Negação das proposições compostas

Nesse artigo será abordado o tema negação das proposições compostas na lógica das proposições.

Um problema de grande importância para a lógica é o da identificação de proposições
equivalentes à negação de uma proposição dada. Negar uma proposição simples é uma tarefa que não oferece grandes obstáculos. Entretanto, podem surgir algumas dificuldades quando procuramos
identificar a negação de uma proposição composta.

Como vimos anteriormente, a negação de uma proposição deve ter sempre valor lógico oposto
ao da proposição dada. Deste modo, sempre que uma proposição A for verdadeira, a sua negação
não A deve ser falsa e sempre que A for falsa, não A deve ser verdadeira. Em outras palavras, a negação de uma proposição deve ser contraditória com a proposição dada.

A tabela abaixo mostra as equivalências mais comuns para as negações de algumas
proposições compostas:

Proposição Negação direta Equivalente da Negação

Proposição             Negação direta            Equivalente da negação

A e B                     Não (A e B)                   Não A ou não B

A ou B                   Não (A ou B)                 Não A e não B

Se A então B          Não (se A então B)         A e não B

A se e                    Não (A se e                    [(A e não B) ou
somente se B          somente se B)                 (B e não A)]

Todo A é B            Não (todo A é B)            Algum A não é B

Algum A é B          Não (algum A é B)          Nenhum A é B

Negação da operação da Conjunção. “p e q”

¬(P ^ Q )  <=> ¬P v ¬Q    (Lei de Morgan)

Para negarmos uma proposição composta ligada pelo conectivo operacional “E” , basta negarmos ambas as proposições individuais(simples) e trocarmos o conectivo  “e” pelo conectivo”ou”. Ou seja, transformaremos uma conjunção em uma disjunção. Vejamos;

Ex:“Pedro é Mineiro e João é Capixaba”.

• P= Maria é Paulista
• Q= João é Cearense

Negando-a ,temos;

Maria não é paulista ou João não é cearense.

Pela tabela verdade podemos” confirmar” a negação da proposição.

P	Q	P ^ Q	¬(P ^ Q)	¬P	¬Q	¬P v ¬Q
V	V	V	F	F	F	F
V	F	F	V	F	V	V
F	V	F	V	V	F	V
F	F	F	V	V	V	V

Negação da operação da Disjunção Inclusiva. “p ou q”

P v Q  <=>  ¬P ^ ¬Q  Lei de Morgan

Para negarmos uma proposição composta ligada pelo conectivo operacional “OU” , basta negarmos ambas as proposições individuais(simples) e trocarmos o conectivo  “ou” pelo conectivo”e”. Ou seja, “transformaremos” uma disjunção inclusiva em uma conjunção. Vejamos;

“Paulo é estudioso ou Marina é Bonita”.

• P= Paulo é estudioso
• Q= Marina é bonita

Negando-a, temos;

“Paulo não é estudioso e Marina não é bonita”  .

Pela tabela verdade podemos” confirmar” a negação da proposição.

P	Q	P v Q	¬(P v Q)	¬P	¬Q	¬P ^ ¬Q
V	V	V	F	F	F	F
V	F	V	F	F	V	F
F	V	V	F	V	F	F
F	F	F	V	V	V	V

Negação da operação da Disjunção Exclusiva. “ou p ou q”

¬(P v Q) <=> P ↔ Q

Para negarmos uma proposição com a estrutura de uma disjunção exclusiva , transformá-la-emos  em uma estrutura bicondicional. Vejamos:

“Ou Paulo é feio ou Márcio é físico”.

• P= Paulo é feio
• Q= Márcio é físico

Negando-a temos;

“Paulo é feio se e somente se Márcio é físico.”

Pela tabela verdade podemos” confirmar” a negação da proposição

P	Q	P v Q	¬(P v Q)	P ↔ Q
V	V	F	V	V
V	F	V	F	F
F	V	V	F	F
F	F	F	V	V

Obviamente podemos perceber que a negação de uma estrutura bicondicional é também a disjunção exclusiva.

Negação da operação da condicional.

¬ (p → q) <=> p^ ¬q

Para negarmos uma proposição condicional, repete-se a primeira parte troca-se o conectivo por “e” e nega-se a segunda parte.Vejamos

Ex: Se sou inteligente então passarei de ano.

• P= Sou inteligente
• Q= Passarei de ano

Negando-a, temos;

“Sou inteligente e não passarei de ano”

Pela tabela verdade podemos” confirmar” a negação da proposição.

P	Q	P → Q	¬(P → Q)	¬Q	P ^ ¬Q
V	V	V	F	F	F
V	F	F	V	V	V
F	V	V	F	F	F
F	F	V	F	V	F

 Negação da operação da bicondicional

Da equivalência p « q Û (~p Ú q) Ù  (~q Ú p), tira-se ~(p « q) Û ~[(~p Ú q) Ù  (~q Ú p)]. Usando a negação da conjunção: ~(p « q) Û ~[(~p Ú q) Ù  (~q Ú p)] Û ~(~p Ú q) Ú  ~(~q Ú p). Aplicando a negação da disjunção nos dois termos, resulta: ~(p « q) Û (p Ù ~q) Ú  (q Ù ~p). Usando a distributividade da disjunção em relação à conjunção:

~(p « q) Û [(p Ù ~q) Ú q] Ù [(p Ù ~q) Ú (~p)] Reaplicando a distributividade da disjunção em relação à conjunção: ~(p « q) Û [(p Ú q) Ù (~q Ú q)] Ù [(p Ú ~p) Ù (~q Ú ~p) ].   Ora, (~q Ú q)  e (p Ú ~p) são verdades absolutas. O julgamento de uma proposição qualquer ligada a uma verdade absoluta pelo conectivo "e", depende apenas da veracidade ou não de tal proposição. Deste modo, conclui-se que:

~(p « q) Û (p Ú q) Ù (~q Ú ~p).