quinta-feira, 22 de novembro de 2012

Progressão Geométrica

Nesse artigo será abordado a teoria completa de Progressão Geométrica com exemplos para um melhor aprendizado da teoria.

Progressão Geométrica

Chamamos Progressão Geométrica (P.G.) a uma seqüência de números reais, formada por termos, que a partir do 2º, é igual ao produto do anterior por uma constante q dada, chamada de razão da P.G.

Dada uma seqüência (a₁, a₂, a₃, a₄, ..., a_n,...), então se ela for uma P.G. a_n = a_n-1 . q , com n2 e nIN, onde:

a₁ – 1º termo

a₂ = a₁. q

a₃ = a₂. q²

a₄ = a₃. q³ .

a_n = a_n-1. q

CLASSIFICAÇÃO DAS PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS P.G.s

1. Crescente:

2. Decrescente:

3. Alternante ou Oscilante: quando q < 0.

4. Constante: quando q = 1

5. Estacionária ou Singular: quando q = 0

FÓRMULA DO TERMO GERAL DE UMA PROGRESSÃO GEOMÉTRICA

Vamos considerar uma P.G. (a₁, a₂, a₃, a₄,..., a_n,...). Pela definição temos:

a₁ = a₁

a₂ = a₁. q

a₃ = a₂. q²

a₄ = a₃. q³ .

a_n = a_n-1. q

Depois de multiplicarmos os dois membros das igualdades e simplificarmos, vem:

a_n = a₁.q.q.q....q.q
(n-1 fatores)

Exemplo 1:

Dada a PG (2,4,8,... ), pede-se calcular o décimo termo.
Temos: a₁ = 2, q = 4/2 = 8/4 = ... = 2. Para calcular o décimo termo ou seja a₁₀, vem pela fórmula:
a₁₀ = a₁ . q⁹ = 2 . 2⁹ = 2. 512 = 1024

Exemplo 2:

Sabe-se que o quarto termo de uma PG crescente é igual a 20 e o oitavo termo é igual a 320. Qual a razão desta PG?

Solução:Temos a₄ = 20 e a₈ = 320. Logo, podemos escrever: a₈ = a₄ . q^8-4 . Daí, vem: 320 = 20.q⁴
Então q⁴=16 e portanto q = 2.

Nota: Uma PG genérica de 3 termos, pode ser expressa como:
(x/q, x, xq), onde q é a razão da PG.

INTERPOLAÇÃO GEOMÉTRICA

Interpolar, Inserir ou Intercalar m meios geométricos entre dois números reais a e b significa obter uma P.G. de extremos a e b, com m+2 elementos. Podemos resumir que problemas envolvendo interpolação se reduzem em calcularmos a razão da P.G.

Exemplo 1:

Uma PG é formada por 6 termos, onde a₁ = 4 e a₆ = 972. Determine os meios geométricos existentes entre a₁ e a₆.

Solução:

Para interpolar os meios geométricos entre 4 e 972 precisamos determinar o valor da razão da PG. Para isso, vamos utilizar a fórmula do termo geral.

Sabemos que a razão da PG é 3 e que cada termo, a partir do segundo, é obtido fazendo o produto entre o termo anterior e a razão. Assim, teremos:

Exemplo 2:

Uma indústria produziu 100 unidades de um produto no mês de janeiro. Em julho do mesmo ano, ela produziu 6400 unidades desse produto. Determine quantas unidades foram produzidas nos meses de fevereiro a junho, sabendo que as quantidades produzidas de janeiro a julho determinam uma PG.

Solução:

De acordo com o enunciado do problema, a sequência (100, _, _, _, _, _, 6400) é uma P.G. Para resolver o problema precisamos determinar os termos que faltam nessa P.G ou interpolar meios geométricos entre 100 e 6400. Assim, precisamos determinar a razão dessa P.G, onde a₁ = 100 e a₇ = 6400.

