números inteiros questões

Conjunto dos números inteiros

Pertencem ao conjunto dos números inteiros, os números negativos e também o Conjunto dos Números Naturais. 

Os números positivos são opostos aos números negativos e os negativos opostos aos positivos. 
Sua representação é feita pela letra Z maiúscula. 

={…,-8,-7,-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,7,8…}

Observações: os números negativos são sempre acompanhados pelo sinal de negativo 
(-) (à sua frente) e os positivos são acompanhados pelo sinal positivo (+) ou sem sinal nenhum. O zero não é positivo e nem negativo. 

O conjunto dos inteiros possui alguns subconjuntos, eles são:

- Inteiros não negativos São todos os números inteiros que não são negativos. Logo percebemos que este conjunto é igual ao conjunto dos números naturais.
É representado por Z₊:

Z₊ = {0,1,2,3,4,5,6, …}

- Inteiros não positivos São todos os números inteiros que não são positivos. É representado por Z_-:

Z_- = {…, -5, -4, -3, -2, -1, 0}

- Inteiros não negativos e não-nulos É o conjunto Z₊ excluindo o zero. Representa-se esse subconjunto por Z*₊:

Z*₊ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, …}

Z*₊ = N*

- Inteiros não positivos e não nulosSão todos os números do conjunto Z_- excluindo o zero. Representa-se por Z*_-.

Z*_- = {… -4, -3, -2, -1}

NÚMEROS INTEIROS - OPERAÇÕES E PROPRIEDADES

O conjunto dos números inteiros é formado pelos algarismos inteiros positivos e negativos e o zero. Eles são importantes para o cotidiano, principalmente nas situações envolvendo valores negativos, como escalas de temperatura, saldos bancários, indicações de altitude em relação ao nível do mar, entre outras situações. As adições e subtrações envolvendo estes números, requerem a utilização de regras matemáticas envolvendo os sinais positivos (+) e negativos (–). Devemos também dar ênfase ao estudo do módulo de um número, que significa trabalhar o valor absoluto de um algarismo, observe:

Vamos determinar o módulo dos números a seguir:

Módulo de + 4 = |+4| = 4
Módulo de –6 = |–6| = 6
Módulo de –10 = |–10| = 10
Módulo de +20 = |+20|=20

Adição e subtração de números inteiros sem a presença de parênteses.

1ª propriedade → sinais iguais: soma e conserva o sinal.

2ª propriedade → sinais diferentes: subtrai e conserva o sinal do número de maior módulo.

+ 5 + 6 = + 11 →1ª propriedade
+ 9 + 10 = +19 → 1ª propriedade
– 6 + 2 = – 4 → 2ª propriedade
+ 9 – 7 = +2 → 2ª propriedade
– 3 – 5 = –8 →1ª propriedade
–18 – 12 = –30 → 1ª propriedade 

Adição e subtração de números inteiros com a presença de parênteses.

Para eliminarmos os parênteses devemos realizar um jogo de sinal, observe:

+ ( + ) = +
+ ( – ) = –
– ( + ) = –
– ( – ) = +

Após a eliminação dos parênteses, basta aplicarmos a 1ª ou a 2ª propriedade.

+ (+9) + (–6) → + 9 – 6 → + 3

– (– 8) – (+6) → +8 – 6 → +2
+ (– 14) – (– 8) → –14 + 8 → – 6

– (+ 22) − (– 7) → –22 + 7 → –15

– ( + 9 ) + (– 12) → – 9 – 12 → – 21 

Fonte: www.tudosobreconcursos.com

         www.brasilescola.com/

Exercícios resolvidos conjunto dos números inteiros

1) Roberta depositou em sua conta bancária a quantia de R$ 200,00. Ao conferir o saldo de sua conta notou que possuía um valor negativo de R$ -50,00. Quanto Roberta devia ao banco?

