múltiplos e divisores de um numero natural questões e teoria

Artigo sobre múltiplos e divisores de um número natural com questões de fixação.

Divisor de um número natural

Um número é divisor de outro quando o resto da divisão for igual a 0. Portanto,

12 é divisível por 1, 2, 3, 4, 6 e 12.
36 é divisível por 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 e 36.
48 é divisível por 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 e 48.

Observações importantes:

 O menor divisor natural de um número é sempre o número 1.

 O maior divisor de um número é o próprio número.

 O zero não é divisor de nenhum número.

 Os divisores de um número formam um conjunto finito.

Alguns números têm apenas dois divisores: o 1 e ele mesmo. Esses números são chamados de primos. Observe os números primos de 1 a 100 destacados no crivo de Eratóstenes:

Múltiplos de um número

MÚLTIPLO
   Um número natural é múltiplo de um outro , quando a sua divisão por esse outro é exata. Assim, 21 é múltiplo de 3 e 7 pois:    

 a)          21 : 3 =  7                                          b)       21 :  7  =  3

DEFINIÇÃO:MÚLTIPLO  de um número é  o produto desse número por um número natural qualquer.
Dessa forma, para se obter os múltiplos de um número, basta multiplicá-lo suessivamente pelos termos da sequencia natural dos números. Como essa sequencia é ilimitada, concluí-se que:

1. Todo  número tem uma infinidade de múltiplos.
2. Excluindo o zero,o menor múltiplo de um número é o próprio número. Exemplos: 

• Os múltiplos de 2  são :  M (2) =  {0, 2, 4, 6, 8, 10 ...}
• Os múltiplos de 5  são  : M (5) =  {0, 5, 10, 15, 20, ...}

questões sobre múltiplos e divisores de um número natural

1) Um conjunto possui 18 elementos. Quantas são as possibilidades existentes para se dividir esse conjunto em grupos com quantidades iguais de elementos?

a) 6

b) 5

c) 4

d) 3

 2) O número cuja fatoração completa é igual a 2 x 3 x 5 é divisível pelo números abaixo, exceto :

a) 2

b) 6

c)15

d)18

3) Utilizando a fatoração completa do número 204 podemos dizer que ele é divisível pelo números abaixo, exceto :

a) 4

b) 12

c) 17

d) 9

4) Todas as afirmativas abaixo são verdadeiras, EXCETO:

a) Todo número natural é múltiplo de 1.
b) O número 1 só não é múltiplo de si mesmo.
c) Todo número natural é múltiplo de si mesmo.
d) O Zero é múltiplo de qualquer número natural

5) Determine:

a) A soma dos 5 menores múltiplos de 7
b) A soma dos 7 menores múltiplos de 10
c) A soma dos 5 menores múltiplos ímpares de 7
d) A diferença entre a soma dos 5 primeiros múltiplos pares de 6 e a soma dos 4 primeiros múltiplos ímpares de 6.

6) Dentre os múltiplos de 3 inferiores a 200. Determine quantos terminam em 5 .

7) O produto de 3 múltiplos consecutivos de um número é 30 720. Determine esses 3 números. 

8) A soma de 4 múltiplos consecutivos de um número é 350. Determine todas as respostas possíveis para esses 4 números. 

9) Para obter os divisores de um número natural a, basta saber quais os elementos que, multiplicados entre si, têm por resultado o número a. Com base nessa afirmação, obtenha o conjunto de divisores de cada um dos números: 13, 18. 25, 32 e 60.

10) O número 5 é divisor do número 16? Justifique a sua resposta

Gabarito:
1) A     2) D     3) D    4) B     5) a) 70 b) 210 c) 15        6) 15 - 45 - 75 - 105 - 135 - 165 - 195
7) 24 - 32 - 40       8) 80 - 85 - 90 - 95 ou 77 - 84 - 91 - 98 ou 50 - 75 - 100 - 125 ou 35 - 70 - 105 - 140        
 9) D(13)={1,13}, D(18)={1,2,3,6,9,18}, D(25)={1,5,25}, D(60)={1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60} e D(32)={1,2,4,8,16,32}. Obtivemos apenas alguns números naturais que, multiplicados entre si, têm por resultado 32:  1×32=32; 2×16=32; 4×8=32, 8×4=32, 16×2=32, 32×1=32.
10) Não, porque não existe qualquer número natural que multiplicado por 5 seja igual a 16.

decomposição em fatores primos questões e teoria

Os números primos são trabalhados pela humanidade há uma longa data. Existem indícios de que o povo egípcio já possuía conhecimento acerca desses números, entretanto foi na Grécia que estudos mais aprofundados sobre os números primos foram realizados. 

