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quarta-feira, 19 de agosto de 2020

Geometria Plana

Os estudos iniciais sobre Geometria Plana estão relacionados à Grécia Antiga, também pode ser denominada Geometria Euclidiana em homenagem a Euclides de Alexandria (360 a.C. - 295 a.C.), grande matemático educado na cidade de Atenas e frequentador da escola fundamentada nos princípios de Platão.

Os princípios que levaram à elaboração da Geometria Euclidiana eram baseados nos estudos do ponto, da reta e do plano. O ponto era considerado um elemento que não tinha definição plausível, a reta era definida como uma sequência infinita de pontos e o plano definido através da disposição de retas.

As definições teóricas da Geometria de Euclides estão baseadas em axiomas, postulados, definições e teoremas que estruturam a construção de variadas formas planas. Os polígonos são representações planas que possuem definições, propriedades e elementos.

Artigos de "Geometria Plana"

- área do triângulo retângulo questões





































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sexta-feira, 28 de dezembro de 2012

área do triângulo retângulo questões


Estudaremos nesse artigo sobre a área do triângulo retângulo com questões resolvidas para um melhor aprendizado.

 área do triângulo retângulo
A área do triângulo retângulo é dada por A = {(B \cdot h)\over 2}, onde h é a altura do triângulo, b a medida da base.


Outra maneira de determinar a área do triângulo é utilizando a expressão de Heron de Alexandria, que trabalha a partir do semiperímetro dos lados:

E para finalizar também calculamos a área de um triângulo utilizando o seno de um dos ângulos, desde que sejam fornecidos. 

 A = {a \cdot b \cdot sen(\alpha) \over 2}

Exercícios
1) Determinar a área do triângulo a seguir considerando que a sua base mede 23 metros e a altura 12 metros.


2) Calcule a área do triângulo a seguir: 

p = (9 + 7 + 14) / 2
p = 30 / 2
p = 15

A = √15(15 – 9)(15 – 7)(15 – 14)
A = √15 * 6 * 8 * 1
A = √720
A = 26,83 cm2(aproximadamente)

3) Um triângulo possui lados medindo 5 cm e 8 cm, respectivamente. Sabendo que ele possui um ângulo na base medindo 30º, determine a área desse triângulo.



4) Calcule a área da região triangular a seguir sabendo que os lados medem: 40, 31 e 52.

Temos que o triângulo em questão possui área de 618,9 m².

5) Calcular a área de um triângulo retângulo conhecendo o seu perímetro 2p e a altura h relativa à hipotenusa.
Resolução:
Sendo o triângulo retângulo de hipotenusa "a", catetos "b" e "c" e altura relativa à hipotenusa "h". Se sabemos seu perímetro:
a + b + c = 2p
 Elevando tudo ao quadrado:
a + b + c = 2p
a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac = 4p2
 Pelo teorema de Pitágoras b2 + c2 = a2, então:
a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac = 4p2
a2 + a2 + 2ab + 2bc + 2ac = 4p2
 Chamando a área do triângulo de A, que é a base vezes a altura sobre 2:
ah/2 = A
a = 2A/h
 Ou então a área pode ser o produto dos catetos sobre 2:
bc/2 = A
bc = 2A
 Então podemos continuar usando isso:
a2 + a2 + 2ab + 2bc + 2ac = 4p2
2a2 + 2ab + 2bc + 2ac = 4p2
2a2 + 2ab + 4A + 2ac = 4p2
2a2 + 2a.(b + c) + 4A = 4p2
 E aqui vamos achar que como a + b + c = 2p:
a + b + c = 2p
b + c = 2p - a
 Colocando isso também na equação e no lugar de "a" colocando sempre 2A/h:
2a2 + 2a.(b + c) + 4A = 4p2
2a2 + 2a.(2p - a) + 4A = 4p2
2(2A/h)2 + 2(2A/h).(2p - 2A/h) + 4A = 4p2
 Agora você tem uma equação só com A e p, que você pode simplificar tirando o mínimo que é h2, até achar:
2Ap + Ah - p2h = 0
A.(h + 2p) = p2h
A = p2h/(h + 2p)

6) Um triângulo equilátero possui área de 16√3 cm². Determine a medida do lado desse triângulo.

Solução:

Temos que A = 16√3 cm². Logo,


7) Determine a medida da altura de um triângulo equilátero de área 25√3 cm².

Solução:


área do Triângulo equilátero
Se o triângulo for equilátero de lado l, sua área A pode ser obtida com:
A = {l^2 \sqrt{3}\over 4}.
Ou então usando sua altura h e a fórmula da base vezes a altura. A altura h de um triângulo equilátero é:
h = {l \sqrt{3}\over 2}.
Vale notar que essas duas fórmulas para os triângulos equiláteros são obtidas usando as funções seno ou cosseno e usando a altura do triângulo, que o divide ao meio em dois triângulos retângulos iguais
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sexta-feira, 14 de dezembro de 2012

perímetro de figuras planas questões


Artigo com questões resolvidas sobre perímetro de figuras planas.

