domingo, 9 de dezembro de 2012

Áreas de figuras planas fórmulas e exemplos

Áreas de figuras planas fórmulas e exemplos


Área do Retângulo e do Triângulo
No retângulo a seguir foi traçada uma de suas diagonais, dividindo a figura em duas partes iguais.



Note que a área total do retângulo é dada pela expressão A = b x h, considerando que a diagonal dividiu o retângulo em duas partes iguais formando dois triângulos, a área de cada triângulo será igual à metade da área total do retângulo, constituindo na seguinte expressão matemática:


Exemplo: A medida da base de um triângulo é de 7 cm, visto que a medida da sua altura é de 3,5 cm, qual é a área deste triângulo?


Do enunciado temos:



Utilizando a fórmula:


A área deste triângulo é 12,25 cm².

Exemplo 2: Um terreno mede 5 metros de largura por 25 metros de comprimento. Qual é a área deste terreno?

Atribuindo 5 à variável h e 25 à variável b temos:



Utilizando a fórmula:



A área deste terreno é de 125 m².

Área do Triângulo Equilátero

Observe o triângulo de vértices A, B e C com lados medindo a e altura h.
Observe que o triângulo equilátero possui os três ângulos internos iguais, assim como os seus três lados, podemos utilizar a seguinte fórmula:
Exemplo:

Determine a medida da área de uma região triangular equilátera, com lados medindo 12 metros de comprimento.

A região triangular possui área medindo 36√3 metros.

Área do Trapézio




Um trapézio é formado por uma base maior (B), por uma base menor (b) e por uma altura (h). 
                  
o cálculo de sua área é dado pela seguinte fórmula:

A = h (B + b)
              2


h = altura
B = base maior do trapézio
b = base menor do trapézio

Exemplo: Determine a área da figura abaixo:


Solução: a figura é um trapézio de base maior medindo 30 cm, base menor medindo 18 cm e altura com 10 cm de comprimento. Aplicando a fórmula da área, obtemos:



Área do quadrado

Para calcular a área de um quadrado, basta elevar ao quadrado a medida de um lado. Exemplo: O lado de um quadrado mede 8 cm.
A = L x L
A= 8×8
A= 64 cm

exemplo: A área de um quadrado é igual a 196 cm². Qual a medida do lado deste quadrado?

Temos que S é igual a 196.



Utilizando a fórmula temos:



Área do Losango

 A área do losango é a diagonal menor multiplicado pela diagonal maior dividido tudo por dois.



Exemplo: Calcule a área de um losango de diagonais medindo 7 cm e 4 cm.

Solução: foram dados D = 7 cm e d = 4 cm. Dessa forma, basta substituir os valores na fórmula da área. Assim,

exemplo 2: Calcule a área de um losango de 5 cm de lado e diagonal menor medindo 6 cm.

Solução: para o cálculo da área precisamos conhecer as medidas das duas diagonais, mas o problema nos forneceu apenas a da diagonal menor. Dessa forma, precisamos determinar a medida da diagonal maior.

Utilizando o teorema de Pitágoras, temos que:


Conhecendo as medidas das duas diagonais, basta utilizar a fórmula da área. Assim,



Área do Paralelogramo

A fórmula usada para calcular a área de um paralelogramo é A = b x h (b: base e h: altura), sendo que a altura é perpendicular a base. 

Exemplo 1: Calcule a área de um paralelogramo cuja base mede 15 cm e a altura 12 cm.

Solução: De acordo com o enunciado do problema, sabemos que b = 15 cm e h = 12 cm.

Assim, podemos aplicar a fórmula da área do paralelogramo.

A = base x altura
A = 15 x 12
A = 180 cm2.


Não se esqueça que as unidades de medida de área sempre estão elevadas ao quadrado: m2, cm2, km2, etc.

Exemplo 2. Determine a área da figura abaixo:
Solução: A figura acima é um paralelogramo (veja os lados opostos paralelos) cuja base mede 25 cm e a altura, 20 cm. Observe que a altura forma um ângulo de 90o (ângulo reto) com a base. Como sabemos as medidas da altura e da base, basta utilizar a fórmula da área. Assim, teremos:

A = base x altura
A = 25 x 20
A = 500 cm2

Portanto, o paralelogramo da figura apresenta uma área de 500 cm2.
Cálculo da Área do Círculo
A divisão do perímetro de uma circunferência, pelo seu diâmetro resultará sempre no mesmo valor, qualquer que seja circunferência. Este valor irracional constante é representado pela letra grega minúscula pi, grafada como:
Por ser um número irracional, o número pi possui infinitas casas decimais. Para cálculos corriqueiros, podemos utilizar o valor 3,14159265. Para cálculos com menos precisão, podemos utilizar 3,1416, ou até mesmo 3,14.
O perímetro de uma circunferência é obtido através da fórmula:
O cálculo da área do círculo é realizado segundo a fórmula abaixo:
Onde r representa o raio do círculo.
Exemplo: Um círculo tem raio de 8,52 mm. Quantos milímetros quadrados ele possui de superfície?