Nesses estudos, descobriu-se que todo número natural é formado pela multiplicação de números primos, ou seja, ele pode ser decomposto em fatores primos.

A decomposição em fatores primos auxilia na realização dos cálculos do MDC (Máximo Divisor Comum) e do MMC (Mínimo Múltiplo Comum). Dessa forma, veremos o método para obter a decomposição de números primos.

Para realizar a decomposição de um número, deveremos encontrar números primos que dividem o número a ser decomposto. Realizaremos sucessivas divisões até que o número se torne igual a 1. Por fim, selecionaremos os divisores de todas as divisões e escreveremos esses números multiplicados uns pelos outros. Este é um processo inicial, logo mais veremos a decomposição de forma mais prática.

Como exemplo vamos decompor o número 48 num produto:

48 = 8 x 6

48 = 2 x 2 x 2 x 6

48 = 2 x 2 x 2 x 2 x 3 = 2^4 x 3  no produto 2 x 2 x 3 x 3 todos são fatores primos

Chamamos de fatoração de 48 a decomposição de 48 num produto de fatores primos. Então a fatoração de 24 é 2³ x 3.

Regra prática para a fatoração

      

  Existe um dispositivo prático para fatorar um número. Acompanhe, no exemplo, os passos para montar esse dispositivo:

1º) Dividimos o número pelo seu menor divisor primo;2º) a seguir, dividimos o quociente obtido pelo menor divisor primo desse quociente e assim sucessivamente até obter o quociente 1. A figura ao lado mostra a fatoração do número 630.

        Então 630 = 2 x 3 x 3 x 5 x 7.
                  630 = 2 x 3² x 5 x 7.

questões decomposição em fatores primos

1) Decomponha os números em fatores primos:

180                 220                 320                 308                 605                

616                 1008               1210               2058               3125              

4225               5040

2) Qual é o número cuja fatoração é:

 a) 2 . 2. 3 . 5 . 7

b) 3 . 3 . 5 . 5 . 7.

c) 2 . 3 . 5 . 7

d) 5 . 5 . 11 . 13

3) Usando a decomposição em fatores primos, determine:

a) m.m.c (30,75)        d) m.m.c (36,54,90)
b) m.m.c (18,60)        e) m.m.c (48,20,10,36)
c) m.m.c (66,102)

Determinação dos divisores de um número

Na prática determinamos todos os divisores de um número utilizando os seus fatores primos.

Vamos determinar, por exemplo, os divisores de 72:

1º Fatoramos o número 72.
2º Traçamos uma linha e escrevemos o 1 no alto, porque ele é divisor de qualquer número.
3º Multiplicamos sucessivamente cada fator primo pelos divisores já obtidos e escrevemos esses produtos ao lado de cada fator primo.

4º Os divisores já obtidos não precisam ser repetidos.

Então o conjunto dos divisores de 72 = {1,2,3,4,6,8,9,12,18,36,72}

M.m.c e m.d.c questões vestibular

Artigo com questões de vestibular resolvidas e propostas sobre m.m.c e m.d.c

1) Uma empresa de logística é composta de três áreas: administrativa, operacional e vendedores. A área administrativa é composta de 30 funcionários, a operacional de 48 e a de vendedores com 36 pessoas. Ao final do ano, a empresa realiza uma integração entre as três áreas, de modo que todos os funcionários participem ativamente. As equipes devem conter o mesmo número de funcionários com o maior número possível. Determine quantos funcionários devem participar de cada equipe e o número possível de equipes. 

Encontrar o MDC entre os números 48, 36 e 30.

Decomposição em fatores primos

48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3
36 = 2 * 2 * 3 * 3
30 = 2 * 3 * 5

MDC (30, 36, 48) = 2 * 3 = 6

Determinando o número total de equipes:

48 + 36 + 30 = 114 → 114 : 6 = 19 equipes

O número de equipes será igual a 19, com 6 participantes cada uma. 

2) (PUC–SP) Numa linha de produção, certo tipo de manutenção é feita na máquina A a cada 3 dias, na máquina B, a cada 4 dias, e na máquina C, a cada 6 dias. Se no dia 2 de dezembro foi feita a manutenção nas três máquinas, após quantos dias as máquinas receberão manutenção no mesmo dia. 

Temos que determinar o MMC entre os números 3, 4 e 6. 



MMC (3, 4, 6) = 2 * 2 * 3 = 12 

Concluímos que após 12 dias, a manutenção será feita nas três máquinas. Portanto, dia 14 de dezembro. 