Conhecido o valor da razão, temos que:

Portanto, a produção no mês de fevereiro foi de 200 unidades; março foi de 400 unidades; abril foi de 800 unidades; maio foi de 1600 unidades; e junho foi de 3200 unidades.

SOMA DOS TERMOS DE UMA P.G. FINITA

Dada a P.G. (a₁, a₂, a₃, a₄, ..., a_n-1, a_n...), de razão e a soma S_n de seus n termos pode ser expressa por:

S_n= a₁+a₂+a₃+a_4... +a_n(Eq.1) Multiplicando ambos os membros por q, vem:

q.S_n= (a₁+a₂+a₃+a_4... +a_n).q

q.S_n= a₁.q+a₂.q+a₃+_.. +a_n.q (Eq.2) . Encontrando a diferença entre a (Eq.2) e a (Eq.1),

temos:

q.S_n - S_n = a_n . q - a₁

S_n(q - 1) = a_n . q - a₁ ou

, com

Obs.: Se a P.G. for constante, isto é, q = 1 a soma Sn será:

Exemplo:

Dê a soma dos termos da seguinte PG (7,14,28, ... , 3584).

Para utilizarmos a fórmula da soma é preciso saber quem é o 1º termo, a razão e a quantidade de elementos que essa PG possui.

a1 = 7
q = 2
n = ?
Sn = ?

Portanto, é preciso que encontremos a quantidade de elementos que possui essa PG, utilizando a fórmula do termo geral.

an = a1 . q^{n – 1}

3584 = 7 . 2^{n – 1}

3584 : 7 = 2^{n – 1}

512 = 2^{n – 1}

2⁹ = 2^{n – 1}

n – 1 = 9
n = 10

Sn = a1 (qⁿ – 1)
                q - 1

S10 = 7 (2¹⁰ – 1)
                   2 – 1

S10 = 7 (1024 – 1)
                     2 – 1

S10 = 7 . 1023

S10 = 7161

SOMA DOS TERMOS DE UMA P.G. INFINITA

Dada a P.G. infinita: (a₁, a₂, a₃, a₄, ...), de razão q e S sua soma, devemos analisar 3 casos para calcularmos a soma S.

a_n = a₁.

1. Se a₁= 0 S = 0, pois

2. Se q <–1 ou q > 1, isto é e a₁0, S tende a ou . Neste caso é impossível calcular a soma S dos termos da P.G.

3. Se –1< q < 1, isto é, e a₁0, S converge para um valor finito. Assim a partir da Fórmula da soma dos n termos de uma P.G. , vem:

Quando n tende a , qⁿ tende a zero, logo:

que é a fórmula da soma dos termos de uma P.G. Infinita.

Obs.: S nada mais é do que o limite da Soma dos termos da P.G., quando n tende para É representada desta forma:

Exemplo:

Determine a soma dos elementos da progressão geométrica dada por (0,3; 0,03; 0,003; 0,0003; ...).

PRODUTO DOS TERMOS DE UMA P.G. FINITA

Dada a P.G. finita: (a₁, a₂, a₃, ...a_n-1, a_n), de razão q e P seu produto, que é dado por:

Multiplicando membro a membro, vem:

Esta é a fórmula do produto dos termos de uma P.G. finita.

Podemos também escrever esta fórmula de outra forma, pois:

Logo:

Exemplo:

Obtenha o produto dos seis primeiros termos da PG (4,8,16,......)

a6= a1.q⁵ => a6 = 4.2⁵ => a6 = 128

P6 =(a1.a6)^6/2 P6 =(4.128)³ => P6 = 512³

^Fontes:http://www.algosobre.com.br

http://www.brasilescola.com

^{Questões resolvidas e propostas}

1) (FUVEST/01) Uma progressão aritmética e uma progressão geométrica têm, ambas, o primeiro termo igual a 4, sendo que os seus terceiros termos são estritamente positivos e coincidem. Sabe-se ainda que o segundo termo da progressão aritmética excede o segundo termo da progressão geométrica em 2. Então, o terceiro termo das progressões é:

a) 10

b) 12

c) 14

d) 16

e) 18

Solução:

