Operações com ângulos exercícios

Estudaremos nesse artigo, operações com ângulos com exemplos resolvidos e exercícios para uma melhor aprendizado da matéria.

OPERAÇÕES COM ÂNGULOS

Adição de um ângulo

Observe alguns exemplos de como adicionar medidas de ângulos:

 Exemplo 1:

10º36'30''  +  23º45'50''

Exemplo 2:

13° 40´ +  30° 45´

13° 40´

30° 45´

--------

43° 85´ (simplificando) 44° 25´

Exemplo 3:

17° 15´ 10"  + 30° 20´40"

17° 15´ 10"

30° 20´ 40"

-----------

47° 35´ 50"

Exercícios de fixação 

1) Calcule as somas:

a) 49° + 65° 

b) 12° 25´ + 40° 13´ 

c) 28° 12´ + 52° 40´ 

d) 58°  + 17° 19´ 

e) 41° 58´ +  16°  

f) 25° 40´ + 16° 50´ 

g) 23° 35´ + 12° 45´ 

h) 21° 15´40" + 7° 12´5" 

i) 35° 10´50"  +  10° 25´20"  

j) 31° 45´50" + 13° 20´40"  

l) 3° 24´9" + 37° 11´33" 

m) 35° 35´2" + 22° 24´58" 

Subtração de um ângulo

Exemplo 1:

80º48'30''  -  70º58'55''

  

Observe que:

  

  Logo, a diferença é 9º 49'35''.

 Exemplo 2:

58° 40´ -  17° 10´ =

58° 40´

17° 10´

-------

41° 30´

Exemplo 3:

80° - 42° 30´ =

80°

42° 30´

-------

37° 30´

Exercícios de fixação

1) Calcule as diferenças:

a) 42° - 17°

b) 172° - 93°

c) 48° 50´ - 27° 10´ 

d) 42° 35´  -  13° 15´ 

e) 70° - 22° 30´ 

f) 30° - 18° 10´

g) 90° - 54° 20´ 

h) 120° - 50°45´ 

i) 52°30´ - 20°50´ 

j) 39° 1´ - 10°15´ 

Multiplicação de um ângulo

Exemplo 1:

5 * ( 12º36'40'')

                            

Exemplo 2:

17°15´ x 2 =

17°15´

___x2

--------

34°30´

 Exemplo 3:

24° 20´ x  3 =

24°20´

____3

-------

72°60´ (simplificando) 73°

Exercícios de fixação

1) Calcule os produtos:

a) 25°10´ x 3 

b) 44°20´ x 2 

c) 35° 10´ x 4 

d) 16°20´ x 3 

e) 28°30´ x 2 

f) 12°40´ x 3  

g) 15°30´ x 3 

h) 14° 20´ x 5 

Divisão de um ângulo por um número

Exemplo 1:

( 50º17'30'' ) : 6

Exemplo 2:

( 45º20' ) : 4

Exercícios de fixação

1) Calcule os quocientes:

a) 48° 20´ : 4 

b) 45° 30´ : 3 

c) 75° 50´ : 5  

d) 55° : 2 

e) 90° : 4 

f) 22° 40´ : 5 

2) Calcule:

a) 2/5 de 45° 

b) 5/7 de 84° 

c) 3/4 de 48° 20´ 

d) 3/2 de 15° 20´ 

medidas de ângulos

Estudaremos nesse artigo, medidas de ângulos explicando passo a passo como transformar um ângulo de radiano para grau e de grau para radiano com exemplos de fixação.

Medidas de ângulos

Sistema graus

Um ângulo pode ser medido através de um instrumento chamado transferidor e que tem o grau como unidade. O ângulo AÔB da figura mede 40 graus.

Indicação:

m (AÔB) = 40º

A unidade grau tem dois submúltiplos: minuto e segundo

Transformando as medidas
Graus p/ Minutos
1°= 60'
3°= 3.60'= 180'
5°= 5.60'= 300'

Minutos para Segundos
1'= 60''
2'= 2.60 = 120''
4'= 4.60''= 240''
6'= 6.60''= 360''

Segundos para Minutos
120''= 120:60 = 2'
240''= 240'':60 = 4'
360''= 360'':60 = 6'

Minutos para Graus
180'= 180:60 = 3°
300 = 300':60 = 5° 

Simbolicamente:

== Um ângulo de 25 graus e 40 minutos é indicado por 25º 40´.

