Júlio têm opiniões discordantes sobre se o filme está ou não em cartaz. Se Maria estiver certa, então Júlio está enganado. Se Júlio estiver enganado, então Luís estáenga­nado. Se Luís estiver enganado, então o filme não está sendo exibido; Ora, ou o filme “Fogo Contra Fogo” está sendo exibido, ou José não irá ao cinema. Verifi-cou-se que Maria está certa. Logo:

a. o filme “Fogo contra Fogo” está sendo exibido;

b. Luís e Júlio não estão enganados;

c. Júlio está enganado, mas não Luís;

d. Luís está enganado, mas não Júlio;

e. José não irá ao cinema.

Resolução:

Se Maria está certa, temos:

— Júlio está enganado

— Luís está enganado

— O filme não está sendo exibido.

Como o filme está sendo exibido ou José irá ao cinema, temos que:

José não irá ao cinema

Resposta “E”

9) Se Rodolfo é mais alto que Guilherme, então Heloísa e Flávia têm a mesma altura. Se Heloísa e Flávia têm a mesma altura então Alexandre é mais baixo que Guilherme. Se Alexandre é mais baixo 
que Guilherme, então Rodolfo é mais alto que Heloísa. Ora, Rodolfo não e mais alto que Heloísa. Logo:
(A) Rodolfo não é mais alto que Guilherme, e Heloísa e Flávia não têm a mesma altura.
(B) Rodolfo é mais alto que Guilherme, e Heloísa e Flávia têm a mesma altura.
(C) Rodolfo não é mais alto que Flávia, e Alexandre é mais baixo que Guilherme.
(D) Rodolfo e Alexandre são mais baixos que Guilherme.
(E) Rodolfo é mais alto que Guilherme, e Alexandre é mais baixo que Heloísa.

Resolução:

Processo considerar as premissas sendo verdadeiras.

Se Rodolfo é mais alto que Guilherme, então Heloísa e Flávia têm a mesma altura.(V) 
Se Heloísa e Flávia têm a mesma altura então Alexandre é mais baixo que Guilherme.(V) 
Se Alexandre é mais baixo que Guilherme, então Rodolfo é mais alto que Heloísa. (V) 
Rodolfo não e mais alto que Heloísa.(V)
1ª degrau: Rodolfo não e mais alto que Heloísa.(V)
2ª degrau: Se Alexandre é mais baixo que Guilherme, então Rodolfo é mais alto que Heloísa. (V) 
No segundo degrau , utilizamos a premissa que aparece a proposição “Rodolfo não e mais alto que 
Heloísa”
Se Alexandre é mais baixo que Guilherme, então Rodolfo é mais alto que Heloísa. (V)
                                F                                                                         F
A proposição “Alexandre é mais baixo que Guilherme” é uma proposição falsa, pois na condicional 
(se..então) FF = V e VF=F . 
Nesse caso , como a premissa é verdadeira então a dupla utilizada será a FF= V.
3ª degrau: Se Heloísa e Flávia têm a mesma altura então Alexandre é mais baixo que Guilherme.
Se Heloísa e Flávia têm a mesma altura então Alexandre é mais baixo que Guilherme.
                           F                                                               

A proposição “Heloísa e Flávia têm a mesma altura” é uma proposição falsa, pois na condicional 
(se..então) FF = V e VF=F.
Nesse caso, como a premissa é verdadeira então a dupla utilizada será a FF= V.
4ª degrau: Se Rodolfo é mais alto que Guilherme, então Heloísa e Flávia têm a mesma altura.(V) 
Se Rodolfo é mais alto que Guilherme, então Heloísa e Flávia têm a mesma altura.(V) 
                        F                                                                F
A proposição “Rodolfo é mais alto que Guilherme” é uma proposição falsa, pois na condicional 
(se..então) FF = V e VF=F.
As conclusões:
Rodolfo não e mais alto que Heloísa.(V)
Alexandre não é mais baixo que Guilherme. (V)
Rodolfo não é mais alto que Guilherme. (V)
Heloísa e Flávia não têm a mesma altura. (V)


10) (FT_98) De três irmãos – José, Adriano e Caio –, sabe-se que ou José é o mais velho, ou Adriano é o mais moço. Sabe-se, também, que ou Adriano é o mais velho, ou Caio é o mais velho. Então, o mais velho e o mais moço dos três irmãos são, respectivamente:

a) Caio e José
b) Caio e Adriano
c) Adriano e Caio
d) Adriano e José
e) José e Adriano

Resolução:

Temos as seguintes proposições:
Ou José é o mais velho, ou Adriano é o mais moço. (I)
Ou Adriano é o mais velho, ou Caio é o mais velho. (II)
Considerando a proposição:
Ou Adriano é o mais velho, ou Caio é o mais velho.
Essa proposição será verdadeira se somente uma das
proposições for verdadeira.
Considerando que Caio é o mais velho, então Adriano
não é o mais velho.
Considerando a proposição:
Ou José é o mais velho, ou Adriano é o mais moço.


Essa proposição será verdadeira se pelo menos uma
das proposições for verdadeira.
José é o mais velho é falso pela (II), então Adriano é o
mais moço.
Alternativa: B