Progressão aritmética exercícios resolvidos

_{Exercícios resolvidos P.G}

1) Dadas as sucessões P.G. ( x, y, 147 ) e P.A. ( 5x, y, 27 ), ambas crescentes, quais os valores de x e de y?

O termo y é média geométrica da P.G. e média aritmética da P.A., então matematicamente podemos igualar as duas médias assim:

A variável x pode assumir, portanto os valores 3 e 9,72.

Para x = 9,72 temos a P.A. ( 48,6, y, 27 ) que não é aceitável pois o enunciado especifica uma P.A. crescente, então não podemos considerar o valor 9,72.

Para x = 3 temos a P.A. ( 15, y, 27 ) e a P.G. ( 3, y, 147 ) que estão dentro dos padrões do enunciado.

Como y é um termo médio, tanto da P.A., quanto da P.G., vamos calculá-lo na P.A., pois é mais simples:

O valor de x é 3 e o valor de y é 21.

2) Qual é a soma dos termos da P.G. ( 9, 27, ..., 19683)?

Dividindo o segundo termo da P.G. pelo primeiro, obteremos a sua razão:

Os dados que dispomos são:

Primeiramente precisamos obter o número de itens da sucessão:

Agora já dispomos de todos os dados necessários ao cálculo da soma dos termos:

Assim sendo:

A soma dos termos da P.G. ( 9, 27, ..., 19683) é igual a 29520.

3) O produto dos 7 termos de uma P.G é igual a 4586471424. Qual é o 4º termo?

Se representarmos todos os termos desta progressão em função de a₄ teremos:

P.G. ( a₄q^-3, a₄q^-2, a₄q^-1, a₄, a₄q, a₄q², a₄q³ ).

A representação do produto dos termos será então:

Perceba que na expressão acima q^-3 anula q³, assim como q^-2 anula q² e q^-1 anula q, deixando a mesma apenas com a variável a₄. Isto ocorre apenas porque utilizamos o termo central como referência. Se tivéssemos escolhido qualquer outro termo, como o a₃, por exemplo, para representarmos todos os outros termos em função dele, isto não iria ocorrer pois ele não é o termo central. Em função disto é fácil concluir que se a progressão tivesse um número par de termos, tal técnica não poderia ser utilizada.

Após esta breve explicação vamos continuar a resolução do exercício:

Portanto:

O quarto termo é igual a 24.

4) Interpole 3 meios geométricos positivos entre 2 e 162.

P.G (2,_,_,_ 162)

a1 = 2    an = 162         n = 5         q=?

vamos usar aqui a fórmula do termo geral para descobrir a2, a3 e a4:

162 = 2 . q4

q4 = 81

q = 3                   P.G (2, 6, 18, 54, 162)

5) (UE – PA) Um carro, cujo preço à vista é R$ 24 000,00, pode ser adquirido dando-se uma entrada e o restante em 5 parcelas que se encontram em progressão geométrica. Um cliente que optou por esse plano, ao pagar a entrada, foi informado que a segunda parcela seria de R$ 4 000,00 e a quarta parcela de R$ 1 000,00. Quanto esse cliente pagou de entrada na aquisição desse carro?

Temos:

an = a1 * q ^n–1

a₂ = 4000
a₄ = 1000

a₂ = a1 * q
4000 = a1 * q
a₁ = 4000 / q 

a₄ = a₁ * q³
1000 = 4000 / q * q³
1000 / 4000 = q³ / q
1 / 4 = q²
√1/4 = √q²
q = 1/2

a₁ = 4000 / 1/2
a₁ = 4000 * 2
a₁ = 8000

1ª prestação: R$ 8 000,00
2ª prestação: R$ 4 000,00
3ª prestação: R$ 2 000,00
4ª prestação: R$ 1 000,00
5ª prestação: R$    500,00

Soma total das prestações: R$ 15 500,00

Entrada (valor do carro menos o total das prestações)

R$ 24 000,00 – R$ 15 500,00 = R$ 8 500,00

O valor da entrada foi de R$ 8 500,00