segunda-feira, 12 de novembro de 2012

Sistemas de equações lineares (Regra de Cramer, matriz de um sistema linear)

Chama-se equação linear a n incógnitas a toda equação do tipo:
a₁ x₁ + a₂x₂ +a₃x₃ + ... + a_nx_n = b

onde:

a1, a2, a3, ..., an são números reais quaisquer chamados coeficientes;
x1, x2, x3, ... xn são as incógnitas;
b é o termo independente.

A equação 2x + 5y - 6z = 10 é um exemplo de equação linear, onde:

os coeficientes são 2, 5 e -6;
as incógnitas são x, y, z;
o termo independente é 10.

Vejamos outros exemplos de equações lineares:

a) x + y = 3 b) 3x - 2y = 7 c) x + 2y - z = 2

Resolução de uma equação linear

Considere a equação x + 2y + 3z = 11.

Para x = 2, y = 3 e z = 1, teremos 2 + 2 * (3) + 3 * (1) = 11; logo, a terna (2,3,1) é uma solução da equação.
Para x = 3, y = 2, e z = 5, teremos: 3 + 2 * (2) + 3 * (5) ≠ 11; logo, a terna (3,2,5) não é solução da equação.

Assim, um determinado conjunto será a solução da equação linear se todos os elementos desse conjunto forem iguais às incógnitas da equação e ao substituirmos os elementos desse conjunto nas incógnitas da equação linear a igualdade
a₁ x₁ + a₂x₂ +a₃x₃ + ... + a_nx_n = b deve ser verdadeira.

Vejamos alguns exemplos:

Ex1: Dado o conjunto solução (2, 5, 3) e a equação linear 3x + 2y - 5z = 1 verificar se é verdadeira essa solução.

Para resolução da questão deve-se substituir os valores 2, 5 e 3 nas suas respectivas incógnitas.

3 * 2 + 2 * 5 - 5 * 3 = 1

6 + 10 - 15 = 1

1 = 1, como a igualdade é verdadeira, podemos concluir que o conjunto solução (2, 5, 3) é solução da equação

3x + 2y - 5z = 1.

Sistemas de equações lineares

Chama-se sistema linear a todo sistema formado por equações lineares.

Assim, o sistema S1 x + y = 3 é um sistema linear de duas equações com duas incógnitas.
x – y = 1

O sistema S2 x – 2y – z + w = 12 é um sistema linear de três equações com quatro incógnitas.

5x + 3y + 5z – w = 3
6x – 2y – 2z + w = 6

Nota:

1- Se um sistema de equações possuir pelo menos uma solução, dizemos que ele é POSSÍVEL ou COMPATÍVEL.

2 - Se um sistema de equações não possuir solução, dizemos que ele é IMPOSSÍVEL ou INCOMPATÍVEL.

3- Consideremos os sistemas:

S1 2x + 3y = 8 e S2 2x + 3y = 8
5x - 2y = 1 3x - 5y = -7

onde o par (1,2) é a única solução de ambos
S1 2 * 1 + 3 *2 = 8 e S2 2 * 1 + 3 * 2 = 8
5 * 1 - 2 * 2 = 1 3 * 1 - 5 * 2 = - 7
Dizemos então que os sistemas S1 e S2 são equivalentes, pois possuem o mesmo conjunto solução.
Em geral:
Dois sistemas S1 e S2 são equivalentes se toda solução de S1 for também solução de S2 e vice-versa.

4 - Se o sistema de equações é COMPATÍVEL e possui apenas uma solução, dizemos que ele é DETERMINADO.

5 - Se o sistema de equações é COMPATÍVEL e possui mais de uma solução, dizemos que ele é INDETERMINADO.

6 - Se todos os termos independentes de um sistema linear S forem nulos, ou seja, b₁ = b₂ = b₃ = ... = b_n = 0, o sistema é chamado homogêneo.

Exemplo: o sistema S1 4x + 2y - z = 0 é um sistema linear homogêneo e a terna (0, 0, 0) é uma solução de

x - y + 2z = 0

x = y - z = 0

S1. Se existirem outras soluções, estas serão chamadas soluções não-triviais. A terna (-1, 3, 2) é uma solução não-trivial de S1.

Matrizes de um sistema linear

a) Matriz incompleta: a matriz A formada pelos coeficientes das variáveis.

Em relação ao sistema:

a matriz incompleta é:

b) Matriz completa: matriz B que se obtém adicionando à matriz incompleta uma última coluna formada pelos termos independentes das equações do sistema.

Assim, para o mesmo sistema acima, a matriz completa é:

Regra de Cramer

É uma regra prática que permite a resolução de um sistema de equações lineares de n equações e n incógnitas.

Imagina-se que o sistema é uma matriz da qual se deve encontrar o determinante.
Deve-se achar o determinante D dado por:

que é o dos coeficientes das incógnitas.

Para o determinante de x substituem-se seus coeficientes pelos termos independentes, logo:

E analogamente para y:

Segundo a regra de Cramer:

Exemplo resolvido:

Dado o sistema linear , quais os valores de x, y e z.

resolução:

Devemos encontrar a matriz incompleta desse sistema linear que será chamada de A.

. Agora calculamos o seu determinante que será representado por D.

D = 1 + 6 + 2 + 3 – 1 + 4
D = 15.

Agora devemos substituir os temos independentes na primeira coluna da matriz A, formando assim uma segunda matriz que será representada por Ax.

. Agora calcularmos o seu determinante representado por Dx.

Dx = 8 + 4 + 3 + 2 – 8 + 6
Dx = 15

Substituímos os termos independentes na segunda coluna da matriz incompleta formando a matriz Ay.

. Agora calcularmos o seu determinante Dy.

Dy = -3 + 24 +4 – 9 – 2 + 16
Dy = 30

Substituindo os termos independentes do sistema na terceira coluna da matriz incompleta formaremos a matriz Az.

. Agora calculamos o seu determinante representado por Dz.

Depois de substituir todas as colunas da matriz incompleta pelos termos independentes, iremos colocar em prática a regra de Cramer.

A incógnita x = Dx = 15 = 1
D 15

A incógnita y = Dy = 30 = 2
D 15

A incógnita z = Dz = 45 = 3
D 15

Assim, o conjunto solução desse sistema será V = {(1,2,3)}.

Veja também:

Determinantes (regra de Saurus, cofator)

Exercícios Determinantes vestibular

Determinantes: propriedades e Teorema de LaPlace

Questões Fuvest matemática de vestibulares anteriores

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