Do enunciado, temos que o valor do raio r é:

Ao substituirmos valor de r na fórmula teremos:

A superfície do círculo é de 228,05 mm².

Cálculo da Área de Setores Circulares
 
O cálculo da área de um setor circular pode ser realizado calculando-se a área total do círculo e depois se montando uma regra de três, onde a área total do círculo estará para 360°, assim como a área do setor estará para o número de graus do setor.
Sendo S a área total do círculo, Sα a área do setor circular e α o seu número de graus, temos:

Em radianos temos:
 
                                                                                                   
A partir destas sentenças podemos chegar a esta fórmula em graus:

E a esta outra em radianos:

Onde r representa o raio do círculo referente ao setor e α é o ângulo também referente ao setor.


Exemplo:


Qual é a área de um setor circular com ângulo de 30° e raio de 12 cm?

Aplicando a fórmula em graus temos:

A área do setor circular é de 37,6992 cm².

Cálculo da Área de Coroas Circulares

O cálculo da área de uma coroa circular pode ser realizado calculando-se a área total do círculo e subtraindo-se desta, a área do círculo inscrito. Podemos também utilizar a seguinte fórmula:
Onde R representa o raio do círculo e r representa o raio do círculo inscrito.

Exemplo: Qual é a área de uma coroa circular com raio de 20 cm e largura de 5 cm?

Se a largura é de 5 cm, significa que r = 20 - 5 = 15, substituindo na fórmula temos:



A área da coroa circular é de 549,78 cm².

Questões

1) Temos um triângulo equilátero de lado 6cm. Qual é o perímetro e qual é a área deste triângulo?


Perímetro:
6*3 = 18cm

Área: exercicio_geometria7.gif (774 bytes)

2) Um trapézio tem a base menor igual a 2, a base maior igual a 3 e a altura igual a 10. Qual a área deste trapézio?

exercicio_geometria8.gif (868 bytes)

3) Determine a área das seguintes figuras (em cm):

a)exercicio_geometria.GIF (2258 bytes)b)   exercicio_geometria1.GIF (2219 bytes)
c) exercicio_geometria2.GIF (1930 bytes)d) exercicio_geometria4.GIF (1801 bytes)
e) exercicio_geometria6.GIF (3031 bytes)


Resolução:

Retângulo amarelo:
2*3 = 6
Retângulo verde:
2*6 = 12
Retângulo azul:
10*3 = 30
A soma de todos eles:
6 + 12 + 30 = 48cm²
Resposta b:
Área do triângulo:
(3*3)/2 = 4,5
Retângulo laranja:
4* (3+3) = 24
Retângulo rosa:
2*5 = 10
A soma de todas figuras:
4,5 + 24 + 10 = 38,5cm²

Resposta c:
Área do trapézio:
(15 + 10) * 6/2
25*6/2 =
150/2 = 75
Área do retângulo:
8*2 = 16
75 + 16 = 91cm²

Resposta d:
(20*15)/2 =
300 / 2 = 150cm²

Resposta e:
Figura azul:
4 cm


Se observarmos bem, vemos que a parte de baixo da figura roxa se encaixa na parte branca de cima da figura. Logo, temos um retângulo

4*2 = 8

4 + 8 = 12cm²

4) Num losango, a medida da diagonal maior é o dobro da medida da diagonal menor. Sabendo que D = 50cm, qual será a medida da área desse losango?

Solução: 
Sabemos que a diagonal maior é o dobro da diagonal menor. Como D = 50cm, podemos afirmar que d = 25cm. Conhecidas as medidas das diagonais, basta utilizar a fórmula da área.
Portanto, o losango tem 625 cm2 de área.
5) Calcular a área de um círculo circunscrito em um triângulo equilátero de lados medindo 18 cm.
Solução:

Na figura ao lado, seja a o apótema, r o raio e h a altura do triângulo então; 
h = a + r
182 = h2 + 92
h = R[324 - 81] = R[243] = 9 R[3]

r2 = 92 + (h-r)2
r2 = 81 + h2 - 2.h.r + r2
81 + 243 - 2.9 R[3].r = 0
r = 18/R[3]
Área do círculo = pi.r2 = 108 pi cm2


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