sábado, 17 de novembro de 2012

Triângulo de Pascal e suas propriedades

Nesse artigo, estudaremos o triângulo de Pascal e suas propriedades com exercícios resolvidos

O triângulo de Pascal recebeu esse nome devido ao matemático Blaise Pascal (1623-1662). O triângulo é infinito e simétrico, e seus lados esquerdo e direito sempre devem possuir o número . Isto já era de se esperar, pois como vimos no estudo dos coeficientes binomiais e .


Basta efetuar os cálculos para chegar à figura inicial:


Reparando no Triângulo de Pascal acima, notamos que o número 15 pode ser obtido se somarmos o número que está na linha imediatamente acima ( 10 ) com o vizinho da esquerda deste número
 ( 5 ).

Veja que este raciocínio serve para todos os números do triângulo, com exceção do primeiro e do último número de cada linha.

Propriedades do Triângulo de Pascal

O triângulo de pascal possui várias propriedades. Citaremos as seguintes:

Primeira propriedade

Em uma mesma linha dois binomiais equidistantes dos extremos são iguais. Considere, como exemplo, a sétima linha:

1           7                21          35            35           21             7               1

Segunda propriedade

A soma de dois elementos consecutivos de uma mesma linha é igual ao elemento situado abaixo do segundo elemento somado.

Pascal3.png
Vamos verificar as somas apontadas na figura:
 1 + 2 = 3 \!\;
 1 + 7 = 8 \!\;
 5 + 10 = 15 \!\;
 20 + 15 = 35 \!\;
 21 + 7 = 28 \!\;
Observe que esta propriedade é a própria relação de Stifel.
Terceira propriedade
A soma dos elementos da linha de de numerador n é igual a 2n (2 elevado a n).
vejamos:
1                                                                              ►     soma =   2= 1         
1        1                                                    ►     soma =   21 = 2
1        2        1                                          ►     soma =   22 = 4
1        3        3        1                                     soma =   23 = 8
1        4        6        4        1                      ►     soma =   24 = 16
1        5       10      10       5        1                  soma =   25 = 32
1        6       15      20     15        6        1       soma =   26 = 64

Vamos resolver os seguintes exercícios, aplicando as propriedades do triângulo de Pascal.

Exemplo 1:

Sendo 1 a 21 35 b c 7 1 uma linha do triângulo de Pascal, determinar a, b e c:

Solução:

1             a            21            35            b              c             7              1


Pela 1ª propriedade, temos a = 7, b = 35 e c = 21.

Exemplo 2:

Sendo: 

1    7     21     b     35      21       e        1
1    8     a      56     c       d        28       8      1

duas linhas consecutivas do triângulo de Pascal, vamos determinar a, b, c, d, e.
De acordo com a 2ª  propriedade, temos:

a = 7 + 21 = 28
21 + b = 56  ► b = 35
b + 35 = c ► c = 70
d = 35 + 21 = 56
21 + e = 28 ► e = 7

Calcular a soma:


               

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