segunda-feira, 12 de novembro de 2012

Sistemas de equações lineares (Regra de Cramer, matriz de um sistema linear)

Chama-se equação linear a n incógnitas a toda equação do tipo:
a1 x1 + a2x2 +a3x3 + ... + anxn = b 

onde:

  • a1, a2, a3, ..., an são números reais quaisquer chamados coeficientes;
  • x1, x2, x3, ... xn são as incógnitas;
  • b é o termo independente.
A equação 2x + 5y - 6z = 10 é um exemplo de equação linear, onde:
  • os coeficientes são 2, 5 e -6;
  • as incógnitas são x, y, z;
  • o termo independente é 10.
Vejamos outros exemplos de equações lineares:

a) x + y = 3          b) 3x - 2y = 7         c) x + 2y - z = 2

Resolução de uma equação linear

Considere a equação x + 2y + 3z = 11.
  • Para x = 2, y = 3 e z = 1, teremos 2 + 2 * (3) + 3 * (1) = 11; logo, a terna (2,3,1) é uma solução da equação.
  • Para x = 3, y = 2, e z = 5, teremos: 3 + 2 * (2) + 3 * (5)  11; logo, a terna (3,2,5) não é solução da equação.
Assim, um determinado conjunto será a solução da equação linear se todos os elementos desse conjunto forem iguais às incógnitas da equação e ao substituirmos os elementos desse conjunto nas incógnitas da equação linear a igualdade 
a1 x1 + a2x2 +a3x3 + ... + anxn = b deve ser verdadeira. 

Vejamos alguns exemplos:

Ex1: Dado o conjunto solução (2, 5, 3) e a equação linear 3x + 2y - 5z = 1 verificar se é verdadeira essa solução.

Para resolução da questão deve-se substituir os valores 2, 5 e 3 nas suas respectivas incógnitas.

3 * 2 + 2 * 5 - 5 * 3 = 1
6 + 10 - 15 = 1
1 = 1, como a igualdade é verdadeira, podemos concluir que o conjunto solução (2, 5, 3) é solução da equação 
3x + 2y - 5z = 1.

Sistemas de equações lineares

Chama-se sistema linear a todo sistema formado por equações lineares.

Assim, o sistema S1   x + y = 3  é um sistema linear de duas equações com duas incógnitas.
                                     x – y = 1 


O sistema S2  x – 2y – z + w = 12    é um sistema linear de três equações com quatro incógnitas.
                         5x + 3y + 5z – w = 3
                         6x – 2y – 2z + w = 6



Nota:


1- Se um sistema de equações possuir pelo menos uma solução, dizemos que ele é POSSÍVEL ou COMPATÍVEL.

2 - Se um sistema de equações não possuir solução, dizemos que ele é IMPOSSÍVEL ou INCOMPATÍVEL.


3-  Consideremos os sistemas:

S1  2x + 3y = 8                         e                    S2  2x + 3y = 8
       5x - 2y = 1                                                     3x - 5y = -7           

onde o par (1,2) é a única solução de ambos
S1  2 * 1 + 3 *2 = 8          e               S2  2 * 1 + 3 * 2 = 8
      5 * 1 - 2 * 2 = 1                                3 * 1 - 5 * 2 = - 7
Dizemos então que os sistemas S1 e S2 são equivalentes, pois possuem o mesmo conjunto solução.
Em geral:
Dois sistemas S1 e S2 são equivalentes se toda solução de S1 for também solução de S2 e vice-versa.

4 - Se o sistema de equações é COMPATÍVEL e possui apenas uma solução, dizemos que ele é DETERMINADO.

5 - Se o sistema de equações é COMPATÍVEL e possui mais de uma solução, dizemos que ele é INDETERMINADO.

6 - Se todos os termos independentes de um sistema linear S forem nulos, ou seja, b1 = b2 = b3 = ... = bn = 0, o sistema é chamado homogêneo.

Exemplo: o sistema S1  4x + 2y - z = 0  é um sistema linear homogêneo e a terna (0, 0, 0) é uma solução de 
                                        x - y + 2z = 0
                                        x = y - z = 0 
S1. Se existirem outras soluções, estas serão chamadas soluções não-triviais. A terna (-1, 3, 2) é uma solução não-trivial de S1.

Matrizes de um sistema linear

a) Matriz incompleta: a matriz A formada pelos coeficientes das variáveis.

Em relação ao sistema:
a matriz incompleta é:

b) Matriz completa: matriz B que se obtém adicionando à matriz incompleta uma última coluna formada pelos termos independentes das equações do sistema.
Assim, para o mesmo sistema acima, a matriz completa é:


Regra de Cramer

É uma regra prática que permite a resolução de um sistema de equações lineares de n equações e n incógnitas.
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Imagina-se que o sistema é uma matriz da qual se deve encontrar o determinante.
Deve-se achar o determinante D dado por:


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que é o dos coeficientes das incógnitas.

Para o determinante de x substituem-se seus coeficientes pelos termos independentes, logo:



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E analogamente para y:



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Segundo a regra de Cramer:


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Exemplo resolvido:

Dado o sistema linear , quais os valores de x, y e z.


resolução: 

Devemos encontrar a matriz incompleta desse sistema linear que será chamada de A. 


. Agora calculamos o seu determinante que será representado por D. 



D = 1 + 6 + 2 + 3 – 1 + 4 
D = 15. 

Agora devemos substituir os temos independentes na primeira coluna da matriz A, formando assim uma segunda matriz que será representada por Ax. 



. Agora calcularmos o seu determinante representado por Dx. 



Dx = 8 + 4 + 3 + 2 – 8 + 6 
Dx = 15 

Substituímos os termos independentes na segunda coluna da matriz incompleta formando a matriz Ay. 


. Agora calcularmos o seu determinante Dy. 



Dy = -3 + 24 +4 – 9 – 2 + 16 
Dy = 30 

Substituindo os termos independentes do sistema na terceira coluna da matriz incompleta formaremos a matriz Az. 


. Agora calculamos o seu determinante representado por Dz. 



Depois de substituir todas as colunas da matriz incompleta pelos termos independentes, iremos colocar em prática a regra de Cramer. 

A incógnita x = Dx 15 = 1 
                           D    15 

A incógnita y = Dy = 30 = 2 
                           D    15 

A incógnita z = Dz = 45 = 3 
                          D     15 

Assim, o conjunto solução desse sistema será V = {(1,2,3)}.

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