1) Calcule o perímetro da figura abaixo:
  
O perímetro de uma figura é representado por 2p.

Assim, o perímetro da figura abaixo será:
2p = 10 cm + 9 cm + 10 cm + 9cm = 38 cm
2) Calcule o perímetro da figura abaixo:

Solução:
2p = 7 cm + 2 cm + 2 cm + 2 cm + 3 cm + 2 cm + 3 cm + 5 cm = 26 cm



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3) (ENEM-2011) Em uma certa cidade, os moradores de um bairro carente de espaços de lazer reivindicam à prefeitura municipal a construção de uma praça. A prefeitura concorda com a solicitação e afirma que irá construí-la em formato retangular devido às características técnicas do terreno. Restrições de natureza orçamentária impõem que sejam gastos, no máximo, 180 m de tela para cercar a praça. A prefeitura apresenta aos moradores desse bairro as medidas dos terrenos disponíveis para a construção da praça:
  • Terreno 1: 55 m por 45 m
  • Terreno 2: 55 m por 55 m
  • Terreno 3: 60 m por 30 m
  • Terreno 4: 70 m por 20 m
  • Terreno 5: 95 m por 85 m
Para optar pelo terreno de maior área, que atenda às restrições impostas pela prefeitura, os moradores deverão escolher o terreno
  • A) 1.
  • B) 2.
  • C) 3.
  • D) 4.
  • E) 5.

Solução:

Esta questão é solucionada meio que de forma empírica, pois temos que testar as opções disponíveis para descobrir a que satisfaz todas as condições do enunciado.
Como sabemos, perímetro é a medida do contorno que limita uma figura plana, em outras palavras, é a soma da medida dos lados de um polígono.
Como para cercar a praça devem ser utilizados no máximo 180 m de tela, esta deve ser a medida do perímetro da praça com formato retangular.
Os dois primeiros terrenos devem ser descartados, pois têm perímetro de 200 m e 220 m respectivamente, maiores que os 180 m liberados.
O quinto terreno também deve ser descartado, mas esta opção pode confundir alguns estudantes, visto que a soma de 95 m com 85 m resulta exatamente em 180 m, mas na verdade o seu perímetro é o dobro desta medida: 360 m.
O perímetro dos outros dois terrenos é exatamente igual a 180 m:
  • Terreno 3: 
  • Terreno 4: 
Nos resta descobrir o terreno que possui maior área:
  • Terreno 3: 
  • Terreno 4: 
Logo os moradores deverão escolher o terceiro terreno.
Mas note que há uma forma de sabermos qual dentre os dois é o terreno que possui a maior área, sem necessariamente as calcular. Se estiver interessado em conhecê-la, por favor, acesse o nosso artigo por que a área de um quadrado é maior que a área de qualquer retângulo de mesmo perímetro?
C é a alternativa correta.

4) Se o perímetro de um quadrado é de 64 cm, qual é a medida de cada lado desse quadrado?

Solução: 

Sabemos que o quadrado é um quadrilátero com todos os lados congruentes (com a mesma medida). Dessa forma, para determinar a medida de cada lado teremos que dividir o perímetro por 4.
Assim,
L = 64 ÷ 4 = 16 cm

5) Um fazendeiro pretende cercar um terreno retangular de 120 m de comprimento por 90 m de largura. Sabe-se que a cerca terá 5 fios de arame. Quantos metros de arame serão necessários para fazer a cerca? Se o metro de arame custa R$ 15,00, qual será o valor total gasto pelo fazendeiro?

Solução:

 Imagine que a cerca terá somente um fio de arame. O total de arame gasto para contornar todo o terreno será igual à medida do perímetro da figura. Como a cerca terá 5 fios de arame, o total gasto será 5 vezes o valor do perímetro.

Cálculo do perímetro:
2p = 120m + 90m + 120m + 90m = 420 m

Total de arame gasto:
5*420 = 2100 m de arame para fazer a cerca.

Como cada metro de arame custa R$ 15,00, o gasto total com a cerca será de:
2100*15 = R$ 31. 500,00

6) Calcular a área de um triângulo retângulo conhecendo o seu perímetro 2p e a altura h relativa à hipotenusa. 
Resolução:
Sendo o triângulo retângulo de hipotenusa "a", catetos "b" e "c" e altura relativa à hipotenusa "h". Se sabemos seu perímetro:
a + b + c = 2p
 Elevando tudo ao quadrado:
a + b + c = 2p
a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac = 4p2
 Pelo teorema de Pitágoras b2 + c2 = a2, então:
a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac = 4p2
a2 + a2 + 2ab + 2bc + 2ac = 4p2
 Chamando a área do triângulo de A, que é a base vezes a altura sobre 2:
ah/2 = A
a = 2A/h
 Ou então a área pode ser o produto dos catetos sobre 2:
bc/2 = A
bc = 2A
 Então podemos continuar usando isso:
a2 + a2 + 2ab + 2bc + 2ac = 4p2
2a2 + 2ab + 2bc + 2ac = 4p2
2a2 + 2ab + 4A + 2ac = 4p2
2a2 + 2a.(b + c) + 4A = 4p2
 E aqui vamos achar que como a + b + c = 2p:
a + b + c = 2p
b + c = 2p - a
 Colocando isso também na equação e no lugar de "a" colocando sempre 2A/h:
2a2 + 2a.(b + c) + 4A = 4p2
2a2 + 2a.(2p - a) + 4A = 4p2
2(2A/h)2 + 2(2A/h).(2p - 2A/h) + 4A = 4p2


7) As diagonais de um losango medem 10cm e 24cm. Determine o perímetro do losango.?