Sejam (a1, a2, a3, …) a PA de razão r e (g1, g2, g3, …) a PG de razão q. Temos como condições iniciais:

(1) a1 = g1 = 4

(2) a3 > 0, g3 > 0 e a3 = g3

(3) a2 = g2 + 2

Reescrevendo (2) e (3) utilizando as fórmulas gerais dos termos de uma PA e de uma PG e (1) obtemos o seguinte sistema de equações:

4) a3 = a1 + 2r e g3 = g1.q2 => 4 + 2r = 4q2

(5) a2 = a1 + r e g2 = g1.q => 4 + r = 4q + 2

Expressando, a partir da equação (5), o valor de r em função de q e substituindo r em (4) vem:

(5) => r = 4q + 2 - 4 => r = 4q - 2

(4) => 4 + 2(4q - 2) = 4q2 => 4 + 8q - 4 = 4q2 => 4q2 - 8q = 0

=> q(4q - 8) = 0 => q = 0 ou 4q - 8 = 0 => q = 2

Como g3 > 0, q não pode ser zero e então q = 2. Para obter r basta substituir q na equação (5):

r= 4q - 2 => r = 8 - 2 = 6

Para concluir calculamos a3 e g3:

a3 = a1 + 2r => a3 = 4 + 12 = 16

g3 = g1.q2 => g3 = 4.4 = 16

2) (MACK) O sexto termo de uma PG, na qual dois meios geométricos estão inseridos entre 3 e -24, tomados nessa ordem, é:

a) -48

b) -96

c) 48

d) 96

e) 192

Solução:

Para determinar os dois meios geométricos da PG cujos extremos são 3 e -24 precisamos calcular, primeiro, sua razão q, com n = 4. Pela fórmula do termo geral temos que:

a4 = a1.q4-1 => -24 = 3q3 => q3 = -24/3 = -8 => q = -2

Logo a PG é (3; -6; 12; -24; …) e seu sexto termo é obtido, também, através da fórmula do termo geral:

a6 = a1q6-1 => a6 = 3(-2)5 = -3.32 = -96

3) (UE – PA) Um carro, cujo preço à vista é R$ 24 000,00, pode ser adquirido dando-se uma entrada e o restante em 5 parcelas que se encontram em progressão geométrica. Um cliente que optou por esse plano, ao pagar a entrada, foi informado que a segunda parcela seria de R$ 4 000,00 e a quarta parcela de R$ 1 000,00. Quanto esse cliente pagou de entrada na aquisição desse carro?

Solução:

an = a1 * q ^n–1

a₂ = 4000
a₄ = 1000

a₂ = a1 * q
4000 = a1 * q
a₁ = 4000 / q

a₄ = a₁ * q³
1000 = 4000 / q * q³
1000 / 4000 = q³ / q
1 / 4 = q²
√1/4 = √q²
q = 1/2

a₁ = 4000 / 1/2
a₁ = 4000 * 2
a₁ = 8000

1ª prestação: R$ 8 000,00
2ª prestação: R$ 4 000,00
3ª prestação: R$ 2 000,00
4ª prestação: R$ 1 000,00
5ª prestação: R$ 500,00

Soma total das prestações: R$ 15 500,00

Entrada (valor do carro menos o total das prestações)

R$ 24 000,00 – R$ 15 500,00 = R$ 8 500,00

O valor da entrada foi de R$ 8 500,00

4) O limite da expressão onde x é positivo, quando o número de radicais aumenta indefinidamente

é igual a:

A)1/x
*B) x
C) 2x
D) n.x
E) 1978x

Solução:
Observe que a expressão dada pode ser escrita como:
x^1/2. x^1/4 . x^1/8 . x^1/16 . ... = x^{1/2 + 1 / 4 + 1/8 + 1/16 + ...}

O expoente é a soma dos termos de uma PG infinita de primeiro termo a₁ = 1 /2 e
razão q = 1 /2. Logo, a soma valerá: S = a₁ / (1 – q) = (1 /2) / 1 – (1 /2) = 1
Então, x^{1/2 + 1 / 4 + 1/8 + 1/16 + ...} = x¹ = x

