sábado, 22 de dezembro de 2012

Poliedros questões vestibular

Artigo com questões de vestibular sobre poliedros resolvidas e propostas

1) Arquimedes descobriu um poliedro convexo formado por 12 faces pentagonais e 20 faces hexagonais, todas regulares. Esse poliedro inspirou a fabricação da bola de futebol que apareceu pela primeira vez na Copa do Mundo de 1970. Quantos vértices possui esse poliedro?
Resolução:
Como o poliedro tem 12 faces pentagonais, então:
12 . 5  = 60
O poliedro tem 20 faces hexagonais, assim 20 . 6  = 120, logo:  F = 12 + 20 = 32
Cada aresta foi contada duas vezes, portanto temos:
2A = 60 + 120
A = 90
Como o poliedro é convexo, vale a relação de Euler,
V – A + F = 2, portanto:
V – 90 + 32 =2
V = 2 + 90 – 32
V = 60
Assim, o número de vértices é 60.

2) Determinar o número de arestas e o número de vértices de um poliedro convexo com 6 faces quadrangulares e 4 faces triangulares.
Resolução:
Como o poliedro tem 6 faces quadrangulares, calculamos: 6 . 4 = 24
O poliedro tem 4 faces triangulares: 4 . 3 = 12
Como cada aresta foi contada duas vezes, o número total de arestas é:  A = (24+12)/2 = 18
Temos então F  = 10, A = 18.
Aplicando a relação de Euler:
V – A + F = 2
V – 18 + 10 = 2
V = 10
Logo, o poliedro tem 18 arestas e 10 vértices.

3) (FAAP - SP) Num poliedro convexo, o número de arestas excede o número de vértices em 6 unidades. Calcule o número de faces.

Essa é a Relação de Euler para poliedros convexos: 
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Resolução:

De acordo com o enunciado, temos:
A = V + 6

Usando a Relação de Euler e substituindo A de acordo com a igualdade acima:

V + F = 2 + A
V + F = 2 + V + 6

Eliminando V:

F = 8

O número de faces é igual a 8.

4) (Fatec - SP) Um poliedro convexo tem 3 faces com 4 lados, 2 faces com 3 lados e 4 faces com 5 lados. Qual é o número de vértices desse poliedro?

Resolução:

Do enunciado, sabemos que
Número de faces: 3 + 2 + 4 = 9

Número de arestas:
3 faces com 4 lados: 3 . 4 = 12
2 faces com 3 lados: 2 . 3 = 6
4 faces com 5 lados: 4 . 5 = 20
Somando: 12 + 6 + 20 = 38

Atenção: as faces são unidas, duas a duas, por uma aresta. Ao contarmos todas as arestas de todas as faces, cada aresta é contada duas vezes, uma para cada face "grudada" nela. Assim, esse número, na verdade, é o dobro do número real de arestas do poliedro. Logo:

A = 38 ÷ 2 = 19.

Usando, agora, a Relação de Euler, temos:

V + F = 2 + A
V + 9 = 2 + 19
V = 21 - 9 = 12.

5) Determine o número de vértices, arestas, faces e a soma dos ângulos das faces dos poliedros convexo que possuem:

a) 6 faces triangulares e 4 faces quadrangulares.
b) 5 faces pentagonais 3 faces triangulares.

6) Um poliedro convexo apresenta faces quadrangulares e triangulares . Calcule o número de
faces desse poliedro , sabendo-se que o número de arestas é o quádruplo do número de faces
triangulares e o número de faces quadrangulares é igual a 5 .



7) Um poliedro convexo tem 16 faces. De um de seus vértices partem 5 arestas , dos outros 5
vértices partem 4 arestas e de cada um dos vértices restantes , 3 arestas . Qual o número de
vértices do poliedro ?

8) Um poliedro convexo possui apenas faces triangulares e quadrangulares . Sabendo que o
número de faces triangulares e quadrangulares são diretamente proporcionais aos números 2 e 3
e que o número de arestas é o dobro do número de vértices , calcule o número total de faces
desse poliedro .

9) Um poliedro convexo de onze faces , tem seis faces triangulares e cinco faces
quadrangulares . Calcular o número de arestas e de vértices do poliedro.

10) (UFSCAR) A figura 1 representa um determinado encaixe no plano de 7 ladrilhos poligonais regulares (1 hexágono, 2 triângulos, 4 quadrados), sem sobreposições e cortes.
Em relação aos 6 ladrilhos triangulares colocados perfeitamente nos espaços da figura 1, como indicado na figura 2, é correto dizer que

A) 2 são triângulos equiláteros e 4 são triângulos isósceles de ângulo da base medindo 15°.
B) 2 são triângulos equiláteros e 4 são triângulos isósceles de ângulo da base medindo 30°.
C) 2 são triângulos isósceles de ângulo da base medindo 50° e 4 são triângulos isósceles de ângulo da base medindo 30°.
D) 2 são triângulos equiláteros e 4 são triângulos retângulos isósceles.
E) 2 são triângulos equiláteros e 4 são triângulos escalenos.

11) Obter o número de arestas de um poliedro convexo que tem 6 faces e 8 vértices.


12) Quantos vértices tem um poliedro convexo com 4 faces triangulares e 5 faces quadrangulares?


Gabarito:

5) a) V = 9, A = 17, F = 10 e S = 2.520º
    b) V = 11, A = 17, F = 8 e S = 3.240º

6) F = 9

7) V = 21

8) F = 10

9) A=19 e V = 10

10) D

11) A = 12

12) V = 9

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