3) Um médico, ao prescrever uma receita, determina que três medicamentos sejam ingeridos pelo paciente de acordo com a seguinte escala de horários: remédio A, de 2 em 2 horas, remédio B, de 3 em 3 horas e remédio C, de 6 em 6 horas. Caso o paciente utilize os três remédios às 8 horas da manhã, qual será o próximo horário de ingestão dos mesmos?

Calcular o MMC dos números 2, 3 e 6.

MMC(2, 3, 6) = 2 * 3 = 6

O mínimo múltiplo comum dos números 2, 3, 6 é igual a 6.

De 6 em 6 horas os três remédios serão ingeridos juntos. Portanto, o próximo horário será às 14 horas. 

4) Se x e y são números naturais em que m.m.c(y, x) = 115 e m.d.c(y, x) = 214, podemos dizer que o resto da divisão de xy por 23 é:

(A) é um número primo
(B) é um número par
(C) é maior que 100
(D) é 214
(E) é 115

5)  Se x e y são números naturais em que m.m.c(y, x) = 154 e m.d.c(y, x) = 2, podemos dizer que xy:

(A) é um número primo
(B) é um número ímpar
(C) é maior que 500
(D) é divisível por 11
(E) é múltiplo de 15

6) Se x é um número natural em que m.m.c(140, x) = 2.100 e m.d.c(140, x) = 10, podemos dizer que x:

(A) é um número primo
(B) é um número par
(C) é maior que 150
(D) é divisível por 11
(E) é múltiplo de 14

7) Um ciclista dá uma volta em torno de um percurso em 1,2 minutos. Já outro ciclista completa o mesmo percurso em 1,6 minutos. Se ambos saem juntos do ponto inicial de quantos em quantos segundos se encontrarão no mesmo ponto de partida?

(A) 120
(B) 240
(C) 280
(D) 288
(E) 360


8) Um corredor dá uma volta em torno de um percurso em 12 minutos. Já outro corredor completa o mesmo percurso em 14 minutos. Se ambos saem juntos do ponto inicial de quantos em quantos minutos se encontrarão no mesmo ponto de partida?

9) Se o mdc (máximo divisor comum) entre dois números naturais é 1 e o produto entre eles é 14, então o mmc (mínimo múltiplo comum) entre os dois números naturais é

(A) 14
(B) 140
(C) 1.400
(D) 1
(E) 0

10) Se o mmc entre dois números naturais é 2.450 e o produto entre eles é 306.250, então o mdc entre os dois números naturais é

11) Se o mmc entre dois números naturais é 15 e o mdc entre os mesmos é também 15, então o produtos entre os dois números naturais é:

(A) 340
(B) 490
(C) 280
(D) 150
(E) 225

12) Um tanque tem 210 litros e outro tanque tem 475 litros. Qual seria a capacidade máxima, em litros, de um balde (totalmente cheio) que pudesse completar o volume dos dois tanques?

(A) 1 L
(B) 2 L
(C) 3 L
(D) 5 L
(E) 15 L

13) Obter o máximo divisor comum entre os números 21 e 49

(A) 7
(B) 49
(C) 147
(D) 12
(E) 14

14) Obter o mínimo múltiplo comum entre os números 250 e 450

(A) 2.000
(B) 2.150
(C) 2.250
(D) 2.500
(E) 4.500


Gabarito:

4) B  5) D  6) B  7) D  8) E  9) A  10) C  11) E  12) D  13) A  14) C  

Máximo divisor comum (mdc)

Para estudarmos o máximo divisor comum entre dois termos, precisamos saber o que é divisor de um número. Todo número natural possui divisores, isto é, se ao dividirmos um número A pelo número B e obtermos resto zero podemos afirmar que B é divisor de A. Por exemplo: 

16 : 2 é igual a 8 e resto 0. 
25 : 5 é igual a 5 e resto 0. 

Podemos concluir que 2 e 5 são divisores de 16 e 25 respectivamente. 

Exemplos de divisores de um número: 

Divisores de: 
32 = 1, 2, 4, 8, 16, 32 
15 = 1, 3, 5, 15 
45 = 1, 3, 5, 9, 15, 45 

O MDC entre dois ou mais números é o maior divisor comum a eles. 
Exemplos: 

MDC(12,36) 
Divisores de 12 = 1, 2, 3, 4, 6, 12 
Divisores de 36 = 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36 
Podemos verificar que o maior divisor comum entre 12 e 36 é o próprio 12. 

MDC(12,24,54) 
Divisores de 18 = 1, 2, 3, 6, 9, 18 
Divisores de 24 = 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 
Divisores de 54 = 1, 2, 3, 6, 18, 27, 54 
O maior divisor comum a 12, 24 e 54 é o 6. 


