Equações Logarítmicas: aprenda como resolver

São equações que apresentam logaritmos com a incógnita figurando no logaritmo, no logaritmando ou na base.

 Para resolvermos as equações logarítmicas devemos recorrer as propriedades dos logaritmos:

log_bx = log_by, onde x = y 

log_bx = a, onde x = b^a 







Exercícios resolvidos

1) log₂x + log₂ (x – 2) = log₂28

Restrição:

x > 0

x – 2 > 0
x > 2

log₂x + log₂ (x – 2) = log₂28
log₂ x * (x – 2) = log₂28
x * (x – 2) = 8
x² – 2x – 8 = 0

Aplicando o Teorema de Bháskara

∆ = 36

x’ = 4
x’’ = – 2

De acordo com as restrições, devemos considerar somente x = 4, tornando a solução verdadeira. 

2) log₄(x – 3) = log₄(– x + 7) 

restrição:

x - 3 > 0

x = > 3

- x + 7 > 0

- x > - 7 * ( - 1)

x > 7

x – 3 = – x + 7 
x + x = 7 + 3 
2x = 10 
x = 10/2 
x = 5 

3) 

Neste caso temos a seguinte condição de existência:

Voltando à equação temos:

Aplicando a mesma propriedade que aplicamos nos casos anteriores e desenvolvendo os cálculos temos:

Como 25 satisfaz a condição de existência, então S = {25} é o conjunto solução da equação.

Se quisermos recorrer a outras propriedades dos logaritmos também podemos resolver este exercício assim:

Lembre-se que  e que log₅ 625 = 4, pois 5⁴ = 625. 

4) Encontre a solução da equação

Solução: Pela definição de logaritmo temos:

5x + 2 = 3³
5x + 2 = 27
5x = 27 – 2
5x = 25
x = 5

Portanto S = {5}.

5) Resolva a seguinte equação:


Solução:

Novamente um problema que parece ser extraordinário, mas que um pouco de planejamento se torna banal:

O segredo deve estar em "remover" o exponencial em logaritmo na base 3. Pela fórmula (I) talvez alguma coisa possa ser feita. Se o primeiro membro inteiro fosse um logaritmo, o exponencial poderia "sair". Ora deve-se então transformar o primeiro membro em um logaritmo e de preferência na base 3 e para fazer isso o segundo membro deve ser transformado em um log:



Segundo a fórmula de multiplicação:





Como  e e usando-se (I) nos 2 outros elementos:



Veja que já se ilumina o fim do túnel, substituindo por y o :



Cujas soluções são  e  substituindo por :



e

6) Resolver a equação logarítmica log₂x + log₂ (x – 2) = log₂28 

Restrição: 

x > 0 

x – 2 > 0 
x > 2 


log₂x + log₂ (x – 2) = log₂28 
log₂ x * (x – 2) = log₂28 
x * (x – 2) = 8 
x² – 2x – 8 = 0 

Aplicando Bháskara 

∆ = 36 

x’ = 4 
x’’ = – 2 

De acordo com as restrições, devemos considerar somente x = 4, tornando a solução verdadeira. 

7) Resolva a equação logarítmica log _{x + 2} (2x² + x) = 1 

Restrição: 

x + 2 > 0 
x > – 2 

x + 2 ≠ 1 
x ≠ 1 – 2 
x ≠ – 1 

2x² + x > 0 
x*(2x + 1) > 0 
x > 0 
2x + 1 > 0 
2x > – 1 
x > –1/2 

Resolução: 
log _{x + 2} (2x² + x) = 1 
2x² + x = (x + 2)¹ 
2x² + x = x + 2 
2x² + x – x – 2 = 0 
2x² – 2 = 0 
2x² = 2 
x² = 2/2 
x² = 1 
√x² = √1 
x’ = – 1 
x’’ = 1 

De acordo com as restrições entre os resultados x’ = 1 e x’’ = –1, temos que considerar somente x = 1, de forma a tornar o conjunto solução verdadeiro.