 Solução:
Se é um losango as duas diagonais se cruzam no ponto médio de cada uma, dai basta achar a hipotenusa do triangulo formado pela metade desses segmentos

x² = 5² + 12²
x² = 25 + 144
x² = 169
x = raiz(169)
x = 13

logo cada lado do losango vale 13

então o perímetro é igual a:

P =13 x 4 = 52 cm

 8) Demonstre que o triângulo de vértices A(8 , 2), B(3 , 7) e C(2 , 1) é isósceles. Em seguida, calcule seu perímetro.

Solução:

Para demonstrar que o triângulo ABC é isósceles se faz necessário mostrar que ele possui dois lados com a mesma medida. Assim, vamos calcular a distância entres seus vértices, que será a medida de cada lado.

Agora, vamos calcular o seu perímetro. Lembrando que perímetro é a soma das medidas dos lados e é representado por 2P, temos:
9) Magda pretende cercar vários canteiros retangulares no seu jardim, separados uns dos outros, para plantar flores. Todos os canteiros são retangulares, com 1,2 m de comprimento e 0,5 m de largura. 

Magda tem 23 m de rede.

Quantos canteiros pode a Magda cercar?

Solução:
P= 2 x 1,2 m + 2 x 0,5 m = 3,4 m

23 m : 3,4 m = 6 canteiros


Sobrou rede? Se sim, quantos metros?

6 x 3,4 m = 20,4 m
23 m - 20,4 m= 2,6 m

Resposta: Sobrou 2,6 m de rede

10) O perímetro de um retângulo mede 92 cm, quais são suas medidas, sabendo-se que contem 8cm a mais que a largura? Calcule.

Solução:

P = x+x= 92
x + x + 8= 92
2x + 8= 92
2x= 92-8
2x= 84
x= 84/2
x= 42
42+8= 50


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Perímetro das figuras geométricas

Perímetro é a medida do comprimento de um contorno que delimita uma figura plana. Pode ser expresso em metro, decímetro ou kilometro, ...

Observe um campo de futebol, o perímetro dele é o seu contorno que está de vermelho.



Pra fazermos o cálculo do perímetro devemos somar todos os seus lados:
P = 100 + 70 + 100 + 70
P = 340 m

O perímetro da figura abaixo é o contorno dela, como não temos a medida de seus lados, para medir o seu perímetro devemos contorná-la com um barbante e depois esticá-lo e calcular a medida.




Por exemplo:



O perímetro da figura é a soma de todos os seus lados:

P = 10 + 8 + 3 + 1 + 2 + 7 + 2 +3

P = 18 + 4 + 9 + 5

P = 22 + 14

P = 36

As principais FIGURAS GEOMÉTRICAS PLANAS e o cálculo de seus perímetros são:


 

Exemplo 1:

Calcule o perímetro de um quadrado de lado 4 cm.

Sabemos que o perímetro de um quadrado é 4 * L,  então teremos:

P = 4 * L 
P = 4 * 4 = 16 cm.

Exemplo 2:

Calcule o perímetro de um círculo de raio 3 cm.

Sabemos que o perímetro de um círculo é dado por 2πR, então teremos:

P = 2π * 3
P = 6π cm


Exemplo 3:

O perímetro de um retângulo é 40 cm e a base 10 cm qual sua altura.

Sabemos que o perímetro de um retângulo é 2(h + b), então teremos:

P = 2(h + b)
40 = 2(h + 10)
h + 10 = 40/2
h + 10 = 20
h = 10 cm

Exemplo 4: 

Calcule o perímetro de um losango de lado 10 cm.

Sabemos que o perímetro do losango é 4 * L, então teremos:

P = 4 * L
P = 4 * 10
P = 40 cm

Exemplo 5:

 Calcule o perímetro do trapézio isósceles abaixo:

Trap.JPG

Sabemos que o perímetro do trapézio é a soma de todos os seus lados, então temos:

P = AB + BC + CD + DA= 8 + 8 + 12 + 8 = 36 cm

Exemplo 6:

Calcule o perímetro de um triângulo de lados 5, 6 e 7 cm

Sabemos que o perímetro de um triângulo é a soma de todos os seus lados, ou seja, a + b + c, então, temos:

P = a + b + c
P = 5 + 6 + 7
P = 18 cm
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