Distância entre ponto e reta questões vestibular

Artigo sobre distância entre ponto e reta com questões de vestibulares resolvidas.

Distância entre ponto e reta

Vamos realizar o estudo analítico da distância entre um ponto e uma reta no plano cartesiano.

Considere um ponto P(x_o, y_o) e uma reta s de equação s: ax + by + c = 0.

Existem várias distâncias entre o ponto P e a reta s, assim como existem vários caminhos até um destino. Mas para nós interessa somente a menor distância.

A distância entre P e t é dada pela fórmula:

Onde, a, b e c são os coeficientes da equação da reta s e x_o e y_o são as coordenadas do ponto P.

 questões sobre Distância entre ponto e reta

 1) Determine a que distância está o ponto A(– 2, 3) da reta t: 4x + 3y – 2 = 0.

Solução: Da equação da reta t, obtemos: a = 4, b = 3 e c = – 2.

Segue que:

2) A distância do ponto P(1. Y) até a reta s: x + y = 0 é de √2/2. Determine o valor de y.

Solução: 

Da equação da reta s, obtemos: a = 1, b = 1 e c = 0.

Segue que:

Portanto, o ponto P pode ter coordenadas (1, 0) ou (1, – 2)

3) (Cesgranrio-RJ) O ponto A(–1, –2) é um vértice de um triângulo equilátero ABC, cujo lado BC está sobre a reta de equação x + 2y – 5 = 0. Determine a medida h da altura desse triângulo. 

Solução:


4) (Fuvest-SP) Calcule a distância entre a reta r1, de equação 3y = 4x – 2, e a reta r2, de equação 3y = 4x + 8, sabendo que r1//r2.

Solução:

5) Sabendo que os vértices de um triângulo são A(1,3), B(5,0) e C(0,5), responda: 

a) Qual é a equação geral da reta AB? 

Os pontos A(1,3) e B(5,0) pertencem à reta AB e com eles podemos encontrar o coeficiente angular dessa reta e aplicá-lo na equação fundamental. 

m_AB = 0 – 3     = - 3              5 – 1          4 

y – y₀ = m (x – x₀) 
y – 0 = -3/4 (x – 5) 
y = -3/4x + 15/4 

4y = - 3x + 15 
         4 

3x + 4y – 15 = 0 

b) Calcule a medida da altura relativa ao vértice C. 

Nesse caso iremos calcular a distância do ponto C à reta AB. Substituindo os valores 0 = x₀; 5 = y₀; a = 3; b = 4; c = -15 na fórmula: . 



d = |20 – 15| 
           √25 

d = 5 = 1 
      5

Posições relativas de uma reta e um plano

Considerando um plano e uma reta, temos as seguintes posições relativas possíveis:

a) A reta não tem ponto em comum com o plano. Dizemos então que a reta é paralela ao plano. 

b) A reta tem um único ponto em comum com o plano. Dizemos então que a reta é concorrente com plano.

c) A reta tem dois pontos em comum com o plano Dizemos então que a reta está contida no plano.

As afirmações abaixo são todas verdadeiras. Interprete cada uma delas, utilizando, se necessário, o material da sua caixa de ferramentas.

a) Se uma reta é paralela a um plano, então ela é paralela ou reversa a qualquer reta do plano.

b) Se uma reta não está contida em um plano e é paralela a uma reta do plano, então ela é paralela ao plano.

posições relativas de duas retas

Posições relativas de duas retas 

. Duas retas no espaço podem possuir 3 posições relativas: 

Retas concorrentes: duas retas são concorrentes se, e somente se, possuírem um ponto em comum: 



Retas paralelas: duas retas são paralelas se, e somente se, forem coplanares e não possuírem ponto em comum: 



Obs.: um caso particular de paralelismo ocorre se as retas forem coincidentes (r ≡ s). 

Retas reversas: duas retas são reversas se, e somente se, não forem coplanares e não possuírem ponto em comum: 

 

Obs.: se houver um plano que contenha a reta r e que forme um ângulo de 90^o com a reta s, as retas serão reversas e ortogonais.

Postulados de Euclides 

Duas coisas iguais somadas com uma terceira são iguais entre si.

Se adicionarmos parcelas iguais a quantidades iguais, as somas continuarão iguais.

Se as mesmas quantidades forem subtraídas de quantidades iguais, os restos continuarão a ser iguais.

Situações que se coincidem são iguais umas com as outras.

O todo é maior que as partes.

posições relativas

As figuras planas e espaciais são formadas pela intersecção de retas e planos pertencentes ao espaço. Dentre as posições relativas, podemos destacar:

Posições relativas de duas retas 

Duas retas no espaço podem possuir 3 posições relativas: 

Retas concorrentes: duas retas são concorrentes se, e somente se, possuírem um ponto em comum: 



Retas paralelas: duas retas são paralelas se, e somente se, forem coplanares e não possuírem ponto em comum: 



Obs.: um caso particular de paralelismo ocorre se as retas forem coincidentes (r ≡ s). 