Processo prático para a obtenção do máximo divisor comum 

MDC(12,36) 

Os números destacados na fatoração estão dividindo os dois números ao mesmo tempo, então devemos realizar uma multiplicação entre eles para descobrirmos o máximo divisor comum. 
2 x 2 x 3 = 12 
MDC(12,36) = 12 


MDC(70,90,120) 

O máximo divisor comum a 70, 90 e 120 = 2 x 5 = 10 

Mínimo Múltiplo Comum (mmc)

O mínimo múltiplo comum de dois ou mais números naturais é o menor múltiplo comum a todos estes números.

Denotamos o mínimo multiplo comum dos números {a, b, c, ...} por mmc(a, b, c, ...).

Em um procedimento mais rústico, para se obter o mínimo múltiplo comum entre dois ou mais números naturais, fazemos uma listagem de seus primeiros múltiplos até encontrar o menor comum.

	Exemplo — Obter mmc(10, 12, 15).
	10: {10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, ... } 12: {12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, .... } 15: {15, 30, 45, 60, 75, 90, ...} Portanto, mmc(10, 12, 15) = 60.

Cardica

Cuidado: Apenas números naturais têm m.m.c.

Outro modo de se determinar o mmc entre dois ou mais números naturais é fatorar cada um deles.

Basta multiplicar todos os fatores comuns, sendo que a quantidade de vezes que cada fator vai comparecer é a mesma que o maior comparecimento em pelo menos uma ocasião dos números fatorados.

	Exemplo — Obter mmc(24, 36).
	24 = 2 · 2 · 2 · 3 36 = 2 · 2 · 3 · 3 Veja quais são os fatores envolvidos: do 'tipo' {2} e do 'tipo' {3}. Quantas vezes cada 'tipo' de fator compareceu no 24 e no 36:   {2} {3} 24 3 vezes 1 vez 36 2 vezes 2 vezes O mmc(24,36) será o produto de todos os fatores envolvidos, na maior quantidade envolvida (em pelo menos uma das fatorações). Ou seja: {2} {3} 3 vezes     2 vezes Portanto, mmc(24, 36) = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 = 72

	Exemplo — Obter mmc(30, 56, 70).
	30 = 2 · 3 · 5 56 = 2 · 2 · 2 · 7 70 = 2 · 5 · 7 Veja quais são os fatores envolvidos: do 'tipo' {2}, do 'tipo' {3}, do 'tipo' {5} e do 'tipo' {7}. Quantas vezes cada 'tipo' de fator compareceu no 24 e no 36:   {2} {3} {5} {7} 30 1 vez 1 vez 1 vez 0 vezes 56 3 vezes 0 vezes 0 vezes 1 vez 70 1 vez 0 vezes 1 vez 1 vez O mmc(30, 56, 70) será o produto de todos os fatores envolvidos, na maior quantidade envolvida (em pelo menos uma das fatorações). Ou seja:   {2} {3} {5} {7} 30   1 vez 1 vez   56 3 vezes     1 vez 70     1 vez 1 vez Portanto, mmc(30, 56, 70) = 2 · 2 · 2 · 3 · 5 · 7 = 840

Eventualmente, o mdc (máximo divisor comum) é mais fácil de ser obtido que o mmc (mínimo múltiplo comum) e podemos usar esta relação válida entre mdc e mmc de números naturais:

mmc(x,y,z,...)=x⋅y⋅z⋅...mdc(x,y,z,...)

	Exemplo — Obter mmc(24, 36).
	24 = 2 · 2 · 2 · 3 36 = 2 · 2 · 3 · 3 Temos que mdc(24, 36) = 12 (ver m.d.c.) Assim, mmc(24, 36) = 24 · 36 : mdc(24, 36) mmc(24, 36) = 24 · 36 : 12 mmc(24, 36) = 24 · 36 : 12 = 72

	Exemplo — Obter mmc(1024, 7).
	Temos que mdc(1024, 7) = 1 (ver m.d.c.) pois são primos entre si. Vai ficar bem mais rápido usar: mmc(x,y,z,...)=x⋅y⋅z⋅...mdc(x,y,z,...) Assim, mmc(1024,7)=1024⋅7mdc(1024,7)=1024⋅71=1024⋅7=7168

Cardica

Quando dois ou mais números naturais são primos entre si (isso significa que o mdc entre eles é 1), o mmc entre eles será o resultado da multiplicação simples entre eles.

Exemplos:

mmc(6, 35) = 6 · 35 = 210.

mmc(14, 45) = 14 ·45 = 630.

mmc(8, 27, 25) = 8 · 27 · 25 = 5400.

Fonte: www.mundoeducacao.com
            www.profcardy.com/