Cilindro questões de vestibular

Cilindro

Consideremos um círculo de centro O e raio r num plano , e um segmento de reta , cuja reta suporte intercepta em Q. Temos segmentos de reta paralelos e congruentes a , cada um deles com uma das extremidades num ponto do círculo e a outra extremidade num mesmo semi-espaço dos determinados por ele. A reunião de todos esses segmentos é um sólido chamado cilindro.

Elementos de um cilindro

Considerando o cilindro representado abaixo, temos:

a) os círculos de centros O e O’ e o raio r situados em planos paralelos são as bases do cilindro;

b) os segmentos paralelos a OO com as extremidades em pontos das circunferências das bases são as geratrizes (g);

c) a reta OO «é o eixo do cilindro;

d) a distância entre os planos das bases é a altura (h) do cilindro.

Classificação do cilindro

Um cilindro pode ser:

• circular oblíquo: quando as geratrizes são oblíquas às base. Nesse caso, a seção meridiana é um paralelogramo.
• circular reto: quando as geratrizes são perpendiculares às bases. Nesse caso, a seção meridiana é um retângulo. Em cilindro reto a geratriz e a altura têm a mesma medida (g = h).

      Veja:

      O cilindro circular reto é também chamado de cilindro de revolução, por ser gerado pela rotação completa de um retângulo por um de seus lados. Assim, a rotação do retângulo ABCD pelo lado gera o cilindro a seguir:

      A reta  contém os centros das bases e é o eixo do cilindro.

Cilindro equilátero 

O cilindro que possui as seções meridianas quadradas é chamado de cilindro equilátero. 
No cilindro equilátero a altura é igual ao diâmetro da base: h = 2r. 

Área Lateral e Área total de um cilindro circular reto

A superfície de um cilindro reto de altura h e raio da base r é equivalente à reunião de uma região retangular, de lados 2πr e h, com dois círculos de raio r. Observe a planificação do cilindro.

A área do retângulo equivalente à superfície lateral do cilindro é a área lateral Aℓ do cilindro, ou seja:

Aℓ = 2*π*r*h

A área total At do cilindro é igual à soma da área lateral Aℓ com as áreas das duas bases, ou seja:

At = 2*π*r*h + π*r² + π*r² → At = 2*π*r*h + 2π*r² 

Volume do cilindro circular

O volume V de um cilindro circular de altura h e raio da base r é igual ao produto da área da base, πr2, pela altura h, isto é:

V = π*r²*h 

Questões de vestibular sobre cilindros

1) (Vunesp – SP) Um tanque subterrâneo, que tem o formato de um cilindro circular reto na posição vertical, está completamente cheio com 30 m³ de água e 42 m³ de petróleo. Considerando que a altura do tanque é de 12 metros, calcule a altura da camada de petróleo.

Solução:

Calculado o raio do cilindro

Calculando a altura da camada de petróleo

A camada de petróleo tem uma altura de 7 metros.

2) (UFG) Um produtor de suco armazena seu produto em caixas, em forma de paralelepípedo, com altura de 20 cm, tendo capacidade de 1 litro. Ele deseja trocar a caixa por uma embalagem em forma de cilindro, de mesma altura e mesma capacidade. Para que isso ocorra, qual deve ser o raio da base dessa embalagem cilíndrica?

Solução: 

Volume do paralelepípedo

V = c * l * h
c = comprimento da base
l = largura da base
h = altura
Nesse caso, ele não informou as medidas das dimensões do paralelepípedo, dessa forma consideremos todas iguais a l, então:
V = l * l * h

1 litro corresponde a 1 000 cm³, assim temos:

1000 = l * l * 20
1000 / 20 = l²
50 = l²

Volume do cilindro
V = π * r² * h

Volume da embalagem em paralelepípedo = Volume da embalagem cilíndrica

As alturas também são iguais, medindo 20 cm.

O raio da embalagem terá a seguinte medida:  .

3) (Cefet – SP) A figura indica o tambor cilíndrico de um aquecedor solar com capacidade de 1 570 litros.

Sabendo que 1 000 litros de água ocupam um volume de 1 m³ e adotado π = 3,14, determine a medida do raio r do cilindro.

Solução:

1570 litros → 1,57 m³

V = π * r² * h
1,57 = 3,14 * r² * 2
1,57 = 6,28 * r²
1,57 / 6,28 = r²
0,25 = r²
√r² = √0,25
r = 0,5 m

A medida do raio do cilindro é de 0,5 metros ou 50 centímetros.

4) Determinar o volume de um cilindro regular reto cujo raio da base mede 5 m e a altura 3 m.

