Cones questões vestibular

Artigo sobre áreas e volume de um cone, classificação dos cones com questões resolvidas  para um melhor um melhor melhor aprendizado.

Cones

Dado um círculo de centro O e raio R no plano B, e um ponto P fora do plano. O cone será formado por segmentos de reta unindo o ponto P aos pontos do círculo.

Outra forma de construir o cone é através da revolução do triângulo retângulo sobre um eixo vertical.

Elementos do cone 

g: geratriz do cone
h: altura do cone
r: raio da base
v: vértice 

Classificação do cone

Um cone é classificado segundo a inclinação do eixo VO:

 - oblíquo: quando o eixo é oblíquo à base.

- reto: quando o eixo VO é perpendicular à base;

            

Todo cone reto pode ser obtido pela rotação de um triângulo em torno de um de seus catetos. Por isso o cone reto também é chamado de cone de revolução.

Observe que o cateto contido no eixo é a altura h do cone; o outro cateto é o raio da base R e a hipotenusa é a geratriz do cone. Observe, ainda, que, um cone reto, vale, pelo teorema de Pitágoras, a seguinte relação:

 

Observações

1. A seção meridiana de um cone reto é um triângulo isósceles que tem por base o diâmetro do cone e, por altura, a altura do cone. No caso particular de a seção meridiana ser um triângulo equilátero, o cone é chamado cone equilátero.

Áreas de um cone circular reto

Área da base
Por ser uma circunferência, a área da base de um cone é dada pela seguinte expressão:
 Ab = π * R²

Área da lateral
A área lateral do cone é dada pela seguinte expressão:

Al = π * r * g

Área total 
É dada somando-se a área lateral e a área da base. 
At = Al + Ab 
At = π r (g+r) 

At = π * R * (g + R)

Exemplo:

Um cone circular reto tem 12 cm de raio e 16 cm de altura. Determinar a área lateral e a área total desse cone.

Solução:

Cálculo da geratriz:

g² = h² + r²  ► g² = 16² + 12² ► g² = 400  ►  g = 20

Cálculo da área lateral:

Al = πrg  ►  Al = π * 12 * 20 ► Al = 240π

A área lateral é 240π cm²

Cálculo da área total:

At = π*r (g + r) ► At = π * 12 * (20 + 12) ► At = 384π 

A área total é 384π cm².

Volume de um cone 

O volume do cone é dado pelo produto da área da base pela altura divido por três. 
V = (Πr²h)/3

Exemplo:

Calcular o volume de um cone que tem 12 cm de altura, e o comprimento da circunferência de sua base é 8π cm.

Solução:

O comprimento de uma circunferência de raio r é dado por C = 2 π r.

Então: 2*π*r = 8π ► r = 4

V = 1/3 * π * 4² * 12 ► V = 64π

O volume é 64π cm³.

Exercícios resolvidos sobre cones

1) A geratriz de um cone circular reto mede 20 cm e forma um ângulo de 60 graus com o plano da base. Determinar a área lateral, área total e o volume do cone.

sen(60^o) = h/20
(1/2)  = h/20
h = 10 R[3] cm
V = (1/3) A_base h
V = (1/3) π r² h

(1/3) π 10² 10 = (1/3) 1000  π cm³

r = 10 cm; g = 20 cm
A_lat =π r g = π 10 20 = 200π cm²

A_total = A_lat + A_base
A_total = π r g + π r² = π r (r+g)

A_total =  π 10 (10+20) = 300π cm²

2.  A hipotenusa de um triângulo retângulo mede 2cm e um dos ângulos mede 60 graus. Girando-se o triângulo em torno do cateto menor, obtem-se um cone. Qual é o seu volume?

sen(60^o) = R/2
(1/2)  = R/2
R = cm

g² = h² + R²
2² = h² + 3
4 = h² + 3
h = 1 cm

V = (1/3) A_base h = (1/3) Pi R² h = (1/3) Pi 3 = Pi cm³

2) As áreas das bases de um cone circular reto e de um prisma quadrangular reto são iguais. O prisma tem altura 12 cm e volume igual ao dobro do volume do cone. Determinar a altura do cone.

h_prisma = 12
A_{base do prisma} = A_{base do cone} = A
V_prisma = 2 V_cone
A h_prisma = 2(A h)/3
12 = 2.h/3
h=18 cm

3) Anderson colocou uma casquinha de sorvete dentro de uma lata cilíndrica de mesma base, mesmo raio R e mesma altura h da casquinha. Qual é o volume do espaço (vazio) compreendido entre a lata e a casquinha de sorvete?

