domingo, 25 de novembro de 2012

Propriedades dos logaritmos com exemplos


É fácil demonstrar as seguintes propriedades dos logaritmos, todas decorrentes da definição:

O logaritmo de um número b em uma base a é o expoente x que se deve aplicar à base a para se ter o número b. Dessa forma: 


logab = x ↔ ax = b 

Exemplos: 
log39 ↔ 32 = 9 
log10100 ↔ 102 = 100 

O logaritmo do número 1 em qualquer base sempre será igual a 0. 

loga1 = 0, pois a0 = 1 

O logaritmo de qualquer número a na própria base a será igual a 1. 

logaa = 1, pois a1 = a 

O logaritmo de uma potência da base é o expoente, em qualquer base. 

logaam = m, pois m * logaa = m * 1 = m 

A potência de base a e expoente logab é igual a b. 

alogab = b, pois logab = x → ax = b 

Dois logaritmos são iguais, quando seus logaritmandos forem iguais. 

logab = logac ↔ b = c 



Esta propriedade é muito utilizada na solução de exercícios envolvendo equações onde aparecem logaritmos (equações logarítmicas).
O logaritmo de um produto é igual a soma dos logaritmos dos fatores
loga(b.c) = log a b + log a b
Observe que
log2 (8.4) = log2 (32) = 5
O logaritmo de um quociente é igual a subtração dos logaritmos do numerador e do denominador.
loga(b/c) = log a b - log a b
Observe que
log2 (8/4) = log2 (2) = 1
O logaritmo de uma potência é igual a multiplicação do expoente pelo logaritmo da base.
loga(bc) = c. log a b
Observe que
log2 (25) = log2 (32) = 5
Propriedade da mudança de base.
Essa propriedade é utilizada quando o logaritmo a ser calculado apresenta uma base que torna os cálculos mais complexos, e ela nos permite escolher a base que seja mais conveniente, tornando os cálculos mais simples. A propriedade da mudança de base também é fundamental para a simplificação de expressões que envolvem logaritmos com bases diferentes.

Exemplo: Se desejarmos calcular o valor do seguinte logaritmo log5  11, nem com uso de uma calculadora científica seria possível, pois ela trabalha com logaritmos na base 10 ou na base e. Nesse caso, seria necessário fazer a mudança para uma dessas bases. Assim, teremos:

Os cálculos dos logaritmos, após a mudança de base, foram feitos com o auxílio de uma calculadora científica.
Exemplos:
a)logx8 = 2 → x2 = 8 → √x = √8 → x = 2√2 

b)log4(2x – 1) = 1/2 → 2x – 1 = 41/2 → 2x – 1 = √4 → 2x – 1 = 2 → 2x = 3 → x = 3/2 
c) log81x = 3/4 → x = 813/4 → x = (34)3/4 → x = 312/4 → x = 33 → x = 27 
d) 16log25 = (24)log25 = (2log25)4 = 54 = 625 

e) log0,01 = x → 10x = 0,01 → 10x = 1/100 → 10x = 10–2 → x = –2 
f) log(1/100)=Log(10-2)=-2


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