terça-feira, 27 de novembro de 2012

Negação das proposições compostas

Nesse artigo será abordado o tema negação das proposições compostas na lógica das proposições.

Um problema de grande importância para a lógica é o da identificação de proposições
equivalentes à negação de uma proposição dada. Negar uma proposição simples é uma tarefa que não oferece grandes obstáculos. Entretanto, podem surgir algumas dificuldades quando procuramos
identificar a negação de uma proposição composta.

Como vimos anteriormente, a negação de uma proposição deve ter sempre valor lógico oposto
ao da proposição dada. Deste modo, sempre que uma proposição A for verdadeira, a sua negação
não A deve ser falsa e sempre que A for falsa, não A deve ser verdadeira. Em outras palavras, a negação de uma proposição deve ser contraditória com a proposição dada.

A tabela abaixo mostra as equivalências mais comuns para as negações de algumas
proposições compostas:

Proposição Negação direta Equivalente da Negação

Proposição             Negação direta            Equivalente da negação

A e B                     Não (A e B)                   Não A ou não B

A ou B                   Não (A ou B)                 Não A e não B

Se A então B          Não (se A então B)         A e não B

A se e                    Não (A se e                    [(A e não B) ou
somente se B          somente se B)                 (B e não A)]

Todo A é B            Não (todo A é B)            Algum A não é B

Algum A é B          Não (algum A é B)          Nenhum A é B



Negação da operação da Conjunção. “p e q”

¬(P ^ Q )  <=> ¬P v ¬Q    (Lei de Morgan)
Para negarmos uma proposição composta ligada pelo conectivo operacional “E” , basta negarmos ambas as proposições individuais(simples) e trocarmos o conectivo  “e” pelo conectivo”ou”. Ou seja, transformaremos uma conjunção em uma disjunção. Vejamos;
Ex:“Pedro é Mineiro e João é Capixaba”.
  • P= Maria é Paulista
  • Q= João é Cearense
Negando-a ,temos;
Maria não é paulista ou João não é cearense.
Pela tabela verdade podemos” confirmar” a negação da proposição.


P
Q
P ^ Q
¬(P ^ Q)
¬P
¬Q
¬P v ¬Q
V
V
V
F
F
F
F
V
F
F
V
F
V
V
F
V
F
V
V
F
V
F
F
F
V
V
V
V





Negação da operação da Disjunção Inclusiva. “p ou q”

P v Q  <=>  ¬P ^ ¬Q  Lei de Morgan
Para negarmos uma proposição composta ligada pelo conectivo operacional “OU” , basta negarmos ambas as proposições individuais(simples) e trocarmos o conectivo  “ou” pelo conectivo”e”. Ou seja, “transformaremos” uma disjunção inclusiva em uma conjunção. Vejamos;
“Paulo é estudioso ou Marina é Bonita”.
  • P= Paulo é estudioso
  • Q= Marina é bonita
Negando-a, temos;
“Paulo não é estudioso Marina não é bonita”  .
Pela tabela verdade podemos” confirmar” a negação da proposição.


P
Q
P v Q
¬(P v Q)
¬P
¬Q
¬P ^ ¬Q
V
V
V
F
F
F
F
V
F
V
F
F
V
F
F
V
V
F
V
F
F
F
F
F
V
V
V
V





Negação da operação da Disjunção Exclusiva. “ou p ou q”

¬(P v Q) <=> P ↔ Q
Para negarmos uma proposição com a estrutura de uma disjunção exclusiva , transformá-la-emos  em uma estrutura bicondicional. Vejamos:
“Ou Paulo é feio ou Márcio é físico”.
  • P= Paulo é feio
  • Q= Márcio é físico
Negando-a temos;
“Paulo é feio se e somente se Márcio é físico.”

Pela tabela verdade podemos” confirmar” a negação da proposição


P
Q
P v Q
¬(P v Q)
P ↔ Q
V
V
F
V
V
V
F
V
F
F
F
V
V
F
F
F
F
F
V
V



Obviamente podemos perceber que a negação de uma estrutura bicondicional é também a disjunção exclusiva.

Negação da operação da condicional.

¬ (p → q) <=> p^ ¬q
Para negarmos uma proposição condicional, repete-se a primeira parte troca-se o conectivo por “e” e nega-se a segunda parte.Vejamos
Ex: Se sou inteligente então passarei de ano.
  • P= Sou inteligente
  • Q= Passarei de ano
Negando-a, temos;
“Sou inteligente e não passarei de ano”
Pela tabela verdade podemos” confirmar” a negação da proposição.


P
Q
→ Q
¬(P → Q)
¬Q
P ^ ¬Q
V
V
V
F
F
F
V
F
F
V
V
V
F
V
V
F
F
F
F
F
V
F
V
F



 Negação da operação da bicondicional

Da equivalência p 
« q Û (~p Ú q) Ù  (~q Ú p), tira-se ~(p « q) Û ~[(~p Ú q) Ù  (~q Ú p)].

Usando a negação da conjunção:
~(p 
« q) Û ~[(~p Ú q) Ù  (~q Ú p)] Û ~(~p Ú q) Ú  ~(~q Ú p).

Aplicando a negação da disjunção nos dois termos, resulta:
~(p 
« q) Û (p Ù ~q) Ú  (q Ù ~p).

Usando a distributividade da disjunção em relação à conjunção:

~(p « q) Û [(p Ù ~q) Ú q] Ù [(p Ù ~q) Ú (~p)]

Reaplicando a distributividade da disjunção em relação à conjunção:
~(p 
« q) Û [(Ú q) Ù (~q Ú q)] Ù [(Ú ~p) Ù (~q Ú ~p) ]. 
 Ora, 
(~q Ú q)  e (p Ú ~p) são verdades absolutas. O julgamento de uma proposição qualquer ligada a uma verdade absoluta pelo conectivo "e", depende apenas da veracidade ou não de tal proposição.
Deste modo, conclui-se que:

~(p « q) Û (Ú q) Ù (~q Ú ~p).

4 comentários:

  1. Mto bom, objetivo e claro!!!

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  2. muito obrigado...tirou minhas duvidas,parabens pelo o blog !!!

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  3. Negar uma proposição composta é o mesmo que negar todas as proposições individualmente?

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    1. não. um exemplo de que isso não acontece é na condicional p--->q, pois a sua negação ficaria assim: (p^~q). leia a matéria com mais calma.

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