V = V_cilindro - V_cone
V = A_base h - (1/3) A_base h
V =  π R² h - (1/3) π R² h

V = (2/3) Pi R² h cm³

^{4) Qual a altura de um cone circular reto cujo raio da base mede 5 cm e cuja geratriz mede 13 cm².}

^Solução:

^{g² = h² + r²}

^{h² + 5² = 13²}

^{h² = 144}

^{h = 12 cm}

5) (Fuvest – SP) Um cone circular reto está inscrito em um paralelepípedo reto retângulo, de base quadrada, como mostra a figura.

A razão b a entre as dimensões do paralelepípedo é 3/2 e o volume do cone é π. Determine o comprimento g da geratriz do cone.

Solução:

                

6) Um cone possui diâmetro da base medindo 24 cm, geratriz 20 cm e altura igual a 16 cm. Determine sua área total e seu volume.

Solução:

Área total
A = π * r * (g + r)
A = 3,14 * 12 * (20 + 12)
A = 3,14 * 12 * 32
A = 1 205,76 cm²

Volume

7) Um cone possui raio da base medindo 4 cm e altura igual a 10 cm. Determine a altura de um líquido que ocupa nesse cone o volume de 100 cm³.

Solução:

8) A casquinha de um sorvete tem a forma de um cone reto. Sabendo que o raio da base mede 3cm e a

altura é de 12cm. Qual é o volume da casquinha? Resp. → V = 113,040m

Solução:

A base do cone é um círculo de área: Ab = πx r² ≈ 3,14 x 9 = 28,26cm². Como o volume da casquinha é dado por V = 1/3 x Ab x h = 1/3 x 28,26 x 12, temos: V ≈ 113,097cm³.

9) Qual é o volume de um cone circular reto, se a área da superfície lateral é 50π cm² e o raio da base mede 5 cm.

10) (UNIFOR-CE) Em um cone reto, a área da base é 9π cm² e a geratriz mede 3√10 cm. O volume desse cone, em centímetros cúbicos, é:

a) 27π                  b) 36π                 c) 48π                   d) 54π                   e) 81π

11) (UEMA) O volume de um cone equilátero que tem como área da base Ab = 12π  m² é:

a) 72π  m³            b) 24π  m³            c) 36π  m³              d) 28π m³            e) 40π  m³

12) (UFPI) Se 8π cm² é a área lateral de um cone circular reto cujo raio da base é 2 cm, então a altura desse cone, em cm, é:

a) √2                   b) √3                   c) √6                     d) 2√2                  e) 2√3

13) (ITA-SP) Um prisma hexagonal regular tem como altura o dobro da aresta da base A. A razão entre o volume desse prisma e o volume do cone reto, nele inscrito, é igual a:

a) 6√2 /  π              b) 9√2 / π                 c) 3√6 / π               d) 6√3 / π           e) 9√3 / π

14) (MACKENSIE-SP) A planificação da superfície lateral de um cone é um semicírculo de raio 10√3. O volume do cone é:

a) 357π                    b) 573π                 c) 375π                 d) 537π                e) 735π

Gabarito:

9) 125 √3π/3     10) A   11) B   12) E    13) D   14) C

Cilindro questões de vestibular

Cilindro

Consideremos um círculo de centro O e raio r num plano , e um segmento de reta , cuja reta suporte intercepta em Q. Temos segmentos de reta paralelos e congruentes a , cada um deles com uma das extremidades num ponto do círculo e a outra extremidade num mesmo semi-espaço dos determinados por ele. A reunião de todos esses segmentos é um sólido chamado cilindro.

Elementos de um cilindro

Considerando o cilindro representado abaixo, temos:

a) os círculos de centros O e O’ e o raio r situados em planos paralelos são as bases do cilindro;

b) os segmentos paralelos a OO com as extremidades em pontos das circunferências das bases são as geratrizes (g);

c) a reta OO «é o eixo do cilindro;

d) a distância entre os planos das bases é a altura (h) do cilindro.