Solução:

Ao depositar R$ 200,00 e continuar devendo R$ 50,00, podemos chegar a conclusão de que Roberta devia ao banco R$ 250,00. Nos bancos os saldos devedores são simbolizados pelo sinal (–).
Podemos realizar a seguinte operação Matemática:
– 250 + 200 = – 50

Na adição e na subtração utilizamos a seguinte definição:
Números com sinais diferentes: subtrai e conserva o sinal do maior.
– 20 + 3 = – 17 + 48 – 18 = + 30

Números com sinais iguais: soma e conserva o sinal.
– 20 – 5 = – 25 + 18 + 3 = + 21

2) Numa adição com duas parcelas, se somarmos 8 à primeira parcela, e subtrairmos 5 da segunda parcela, o que ocorrerá com o total?

Solução:

Seja t o total da adição inicial.
Ao somarmos 8 a uma parcela qualquer, o total é acrescido de 8 unidades:

t + 8

Ao subtrairmos 5 de uma parcela qualquer, o total é reduzido de 5 unidades:

t + 8 - 5 = t + 3

Resposta: Portanto o total ficará acrescido de 3 unidades.

3) Numa subtração, a soma do minuendo com o subtraendo e o resto é igual a 264. Qual é o valor do minuendo?

Solução: 

Sejam m o minuendo, s o subtraendo e r o resto de uma subtração qualquer, é sempre verdade que:

m - s = r → s + r = m

(a soma de s com r nos dá m)

Ao somarmos os três termos da subtração, m + s +  r, observamos que a adição das duas últimas parcelas, s + r, resulta sempre igual a m. Assim poderemos escrever:

m + (s + r) = m + m  = 2m

O total será sempre o dobro do minuendo.
Deste modo, temos:

m + s + r = 264
2m = 264
m = 264 ÷ 2 = 132

Resposta: O minuendo será 132.

4) Numa divisão inteira, o divisor é 12, o quociente é 5 e o resto é o maior possível. Qual é o dividendo?

Solução:

Se o divisor é 12, então o maior resto possível é 11, pois o resto não pode superar nem igualar-se ao divisor. Assim, chamando de n o dividendo procurado, teremos:

n = (quociente) × (divisor) + (resto)

n = 5 × 12 + 11

n = 60 + 11

n = 71

Resposta: O dividendo Procurado é 7

5) Dividindo 180 por b obtém-se quociente 8 e resto r, sendo b e r dois números naturais. 

Determine a soma dos possíveis valores de b.

Solução:

Sabemos da Aritmética, que:
Dividendo = Divisor x Quociente + Resto

O resto é menor do que o divisor e positivo ou nulo.

No caso, temos:
Dividendo = 180
Divisor = b
Quociente = 8
Resto = r

Podemos escrever:
180 = 8b + r e, portanto, r = 180 - 8b

E, como o resto é positivo ou nulo e menor do que o divisor, vem:
0  £ 180 - 8b < b

Somando 8b a todos os membros, fica:
8b  £  180 < 9b

Podemos dizer então, que:
8b £ 180 (1)

180 < 9b (2)

Dividindo ambos os membros de (1) por 8, vem: b £ 22,5
Dividindo ambos os membros de (2) por 9, vem: 20 < b
Portanto, 20 < b  £  22,5

Os valores possíveis para b, são: b = 21 e b = 22.
Logo, a soma dos valores possíveis para b será igual a 21 + 22 = 43.

6)  O quociente e o resto da divisão euclidiana de n por d são, respectivamente, 17 e 2. Obtenha a soma n + d, dado que n – d = 274.

a) 310

b) 308

c) 307

d) 303

e) 301

exercícios matemática conjuntos vestibular - 15 questões

1) Se  e , tem-se que ?

A intersecção entre dois conjuntos onde um conjunto está contido no outro é o próprio conjunto que está contido, como , temos que , logo 

A diferença entre conjuntos difere da operação de intersecção. A diferença entre os conjuntos  e  é o conjunto de todos os elementos que pertencem ao conjunto  e que não pertencem ao conjunto , que obviamente é o próprio , pois em  não há qualquer número irracional, logo 

Então  e como já aprendemos que , temos que:

Sim, tem-se que .