Solução:

 πR²h =  π*(5)² * 3 = 75 π m²

5) Uma indústria deseja fabricar um barril de óleo com formato cilíndrico cujo raio da base deve apresentar 40 cm de comprimento e sua altura será de 1,2 m. Para fabricação desse barril, a indústria utilizará chapas metálicas. Quantos metros quadrados de chapa serão necessários para fabricar um barril? (Use π = 3,14)

Solução: 

A resolução desse problema consiste em determinar a área total desse barril, que apresenta o formato de um cilindro. Do enunciado do problema, obtemos:

h = 1,2 m

r = 40 cm = 0,4 m

St = ?

Pela fórmula da área total, temos que:

St = 2∙π∙r∙(h + r)

St = 2 ∙ 3,14 ∙ 0,4 ∙ (1,2 + 0,4)

St = 2 ∙ 3,14 ∙ 0,4 ∙ 1,6

St = 4,02 m2

Portanto, serão gastos, aproximadamente, 4,02 metros quadrados de chapa metálica para confeccionar um barril.

6) Uma lata de extrato de tomate de formato cilíndrico possui área total de 244,92 cm² de área total. Sabendo que o raio da base da lata mede 3 cm, obtenha a medida da altura dessa embalagem.

Solução: 

Pelo enunciado do problema, obtemos:
St = 244,92 cm²
h = ?
r = 3 cm

Utilizando a fórmula da área total, temos que:

7)  Determine a área total de um cilindro circular reto de 16 cm de altura e raio da base medindo 5 cm. (Use π = 3,14)

Solução: 

Pelo enunciado do problema temos os seguintes dados:

h = 16 cm

r = 5 cm

St = ?

Utilizando a fórmula da área total, obtemos:

St=2∙π∙r∙(h+r)

St = 2 ∙ 3,14 ∙ 5 ∙(16 + 5)

St = 2 ∙ 3,14 ∙ 5 ∙ 21

St = 659,4 cm2

8) (USF-SP) Um cilindro circular reto, de volume 20π cm³, tem altura de 5cm. Sua área lateral, em centímetros quadrados, é igual a:

a)10π

b)12π

c)15π

d)18π

e)20π

Solução:

Na questão, podemos obter o raio do cilindro dessa forma:

Vcilindro = πR². h

Como a questão fornece o volume e a altura:

20π=πR².5

π dos dois lados podemos cortar, ficando:

20=5R²

R²=4

R=2

Tendo o raio, temos tudo, basta encontrar a área lateral:

Alateral = 2πRh

Alateral=2π2.5

Alateral=2π10

Alateral=20πcm³

9) Determine a área total e a área lateral de um cilindro reto que tem 18 cm de altura  e raio da base, 4 cm.

10) Um cilindro reto tem área total 171π cm² e o diâmetro da sua base é 18 cm. Determine a altura do cilindro.

11) Secciona-se um cilindro reto de 31cm de raio, por um plano paralelo ao seu eixo, e distante 18,6 cm desse eixo. A área da secção obtida é 1.240cm². Determine o volume do cilindro.

12) (UFSC) Um cilindro reto tem 63π cm³ de volume. Sabendo que o raio da base mede 3cm, determine, em centímetros, a sua altura.

13) (UNIFOR-CE) Uma fábrica de embalagens recebeu um pedido para fabricar um recipiente fechado, com o formato de um cilindro circular reto e capacidade para 20 litros. Se o raio da base deve ser 25 cm, qual será aproximadamente, a altura do cilindro? Para seus cálculos considere: π = 3,14.

a) 0,1015 cm             b) 2,03 cm        c) 10,15 cm           d) 11, 5 cm         e) 15 cm


14) (UECE) Um cilindro circular reto de altura 7 cm tem volume igual a 28π cm³. A área total desse cilindro, em cm², é:

a) 30π                       b) 32π             c) 34π                 d) 36π

15) (FMU/FIAM-SP) Se triplicarmos o raio da base de um cilindro mantendo a altura, o volume do cilindro fica multiplicado por:

a) 3                        b) 6                    c) 9                     d) 12                   e) 15

16) (ITA) Num cilindro circular reto sabe-se que a altura h e o raio da base r são tais que os números π, h, r formam nessa ordem, uma progressão aritmética de soma 6π. O valor da área total cilindro é:

a) π³                  b) 2π³                  c) 15π³                d) 20π³                e) 30π³


Gabarito:

9) Al = 144 cm² e At = 176π cm²   10) h = 4,75π cm    11) 24.025 cm³    12) 7 cm    13) C    

14) D     15) C       16) E