quarta-feira, 14 de novembro de 2012

Análise Combinatória Arranjo Simples


O objetivo principal da Análise combinatória é a determinação do número de possibilidades de um dado evento ocorrer. O problema pode ser resolvido descrevendo todas as possibilidades e a seguir contando o número delas.

Principio fundamental da contagem 

É um princípio combinatório que indica quantas vezes e as diferentes formas que um acontecimento pode ocorrer. 
O acontecimento é formado por dois estágios caracterizados como sucessivos e independentes: 


• O primeiro estágio pode ocorrer de m modos distintos.

• O segundo estágio pode ocorrer de n modos distintos. 
Desse modo, podemos dizer que o número de formas diferente que pode ocorrer em um acontecimento é igual ao produto m . n. 
Exemplos:

1.Quantos são os números naturais de dois algarismos que são múltiplos de 5?

Como o zero à esquerda de um número não é significativo, para que tenhamos um número natural com dois algarismos ele deve começar com um dígito de 1 a 9, temos portanto 9 possibilidades.

Para que o número seja um múltiplo de 5, o mesmo deve terminar em 0 ou 5, portanto temos apenas 2 possibilidades.

A multiplicação de 9 por 2 nos dará o resultado desejado.

Logo:

São 18 os números naturais de dois algarismos que são múltiplos de 5.

2. São quantos os números ímpares com três algarismos, que não possuem dígitos repetidos e que de trás para frente também são ímpares?
Os números devem ser ímpares, temos então 5 possibilidades para o último algarismo.
A história do "de trás para frente", em outras palavras quer dizer que o primeiro algarismo também é ímpar. Como um dígito ímpar já foi utilizado na última posição, temos então apenas 4 disponíveis para a primeira posição.
Para o dígito central temos apenas 8 possibilidades, pois dois dígitos ímpares já foram utilizados.
Multiplicando 4 por 8 e por 5 obtemos 160.
Assim sendo:
São 160 os números ímpares que satisfazem a todas estas condições.
3. Quantos são os anagramas da palavra MARTE?
Obs: anagramas são palavras obtidas a partir de uma outra, quando se trocam as posições de suas letras, não importando se essas palavras tenham sentido ou não. Assim, RETAM, TREMA, TMRAE,, são exemplos de anagramas da  palavra MARTE.
Solução: Escrever os anagramas da palavra Marte é uma opção composta de 5 etapas:

1ª etapa: escolha da 1ª letra ► 5 possibilidades       2ª etapa: escolha da 2ª letra ► 4 possibilidades                  

3ª etapa: escolha da 3ª letra ► 3 possibilidades      4ª etapa: escolha da 4ª letra ► 2 possibilidades
5ª etapa: escolha da 5ª letra ► 1 possibilidade
MARTE  ►  5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120 anagramas
Arranjos simples
Com os elementos m,n e p, vamos escrever todos os agrupamentos com 2 elementos distintos: (m,n), (m,p) (n,p), (n,m), (p,m), (p,n). A cada um desses agrupamentos  chama-se arranjos simples de 3 elementos, tomados 2 a 2. Observe que dois arranjos são diferentes quando possuem elementos diferentes (diferença de natureza) ou quando possuem os mesmos elementos em ordem diferente (diferença de ordem).
Número de arranjos simples
Indica-se o número de arranjos simples de n elementos, tomados p a p, por An,p.
Ex: Formar arranjos simples dos algarismos 1, 2, 3, 4 tomados 3 a 3.
vamos ter A4,3 = 4 x 3 x 2 = 120. Ou podemos aplicar o principio fundamental da contagem para resolução desse problema veja:
1ª etapa: escolhemos um dos 4 algarismos

2ª etapa: escolhemos um dos 3 algarismos restantes         

3ª etapa:escolhemos um dos 2 algarismos restantes.          p = 4 x 3 x 2 = 24.
Logo, A4,3 = 24.





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