Classificação do cilindro

Um cilindro pode ser:

• circular oblíquo: quando as geratrizes são oblíquas às base. Nesse caso, a seção meridiana é um paralelogramo.
• circular reto: quando as geratrizes são perpendiculares às bases. Nesse caso, a seção meridiana é um retângulo. Em cilindro reto a geratriz e a altura têm a mesma medida (g = h).

      Veja:

      O cilindro circular reto é também chamado de cilindro de revolução, por ser gerado pela rotação completa de um retângulo por um de seus lados. Assim, a rotação do retângulo ABCD pelo lado gera o cilindro a seguir:

      A reta  contém os centros das bases e é o eixo do cilindro.

Cilindro equilátero 

O cilindro que possui as seções meridianas quadradas é chamado de cilindro equilátero. 
No cilindro equilátero a altura é igual ao diâmetro da base: h = 2r. 

Área Lateral e Área total de um cilindro circular reto

A superfície de um cilindro reto de altura h e raio da base r é equivalente à reunião de uma região retangular, de lados 2πr e h, com dois círculos de raio r. Observe a planificação do cilindro.

A área do retângulo equivalente à superfície lateral do cilindro é a área lateral Aℓ do cilindro, ou seja:

Aℓ = 2*π*r*h

A área total At do cilindro é igual à soma da área lateral Aℓ com as áreas das duas bases, ou seja:

At = 2*π*r*h + π*r² + π*r² → At = 2*π*r*h + 2π*r² 

Volume do cilindro circular

O volume V de um cilindro circular de altura h e raio da base r é igual ao produto da área da base, πr2, pela altura h, isto é:

V = π*r²*h 

Questões de vestibular sobre cilindros

1) (Vunesp – SP) Um tanque subterrâneo, que tem o formato de um cilindro circular reto na posição vertical, está completamente cheio com 30 m³ de água e 42 m³ de petróleo. Considerando que a altura do tanque é de 12 metros, calcule a altura da camada de petróleo.

Solução:

Calculado o raio do cilindro

Calculando a altura da camada de petróleo

A camada de petróleo tem uma altura de 7 metros.

2) (UFG) Um produtor de suco armazena seu produto em caixas, em forma de paralelepípedo, com altura de 20 cm, tendo capacidade de 1 litro. Ele deseja trocar a caixa por uma embalagem em forma de cilindro, de mesma altura e mesma capacidade. Para que isso ocorra, qual deve ser o raio da base dessa embalagem cilíndrica?

Solução: 

Volume do paralelepípedo

V = c * l * h
c = comprimento da base
l = largura da base
h = altura
Nesse caso, ele não informou as medidas das dimensões do paralelepípedo, dessa forma consideremos todas iguais a l, então:
V = l * l * h

1 litro corresponde a 1 000 cm³, assim temos:

1000 = l * l * 20
1000 / 20 = l²
50 = l²

Volume do cilindro
V = π * r² * h

Volume da embalagem em paralelepípedo = Volume da embalagem cilíndrica

As alturas também são iguais, medindo 20 cm.

O raio da embalagem terá a seguinte medida:  .

3) (Cefet – SP) A figura indica o tambor cilíndrico de um aquecedor solar com capacidade de 1 570 litros.

Sabendo que 1 000 litros de água ocupam um volume de 1 m³ e adotado π = 3,14, determine a medida do raio r do cilindro.

Solução:

1570 litros → 1,57 m³

V = π * r² * h
1,57 = 3,14 * r² * 2
1,57 = 6,28 * r²
1,57 / 6,28 = r²
0,25 = r²
√r² = √0,25
r = 0,5 m

A medida do raio do cilindro é de 0,5 metros ou 50 centímetros.

4) Determinar o volume de um cilindro regular reto cujo raio da base mede 5 m e a altura 3 m.

Solução:

 πR²h =  π*(5)² * 3 = 75 π m²

5) Uma indústria deseja fabricar um barril de óleo com formato cilíndrico cujo raio da base deve apresentar 40 cm de comprimento e sua altura será de 1,2 m. Para fabricação desse barril, a indústria utilizará chapas metálicas. Quantos metros quadrados de chapa serão necessários para fabricar um barril? (Use π = 3,14)

Solução: 

A resolução desse problema consiste em determinar a área total desse barril, que apresenta o formato de um cilindro. Do enunciado do problema, obtemos:

h = 1,2 m

r = 40 cm = 0,4 m

St = ?