2) (ENEM) No dia 17 de Maio próximo passado, houve uma campanha de doação de sangue em uma Universidade. Sabemos que o sangue das pessoas pode ser classificado em quatro tipos quanto a antígenos. Uma pesquisa feita com um grupo de 100 alunos da Universidade constatou que 42 deles têm o antígeno A, 36 têm o antígeno B e 12 o antígeno AB. Sendo assim, podemos afirmar que o número de alunos cujo sangue tem o antígeno O é:

(A) 20 alunos

(B) 26 alunos

(C) 34 alunos

(D) 35 alunos

(E) 36 alunos

Resolução:

Admita que n(X) é o número de elementos do conjunto X.

Sabemos que:

n(A) = 42
n(B) = 36
n(AnB) = 12, com isso:
n(AuB) = n(A) + n(B) - n(AnB)
n(AuB) = 42 + 36 - 12
n(AuB) = 66 Ao todo temos 100 pessoas, dessas:
n(AuB) = 66
n(O) é o que falta para 100, ou seja,
n(O) = 100 - 66
n(O) = 34, alternativa letra C

3) Classifique cada sentença como V (verdadeira) ou F (falsa):

a) a soma de um número racional com um número irracional é sempre um número irracional. 
( )      
b) O produto de dois números irracionais pode ser racional. ( )          
c) A soma de dois números irracionais é sempre um número irracional. ( )          
d) 1,888888.....  E  Q. ( )        

4) A quais conjuntos numéricos fundamentais não pertence o número ?

5) (FATEC) Se x e y são números reais tais que x = (0,25)^0,25 e y=16^–0,125, é verdade que:

a) x = y
b) x > y
c) x·y = 2
d) x - y é um número irracional.
e) x + y é um número racional não inteiro.

6) Dado que r é um número racional e Y um número irracional, é verdade que:

a) x·Y é racional
b) Y² é racional
c) x·Y pode ser racional
d) x·Y é irracional
e) x + Y é racional

7) Numa prova de matemática de duas questões, 35 alunos acertaram somente uma questão, 31 acertaram a primeira, 8 acertaram as duas e 40 erraram a segunda questão. Então, o número de alunos que fizeram essa prova foi:

a) 43                            b) 48                           c) 52                         d) 56                             e) 60

8) Dado os conjuntos A = {1, 2, 3} e B = {2, 3, 4, 5, 6} efetue:

a) L = A U B               b) M = A ∩ B                    c) N = A – B                d) O = B – A 

9) Descreva o conjunto das partes do seguinte conjunto A = {-5, 7, 11, 14}:

P(A) = { {-5}, {7}, {11}, {14}, {-5, 7}, {-5,11}, {-5, 14}, {7, 11}, {7, 14}, {11, 14}, {-5, 7, 11}, {-5, 7, 14},

{-5, 11, 14}, {7, 11, 14}, {-5, 7, 11, 14}} 

10) (Fameca-SP) Se ,  e  então,  é:

a) {0}                     b) {4}                      c) {0,4}                       d) {0,1,2,3,4}                 e) {0,1,2,3,4,5}

11) (FUVEST) O número  não pertence ao intervalo aberto de extremos -1 e 2. Sabe-se que  ou . Pode-se concluir que:

•   ou .
• ou .
• ou .
• .
• .

   a) I                             b) V                          c) IV                             d) III                              e) II

12) (UFG) Sejam os conjuntos:  e . Sobre esses conjuntos, pode-se afirmar:

• .
•  é o conjunto dos números pares.
• .

a) II e III, apenas.          b) I, II, III             c) II, apenas.        d) III, apenas        e) I e II, apenas

13) (UFRN)  e , então é correto afirmar que o conjunto  é:

a) [-3, 2[             b) [-3, 0] U ]1, 2[.        c) ]0, 1]         d) ]-∞, -3[ U [2, ∞[.      e) [-3, 0] U [1, 2[.

14) (CEFET - AL) Em relação aos principais conjuntos numéricos, é CORRETO afirmar que:

a) Todo número racional é natural, mas nem todo número natural é racional.

b) Todo número inteiro é natural, mas nem todo número natural é inteiro.

c) Todo número real é natural, mas nem todo número natural é real.

d) Todo número racional é inteiro, mas nem todo número inteiro é racional.

e) Todo número irracional é real.