5) (UEFS) Os números que expressam os ângulos de um quadrilátero, estão em progressão geométrica de razão 2. Um desses ângulos mede:

a) 28°
b) 32°
c) 36°
*d) 48°
e) 50°Solução:
Seja x o menor ângulo interno do quadrilátero em questão. Como os ângulos estão em Progressão Geométrica de razão 2, podemos escrever a PG de 4 termos:
( x, 2x, 4x, 8x ).
Ora, a soma dos ângulos internos de um quadrilátero vale 360º . Logo,
x + 2x + 4x + 8x = 360º
15.x = 360º
Portanto, x = 24º . Os ângulos do quadrilátero são, portanto: 24º, 48º, 96º e 192º.
O problema pede um dos ângulos. Logo, alternativa D.

6) Sabe-se que S = 9 + 99 + 999 + 9999 + ... + 999...9 onde a última parcela contém n algarismos. Nestas condições, o valor de 10ⁿ⁺¹ - 9(S + n) é:

A)1
*B) 10
C) 100
D) -1
E) -10

Solução:
Observe que podemos escrever a soma S como:
S = (10 – 1) + (100 – 1) + (1000 – 1) + (10000 – 1) + ... + (10ⁿ – 1)
S = (10 – 1) + (10² – 1) + (10³ – 1) + (10⁴ – 1) + ... + (10ⁿ – 1)

Como existem n parcelas, observe que o número (– 1) é somado n vezes,
resultando em n(-1) = - n.

Logo, poderemos escrever:
S = (10 + 10² + 10³ + 10⁴ + ... + 10ⁿ ) – n

Vamos calcular a soma S_n = 10 + 10² + 10³ + 10⁴ + ... + 10ⁿ , que é uma PG de primeiro termo a₁ = 10, razão q = 10 e último termo a_n = 10ⁿ . Teremos:
S_n = (a_n.q – a₁) / (q –1) = (10ⁿ . 10 – 10) / (10 – 1) = (10ⁿ⁺¹ – 10) / 9

Substituindo em S, vem:
S = [(10ⁿ⁺¹ – 10) / 9] – n

Deseja-se calcular o valor de 10ⁿ⁺¹ - 9(S + n)
Temos que S + n = [(10ⁿ⁺¹ – 10) / 9] – n + n = (10ⁿ⁺¹ – 10) / 9

Substituindo o valor de S + n encontrado acima, fica:
10ⁿ⁺¹ – 9(S + n) = 10ⁿ⁺¹ – 9(10ⁿ⁺¹ – 10) / 9 = 10ⁿ⁺¹ – (10ⁿ⁺¹ – 10) = 10

7) A soma dos termos da PG (5, 50, ..., 500000) é

a) 222 222
b) 333 333
c) 444 444
d) 555 555
e) 666 666

Solução:

Para podermos aplicar a fórmula da soma dos termos de uma PG, devemos saber qual ordem do número 500000 (tercerio, quarto, décimo...). Ou seja, devemos calcular o valor de "n".

- Informações:
a₁=5 q=10 a_n=500000

- Vamos aplicar a fórmula do termo geral:
    a_n=a₁·q^(n-1)      Substituindo seus valores
    500000=5·10^(n-1)
    500000=5·10^(n-1)
    5·100000=5·10^(n-1)
    5·10⁵=5·10^(n-1)
    10⁵=10^(n-1) Agora podemos cortar as bases
    5=n-1
    n=6

- Agora sim, o termo 500000 é o sexto termo, podemos aplicar a fórmula da soma:

$formdata=S_n=\frac{a_1\cdot(q^n-1)}{q-1}\\S_6=\frac{5\cdot(10^6-1)}{10-1}\\S_6=\frac{5\cdot(999999)}{9}\\S_6=5\cdot+111111\\S_6=555555$ Resposta certa, letra "D"