Pela fórmula da área total, temos que:

St = 2∙π∙r∙(h + r)

St = 2 ∙ 3,14 ∙ 0,4 ∙ (1,2 + 0,4)

St = 2 ∙ 3,14 ∙ 0,4 ∙ 1,6

St = 4,02 m2

Portanto, serão gastos, aproximadamente, 4,02 metros quadrados de chapa metálica para confeccionar um barril.

6) Uma lata de extrato de tomate de formato cilíndrico possui área total de 244,92 cm² de área total. Sabendo que o raio da base da lata mede 3 cm, obtenha a medida da altura dessa embalagem.

Solução: 

Pelo enunciado do problema, obtemos:
St = 244,92 cm²
h = ?
r = 3 cm

Utilizando a fórmula da área total, temos que:

7)  Determine a área total de um cilindro circular reto de 16 cm de altura e raio da base medindo 5 cm. (Use π = 3,14)

Solução: 

Pelo enunciado do problema temos os seguintes dados:

h = 16 cm

r = 5 cm

St = ?

Utilizando a fórmula da área total, obtemos:

St=2∙π∙r∙(h+r)

St = 2 ∙ 3,14 ∙ 5 ∙(16 + 5)

St = 2 ∙ 3,14 ∙ 5 ∙ 21

St = 659,4 cm2

8) (USF-SP) Um cilindro circular reto, de volume 20π cm³, tem altura de 5cm. Sua área lateral, em centímetros quadrados, é igual a:

a)10π

b)12π

c)15π

d)18π

e)20π

Solução:

Na questão, podemos obter o raio do cilindro dessa forma:

Vcilindro = πR². h

Como a questão fornece o volume e a altura:

20π=πR².5

π dos dois lados podemos cortar, ficando:

20=5R²

R²=4

R=2

Tendo o raio, temos tudo, basta encontrar a área lateral:

Alateral = 2πRh

Alateral=2π2.5

Alateral=2π10

Alateral=20πcm³

9) Determine a área total e a área lateral de um cilindro reto que tem 18 cm de altura  e raio da base, 4 cm.

10) Um cilindro reto tem área total 171π cm² e o diâmetro da sua base é 18 cm. Determine a altura do cilindro.

11) Secciona-se um cilindro reto de 31cm de raio, por um plano paralelo ao seu eixo, e distante 18,6 cm desse eixo. A área da secção obtida é 1.240cm². Determine o volume do cilindro.

12) (UFSC) Um cilindro reto tem 63π cm³ de volume. Sabendo que o raio da base mede 3cm, determine, em centímetros, a sua altura.

13) (UNIFOR-CE) Uma fábrica de embalagens recebeu um pedido para fabricar um recipiente fechado, com o formato de um cilindro circular reto e capacidade para 20 litros. Se o raio da base deve ser 25 cm, qual será aproximadamente, a altura do cilindro? Para seus cálculos considere: π = 3,14.

a) 0,1015 cm             b) 2,03 cm        c) 10,15 cm           d) 11, 5 cm         e) 15 cm


14) (UECE) Um cilindro circular reto de altura 7 cm tem volume igual a 28π cm³. A área total desse cilindro, em cm², é:

a) 30π                       b) 32π             c) 34π                 d) 36π

15) (FMU/FIAM-SP) Se triplicarmos o raio da base de um cilindro mantendo a altura, o volume do cilindro fica multiplicado por:

a) 3                        b) 6                    c) 9                     d) 12                   e) 15

16) (ITA) Num cilindro circular reto sabe-se que a altura h e o raio da base r são tais que os números π, h, r formam nessa ordem, uma progressão aritmética de soma 6π. O valor da área total cilindro é:

a) π³                  b) 2π³                  c) 15π³                d) 20π³                e) 30π³


Gabarito:

9) Al = 144 cm² e At = 176π cm²   10) h = 4,75π cm    11) 24.025 cm³    12) 7 cm    13) C    

14) D     15) C       16) E

Tetraedros regulares questões

Artigo sobre tetraedros, área e volume dos tetraedros com questões resolvidas e propostas. 

O tetraedro regular é um sólido platônico representante do elemento fogo, figura geométrica espacial formada por quatro triângulos equiláteros (triângulos que possuem lados com medidas iguais); possui 4 vértices , 4 faces e 6 arestas.