15) (FATEC) Sejam a e b números irracionais.

Dada as afirmações:

I) a.b é um número irracional.
II) a + b é um número irracional.
III) a - b pode ser um número racional.

Podemos concluir que:

a) as três são falsas.
b) as três são verdadeiras.
c) somente I e III são verdadeiras.
d) somente I é verdadeira.
e) somente I e II são falsas.

16) (PUC-MG) Se, A=]-2;3] e B=[0;5] então os números inteiros que estão em B - A são:

a) -1 e 0                b) 1 e 0                   c) 4 e 5                     d) 3, 4 e 5                    e) 0, 1, 2 e 3

17) Considerando os conjuntos U = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}, A = {1, 2}, B = {2, 3, 4}, C = {4, 5} determine (U – A) ∩ (B U C).

Solução:

U = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}
A = {1, 2}
B = {2, 3, 4}
C = {4, 5}
(U – A) ∩ (B U C)
(U – A) → {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} – {1, 2} → {0, 3, 4, 5, 6}
(B U C) → {2, 3, 4} U {4, 5} → {2, 3, 4, 5}
(U – A) ∩ (B U C) = {0, 3, 4, 5, 6} ∩ {2, 3, 4, 5}
(U – A) ∩ (B U C) = {3, 4, 5}

18) (UFSE) Os senhores A, B e C concorriam à liderança de certo partido político. Para escolher o líder, cada eleitor votou apenas em dois candidatos de sua preferência. Houve 100 votos para A e B, 80 votos para B e C e 20 votos para A e C. Em consequência:

a) venceu A, com 120 votos.
b) venceu A, com 140 votos.
c) A e B empataram em primeiro lugar.
d) venceu B, com 140 votos.
e) venceu B, com 180 votos.

Solução:

Votos recebidos pelo candidato A = 100 + 20 = 120
Votos recebidos pelo candidato B = 100 + 80 = 180
Votos recebidos pelo candidato C = 80 + 20 = 100

Portanto, letra e.

19) (Unifap) O dono de um canil vacinou todos os seus cães, sendo que 80% contra parvovirose e 60% contra cinomose. Determine o porcentual de animais que foram vacinados contra as duas doenças. 

Solução:

80 – x + x + 60 – x = 100
140 – 2x + x = 100
– x = 100 – 140
– x = – 40
x = 40
O porcentual de animais vacinados contra as duas doenças é de 40%.
 
20) Numa classe de 30 alunos, 16 gostam de matemática e 20 de história. O número de alunos desta classe que gostam de matemática e de história é:

Solução:

Usando o teorema da inclusão, teremos:

N(M U H)  = N(M) + N(H) - N(M∩H), substituindo obteremos:
N(M U H) = 16 + 20 - N(M∩H)
N(M U H) = 36 -  N(M∩H)
Ora m ais o conjunto tem 30 alunos e isto significa que tem no máximo 30 alunos
Assim, 30 = 36 -  N(M∩H)
Logo, N(M∩H) = 6, concluímos que no mínimo 6 alunos gostam de matemática e de história.
Alternativa correta Letra D.


21) Numa república hipotética, o presidente deve permanecer 4 anos em seu cargo; os senadores, 6 anos e os deputados, 3 anos. Nessa república, houve eleição para os três cargos em1989. A próxima eleição simultânea para esses três cargos ocorrerá, novamente, em que ano?

Solução: 

 Temos que encontrar um número que é múltiplo de 3, de 4 e de 6 ao mesmo tempo, e mais, este número deverá ser o menor deles, ou seja, temos que encontrar o mínimo múltiplo comum de 3, 4 e 6. Fatorando 3 , 4 e 6 simultaneamente encontramos 2² × 3. Logo, M.M.C (3 , 4 , 6)= 12. Assim, a próxima eleição simultânea acontecerá em 1989 + 12 = 2001


22) Dez mil aparelhos de TV foram examinados depois de um ano de uso e constatou-se que 4.000 deles apresentavam problemas de imagem, 2.800 tinham problemas de som e 3.500 não apresentavam nenhum dos tipos de problema citados. Então o número de aparelhos que apresentavam somente problemas de imagem é: 
(A) 4 000                (B) 3 700                (C) 3 500                (D) 2 800            (E) 2 500

Solução:

Observe o diagrama construído com base no enunciado, onde I é o conjunto dos que apresentavam defeito na imagem, S o conjunto dos que apresentavam problemas de som e N o conjunto daqueles que não apresentavam nenhum defeito citado. Começamos sempre colocando o número de elementos da intersecção. Ao colocar o número de elementos de um conjunto, não podemos esquecer de descontar os da intersecção n(IÇS) = x.

