Progressão aritmética(P.A)

Nesse  artigo será abordado Progressão aritmética com vários exemplos para um melhor aprendizado.

1 - Conceito de Progressão Aritmética - PA

Chama-se Progressão Aritmética – P.A – à toda sequência numérica cujos termos a partir do segundo, são iguais ao anterior somado com um valor constante denominado razão (r).

r = a2 - a1 = a3 - a2 = a4 - a3 = a5 - a4  

Exemplos:

A = ( 1, 5, 9, 13, 17, 21, ... ) razão = 4 (PA crescente)
B = ( 3, 12, 21, 30, 39, 48, ... ) razão = 9 (PA crescente)
C = ( 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, ... ) razão = 0 (PA constante)
D = ( 100, 90, 80, 70, 60, 50, ... ) razão = -10 ( PA decrescente)

2- Progressão aritmética constante

Uma progressão aritmética é constante quando a sua razão é igual a zero. Neste caso todos os termos da P.A. têm o mesmo valor.

Exemplos: 

P.A (8, 8, 8, 8...)

P.A (6, 6, 6)

P.A (1, 1..., 1)

Note que toda P.A constante a razão é zero.

3 - Progressão aritmética crescente

Uma progressão aritmética é crescente quando a sua razão é maior que zero, ou seja, quando o consequente de um termo qualquer é maior que este termo.

Exemplos:

P.A (2, 4, 6)

P.A (-16, -12, -8, -4)

4 - Progressão aritmética decrescente

Uma progressão aritmética é decrescente quando a sua razão é menor que zero, ou em outras palavras, quando o consequente de um termo qualquer é menor que este termo.

Exemplos:

P.A (10, 8, 6, 4)

P.A ( 7, 0, -7)

5 - Termo Geral de uma PA

a_n = a₁ + (n – 1) . r 

Apartir da definição, podemos escrever os elementos da PA(a1, a2, a3, …, an ) da seguinte forma:

a1 = a1
a2 = a1 + r
a3 = a2 + r = a1 + 2r

a4 = a3 + r = a2 + 2r = a1 + 3r

Exemplos:

Qual o milésimo número ímpar positivo?
Temos a PA: ( 1, 3, 5, 7, 9, ... ) onde o primeiro termo a₁= 1, a razão r = 2 e queremos calcular o milésimo termo a₁₀₀₀. Nestas condições, n = 1000 e poderemos escrever:
a₁₀₀₀ = a₁ + (1000 - 1).2 = 1 + 999.2 = 1 + 1998 = 1999.
Portanto, 1999 é o milésimo número ímpar.

Qual o número de termos da PA: ( 100, 98, 96, ... , 22) ?
Temos a₁ = 100, r = 98 -100 = - 2 e a_n = 22 e desejamos calcular n.
Substituindo na fórmula do termo geral, fica: 22 = 100 + (n - 1). (- 2) ;
logo, 22 - 100 = - 2n + 2 e, 22 - 100 - 2 = - 2n de onde conclui-se que - 80 = - 2n ,
de onde vem n = 40.
Portanto, a PA possui 40 termos.

6 - Propriedades das Progressões Aritméticas

a) Numa PA, cada termo (a partir do segundo) é a média aritmética dos termos vizinhos deste.

PA : ( m, n, r ) ; portanto, n = (m + r) / 2

Exemplo:

Na P.A (1,4,7,10,13,16,19) há 7 termos e o termo central é 10, logo:

4 = 1 + 7/ 2     7 = 4 + 10/ 2       10 = 7 + 13/ 2      13 = 10 + 16/ 2     16 = 13 + 19/ 2

Assim, se lhe apresentarem um problema de PA do tipo:
Três números estão em PA, ... , a forma mais inteligente de resolver o problema é considerar que a PA é do tipo:
(x - r, x, x + r), onde r é a razão da PA.

b) Numa PA, a soma dos termos equidistantes dos extremos é constante.

PA : ( m, n, r, s, t); portanto, m + t = n + s = r + r = 2r

Exemplo:

Na PA (1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23), temos:

3+21 = 1+23 = 24
5+19 = 1+23 = 24
7+17 = 1+23 = 24
9+15 = 1+23 = 24
11+13 = 1+23 = 24

Estas propriedades facilitam sobremaneira a solução de problemas.

7 - Soma dos n primeiros termos de uma PA

É dado pela fórmula:   

    onde a1 = 1º termo, an = último termo e n = número de termos da P.A

Exemplo:

Calcule a soma dos 200 primeiros números ímpares positivos.

Temos a PA: ( 1, 3, 5, 7, 9, ... )
Precisamos conhecer o valor de a₂₀₀ .
Mas, a₂₀₀ = a₁ + (200 - 1).r = 1 + 199.2 = 399
Logo, S_n = [(1 + 399). 200] / 2 = 40.000
Portanto, a soma dos duzentos primeiros números ímpares positivos é igual a 40000.