Retas reversas: duas retas são reversas se, e somente se, não forem coplanares e não possuírem ponto em comum: 

 

Obs.: se houver um plano que contenha a reta r e que forme um ângulo de 90^o com a reta s, as retas serão reversas e ortogonais.

Uma reta e um plano poderão ter as seguintes posições relativas:

Reta paralela ao plano: considere uma reta t e um plano β, eles serão paralelos se não tiverem nenhum ponto em comum.

Reta contida no plano: considerando uma reta t e um plano β. t está contido em β se todos os infinitos pontos de t pertencerem a β.

Retas e planos secantes ou concorrentes: a reta t será concorrente ao plano β se possuírem um ponto em comum.

Posição entre dois planos

Dois planos irão assumir no espaço as seguintes posições relativas entre si:

Planos paralelos: dois planos são considerados paralelos se não possuírem pontos em comum ou se uma reta pertencente ao plano α (alfa) for paralela a uma reta pertencente ao plano β (beta).

       α ∩ β = ∅

Planos secantes: dois planos são secantes quando forem distintos e a intersecção entre eles formar uma reta.

    α ∩ β = r

Planos coincidentes: planos coincidentes equivalem a um mesmo plano, ou seja, todos os seus infinitos pontos e planos pertencem ao outro.

Determinação de um plano

Determinação de um plano

É possível determinar um plano de quatro maneiras. Vejamos: 

1º caso:

Três pontos não-colineares determinam um ponto.

Se A, B e C são pontos não-colineares, então... existe só um plano tal que: A ∈ , B ∈ e

 C ∈ .

2º caso:

Um plano fica determinado por uma reta e um ponto fora dela.

Se A é um ponto fora da reta r, então... existe só um plano  tal que: A ∈  e que r ⊂ .

3º caso:

Duas retas paralelas determinam um plano.

Se as retas r e s são paralelas, então... existe só um plano tal que: r ⊂ e s ⊂ .

4º caso:

Duas retas concorrentes determinam um plano.

Assim:

Se r e s são concorrentes, ou seja, r ∩   e s ⊂ .

Exercício de fixação

1) Lembrando que um plano fica determinado por três de seus pontos, não-colineares, identifique as sentenças verdadeiras.

a) Por uma reta e um ponto passa um e um só ponto.

b) Por uma reta e um ponto fora dela passa um e um só ponto.

c) Por duas retas quaisquer passa um e um só plano.

d) Por duas retas paralelas quaisquer passa um e um só plano.

e) Por duas retas reversas quaisquer passa um e um só plano.

f) Por duas retas concorrentes quaisquer passa um e um só plano.

axiomas de Euclides

Na geometria, as ideias de ponto, reta e plano são consideradas como conceitos primitivos, ou seja, sabemos o que cada uma significa, mas não as definimos. Habitualmente, usamos a seguinte notação:

• pontos: letras maiúsculas do nosso alfabeto 

• retas: letras minúsculas do nosso alfabeto

   

• planos: letras minúsculas do alfabeto grego

Observação: Espaço é o conjunto de todos os pontos.

Por exemplo, da figura a seguir, podemos escrever:

 Axiomas

      Axiomas, ou postulados (P), são proposições aceitas como verdadeiras sem demonstração e que servem de base para o desenvolvimento de uma teoria.

     Temos como axioma fundamental:existem infinitos pontos, retas e planos.

P1) Por um único ponto passam infinitas retas.

P2) Por dois pontos distintos A e B passa uma única reta.




P3) Para determinarmos um plano necessitamos de pelo menos três pontos.


P4) Se dois pontos distintos de uma reta pertencem a um plano, então todos os pontos dessa reta pertencem ao plano. 



P5) Existem infinitos pontos dentro e fora de um plano

Postulados sobre o plano e o espaço

P6) Por três pontos não-colineares passa um único plano.

P7) O plano é infinito, isto é, ilimitado.

P8) Por uma reta pode ser traçada uma infinidade de planos.

P9) Toda reta pertencente a um plano divide-o em duas regiões chamadas semiplanos.

P10) Qualquer plano divide o espaço em duas regiões chamadas semi-espaços.

Posições relativas de duas retas 

. Duas retas no espaço podem possuir 3 posições relativas: 

Retas concorrentes: duas retas são concorrentes se, e somente se, possuírem um ponto em comum: 



Retas paralelas: duas retas são paralelas se, e somente se, forem coplanares e não possuírem ponto em comum: 



Obs.: um caso particular de paralelismo ocorre se as retas forem coincidentes (r ≡ s). 

Retas reversas: duas retas são reversas se, e somente se, não forem coplanares e não possuírem ponto em comum: 

 

Obs.: se houver um plano que contenha a reta r e que forme um ângulo de 90^o com a reta s, as retas serão reversas e ortogonais.

Postulados de Euclides 

Duas coisas iguais somadas com uma terceira são iguais entre si.

Se adicionarmos parcelas iguais a quantidades iguais, as somas continuarão iguais.

Se as mesmas quantidades forem subtraídas de quantidades iguais, os restos continuarão a ser iguais.

Situações que se coincidem são iguais umas com as outras.

O todo é maior que as partes.