Um tetraedro regular é um poliedro regular formado por 4 triângulos equiláteros iguais. 

Características do tetraedro
Número de faces: 4.

Número de vértices: 4.

Número de arestas: 6.

Apótema e altura de um tetraedro regular

O Apótema lateral(g) de um tetraedro regular é dado pela fórmula:

 g = a/ 2

A altura de um tetraedro regular de aresta a, é dada por:

 

Área total e área lateral de um tetraedro regular

A área total de um tetraedro regular é igual a 4 vezes a área de uma face. Sendo a face um triângulo     equilátero de lado a, temos:

Aface = a²√3 / 4

Então a área total de um tetraedro regular de aresta a é dada por:

At = 4 * Aface = 4 * a²√3 / 4 

At =  a²

_{A área lateral do tetraedro regular é igual a três vezes a área de uma face. A quarta face corresponde à base da pirâmide.}

_{Então a área lateral é:}

_{Al = 3 *} a²√3 / 4

Volume do tetraedro regular

Questões tetraedros regulares

1) A aresta de um tetraedro regular mede 9 cm. calcule a medida da altura, do apótema, a área lateral e área total desse tetraedro.

Solução:

Cálculo da altura:

A medida da altura é dada por:

, onde a = 9 cm

Portanto:

h = 9√3 / 3

h = 3√3 cm.

A altura mede 3√3 cm.

Cálculo do apótema:

A medida do apótema é dada por

 g = a/ 2, com a = 9 cm.

Portanto:

 g = a/ 2  ► g = 4,5√3 cm.

O apótema mede 4,5√3 cm.

Cálculo da área lateral

A área lateral é dada por

_{Al = 3 *} a²√3 / 4 = 3 * 81√3 / 4  = 60,75√3 

A área lateral é 60,75√3 cm.

2) Calcule a área total e o volume de um tetraedro regular de 4 cm de aresta.

Solução: 

primeiro vamos calcular a área total.

3) (FUVEST-2012) Em um tetraedro regular de lado a, a distância entre os pontos médios de duas arestas não adjacentes é igual a:

a) a√3                 b) a√2                 c) a√3 / 2               d) a√2 / 2               e) a√2 / 4

Solução:

Considerando o seguinte tetraedro regular de lado :

Como a distância entre 2 arestas não adjacentes (reversas) é a medida do segmento perpendicular a ambas (no caso MN). Podemos considerar o triângulo abaixo:

4) (UFRJ) Um artesão retirou, de uma pedra com a forma inicial de um prisma triangular reto de base EBD, um tetraedro regular VABC. Observe a figura abaixo:

Considere os seguintes dados:
∙ os vértices A e V pertencem a duas faces laterais do prisma;
∙  1 m.
Determine o volume inicial da pedra.

Solução:

De acordo com a figura, as faces VBC e ABC do tetraedro regular encontram-se inscritas nas faces laterais BCFD e BCGE, respectivamente. Então, o ângulo DBE é congruente ao ângulo da seção meridiana VMA que contém o ponto M, médio de BC. Aplicando a lei dos cossenos a esse triângulo, obtém-se:

Substituindo os valores numéricos e resolvendo a equação resultante tem-se:

Como os ângulos VMA e EBD são congruentes, conclui-se que:

 

Calculando o volume do prisma:

5) A área total de um tetraedro regular é 1296√3 cm². Determine sua altura.

Solução:

A área total é dada por  a²_{, onde a é a medida da aresta.}

Então temos:

 a² ₌ 1296√3 ► a² = 1296 ► a = 36

Assim sendo, a aresta  mede 36 cm.

Como a altura é dada  por , temos:

h = 36√6 / 3 ► h = 12√6 cm

A alturas mede 12√6 cm.

  

6) (SJRP - JUNDIAÍ) Os vértices de um tetraedro regular de volume 1m³ são centros das faces de outro tetraedro regular. O volume deste outro tetraedro vale: 

a) 1 m³           b) 3m³           c) 9m³           d) 27m³             e) 81m³

7) Se a área de um tetraedro é regular é 48√3 m², qual a sua área total?

8) (LONDRINA) O tetraedro regular ABCD tem centro O. O ângulo diedro de faces OAB e OAC mede:

 a) 30°                 b) 60°             c) 120°                d) 135°                  e) 150°

Gabarito:

6) D  7) 64√3 m²  8) D