Temos que  4000 - x + x + 2800 - x + 3500 = 10000, onde x é o números de televisores que apresentavam, ao mesmo tempo, os dois problemas citados. Segue que x = 10300 - 10000 = 300. Então o número de aparelhos que apresentavam somente problemas de imagem é 4000 - x = 4000 - 300 = 3700.

Resposta na alternativa B.

23) Em uma prova discursiva de álgebra com apenas duas questões, 470 alunos acertaram somente uma das questões e 260 acertaram a segunda. Sendo que 90 alunos acertaram as duas e 210 alunos erraram a primeira questão. Quantos alunos fizeram a prova?

Solução:

Temos que 90 acertaram as duas questões. Se 260 acertaram a segunda, então, 260 - 90 = 170 acertaram apenas a segunda questão. Se 470 acertaram somente uma das questões e 170 acertaram apenas a segunda, segue que, 470 - 170 = 300 acertaram somente a primeira. Como 210 erraram a primeira, incluindo os 170 que também erraram a primeira, temos que, 210 - 170 = 40 erraram as duas. Assim podemos montar o diagrama de Venn-Euler, onde: P1 é o conjunto dos que acertaram a primeira questão; P2 é o conjunto dos que acertaram a segunda e N é o conjunto dos que erraram as duas. Observe a interseção P1Ç P2 é o conjunto dos que acertaram as duas questões.

Logo, o número de alunos que fizeram a prova é: 300 + 90 + 170 + 40 = 600.

24) Uma editora estuda a possibilidade de lançar novamente as publicações Helena, Senhora e A Moreninha. Para isto, efetuou uma pesquisa de mercado e concluiu que em cada 1000 pessoas consultadas: 600 leram A Moreninha; 400 leram Helena; 300 leram Senhora; 200 leram A Moreninha e Helena; 150 leram A Moreninha e Senhora; 100 leram Senhora e Helena; 20 leram as três obras; Calcule: 

a) O número de pessoas que leu apenas uma das obras. 

b) O número de pessoas que não leu nenhuma das três obras. 

c) O número de pessoas que leu duas ou mais obras.

Solução:

Começamos sempre colocando no diagrama o número de elementos da intersecção. Ao colocar o número de elementos de um conjunto, não podemos esquecer de descontar os da intersecção

200 - 20 = 180 ; 150 - 20 = 130 ; 100 - 20 = 80 ; 600 - 180 - 20 - 130 = 270 ; 400 - 180 - 20 - 80 = 120 ; 300 - 130 - 20 - 80 = 70. 270 + 180 + 120 + 130 + 20 + 80 + 70 = 870 Assim: a) O número de pessoas que leu apenas uma das obras é 270 + 120 + 70 = 460 b) O número de pessoas que não leu nenhuma das três obras é x = 1000 - 870 = 130 ; c) O número de pessoas que leu duas ou mais obras é 180 + 20 + 130 + 80 = 410

25) (FATEC) Para a identificação de pacientes com sintomas de gripe influenza A, a Anvisa (Agência Nacional de Vigilância Sanitária) informou hoje que os voos procedentes do Reino Unido, Espanha e Nova Zelândia também serão inspecionados por uma equipe da agência e por médicos da Empresa Brasileira de Infraestrutura Aeroportuária (Infraero). 
Inicialmente, apenas os voos vindos do México, Canadá e Estados Unidos eram inspecionados. A decisão foi tomada durante reunião da Anvisa com representantes das companhias aéreas, da Agência Nacional de Aviação Civil (Anac) e da Infraero, no Aeroporto Internacional de Cumbica, em Guarulhos, na Grande São Paulo.
(Adaptado de: http://noticias.uol.com.br/cotidiano/2009/04/28/ult5772u3774.jhtm, Acesso em: 09.05.2009.)

Em um voo proveniente de Miami, a Anvisa constatou que entre todas as pessoas a bordo (passageiros e tripulantes) algumas haviam passado pela cidade do México. No diagrama, U representa o conjunto das pessoas que estavam nesse voo; P o conjunto dos passageiros; M o conjunto das pessoas que haviam passado pela cidade do México e A o conjunto das pessoas com sintomas da gripe influenza A. Considerando verdadeiro esse diagrama, conclui-se que a região sombreada representa o conjunto das pessoas que, de modo inequívoco, são aquelas caracterizadas como:

(A) passageiros com sintomas da gripe que não passaram pela cidade do México.
(B) passageiros com sintomas da gripe que passaram pela cidade do México.
(C) tripulantes com sintomas da gripe que passaram pela cidade do México.
(D) tripulantes com sintomas da gripe que não passaram pela cidade do México.
(E) tripulantes sem sintomas da gripe que passaram pela cidade do México.

Solução:

No diagrama, a região sombreada está fora do conjunto P, logo, não representa passageiros, e sim tripulantes. Como essas pessoas estão dentro do conjunto A e do conjunto M (dentro do conjunto interseção AÇM), então, a região sombreada representa tripulantes com sintomas da gripe que passaram pela cidade do México (alternativa C).

26) Uma pesquisa realizada com 1000 pessoas, quanto ao tipo de equipamento com que acessam a Internet, constatou que:

• 150 pessoas utilizam celular e tablet;

• 200 pessoas utilizam computador portátil e tablet;

• 300 pessoas utilizam computador portátil e celular;

• 300 pessoas utilizam tablet;

• 600 pessoas utilizam computador portátil;

• 650 pessoas utilizam celular;

• 75 utilizam computador portátil, celular e tablet.

Tomando por base os dados desta pesquisa, é correto afirmar que o número de pessoas que acessam a Internet, utilizando outros meios, é:

a) 275

b) 225

c) 175

d) 75

e) 25

Solução:

C - conjunto de pessoas que utilizam o celular

PC - conjunto de pessoas que utilizam o computador

T - conjunto de pessoas que utilizam o tablet

n(C ∩ T) = 150

n(PC ∩ T) = 200

n(PC ∩ C) = 300

n(PC ∩ C ∩ T) = 75

n(T) = 300

n(PC) = 600

n(C) = 650

C ∪ PC ∪ T = n(C) + n(PC) + n(T) - n(C ∩ T) - n(PC ∩ T) - n(PC ∩ C) + n(PC ∩ C ∩ T)

C ∪ PC ∪ T = 150 + 300 + 600 + 650 - 750 - 200 - 300 + 75 .:. C ∪ PC ∪ T = 975

Número de pessoas que não usa nenhum dos três meios de acesso a internet:

1000 - C ∪ PC ∪ T = 1000 - 975 = 25 pessoas

Alternativa E.

Gabarito: 

 1) 

 2) C

 3) V, V, F, V  

 4)  não pertence ao conjunto dos números racionais (  ), inteiros (  ) e naturais (  ).   

5) A   

6) C     

7) E   

8) a) A U B = {1, 2, 3, 4, 5, 6} b) A ∩ B = {2, 3}  c) A - B = {1}    d) B - A = {4, 5, 6}        

9) P(A) = { {-5}, {7}, {11}, {14}, {-5, 7}, {-5,11}, {-5, 14}, {7, 11}, {7, 14}, {11, 14}, {-5, 7, 11}, {-5, 7, 14}, {-5, 11, 14}, {7, 11, 14}, {-5, 7, 11, 14}}      

10) C   

11) A  

12) B  

13) B  

14) E  

15) E  

16) C

17) {3, 4, 5}

18) E

19) 40%

20) D

21) 2001

22) B

23) 600

24) a) 460   b) 870   c) 410

25) C

Fontes: exercicios.brasilescola.com/matematica/

            www.profezequias.net/conjuntos.html