== Um ângulo de 12 graus, 20 minutos e 45 segundos é indicado por 12º 20´45"

Sistema radianos

Uma volta completa no círculo trigonométrico corresponde, em graus, a 360º e em radianos, 2π, pois no caso de medida de ângulo, o valor de π (pi) passa a ser referente a 180º. Dessa forma, se temos um ângulo na unidade grau podemos transformá-lo para a unidade radiano e vice-versa por meio da aplicação de uma simples regra de três. Exemplo 1:

Converter π/4 rad em graus;

Solução:

180° ————- π rad

x ————- π/4 rad

Fazendo novamente uma multiplicação “cruzada” obtemos:

x . π = 180 . π/4

Cancelando π em ambos os membros e dividindo 180 por 4 no segundo membro, obtemos: 

x = 45°

Exemplo 2:

Transformar 3π/2 em graus.

360º------------------ 2π

x --------------------- 3π/2

2πx = 360 *  3π/2

2πx = 1080π/2

2πx = 540π

x = 540π/2π

x = 270º

Exemplo 3:

Transformar 60º em radianos. 

360º ------------------- 2π

60º -------------------- x

360 * x = 2π * 60

360x = 120π

x = 120π/360

x = π/3

Exemplo 4:

Converter 30° em radianos.

Solução:

180° ————-π  rad

30° ————– x rad

180 x = 30π

x = 30π / 180

x = π/6 rad

No círculo trigonométrico existem alguns ângulos notáveis, isto é, valores que estão presentes com maior frequência em situações problemas. A tabela a seguir relaciona as unidades de medida, graus e radianos.

ângulos complementares e suplementares questões resolvidas

COMPLEMENTARES: são ângulos na qual a soma de suas medidas é igual a 90º e neste caso, um ângulo é o complemento do outro.

Ex.: 30^o e 50^o (30+50=90) ou
37^o e 53^o (37+53=90) ou
20^o e 70^o (20+70=90) ...

SUPLEMENTARES: são ângulos na qual a soma de  suas medidas é igual a 180º e neste caso, um ângulo é o suplemento do outro.

Ex.: 50^o e 130^o (50+130=180) ou
71^o e 109^o (71+109=180) ou
80^o e 100^o (80+100=180) ...

REPLEMENTARES: são ângulos na qual a soma de suas medidas é igual a 360º e neste caso, um ângulo é o replemento do outro.

Ex.: 30^o e 330^o (30+330=360) ou
300^o e 60^o (300+60=360) ou
111^o e 249^o (111+249=360) ...

Complemento de "X" = 90 - X
Suplemento do Complemento de "X" = 180 - ( 90 - X ) = 90 + X
Suplemento de "X" = 180 - X
Replemento do Suplemento de "X" = 360 - ( 180 - X ) = 180 + X

execícios resolvidos ângulo suplementares, complementares e replementares

O quíntuplo do suplemento do complemento de um ângulo é igual ao triplo do replemento do seu suplemento. O ângulo é:

:

Solução:

2) O suplemento do triplo do complemento da metade de um ângulo é igual ao triplo do complemento desse ângulo. Determine o ângulo.

Solução:

[ 180° - 3*( 90° - (x/2) ] = 3*( 90° - x )

[ 180° - 270° + (3/2)x ] = 270° - 3x

(3/2)x + 3x = 270° + 90°

3x + 6x = 720°

9x = 720

x = 80°

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3) Calcule o valor de x na figura.

Solução:

Os ângulos da figura são complementares, isto é, a soma entre eles é igual a 90º.
x + 40 + 3x + x – 10 = 90
5x + 30 = 90
5x = 90 – 30
5x = 60
x = 12

5) (FAM-SP) Os ângulos são suplementares, isto é, a soma entre eles é igual a 180º.

Solução:

2x + 30 + x = 180
3x = 180 – 30
3x = 150
x = 150/3
x = 50º

Resposta correta alternativa d.

6) (Uniube–MG) Na figura abaixo, as retas r e s são paralelas, cortadas por uma transversal t. Se a medida do ângulo α é o triplo da media do ângulo β, então a diferença α – β vale:

a) 90º

b) 85º

c) 80º

d) 75º

e) 60º

Solução:

β: x
α: 3x

α + β = 180º
x + 3x = 180
4x = 180
x = 180 / 4
x = 45º

β: 45º
α: 135º

α – β  → 135º – 45º → 90º

Resposta correta alternativa  A.

7) (FUVEST-SP) Se α e β são dois ângulos complementares, então o determinante da matriz:

é igual a:

(A) -6

(B) -2

(C) 0

(D) 2

(E) 6

Solução:

- Ângulos complementares são ângulos que somados tem como resultado 90°

Como o determinante dessa matriz será:

Sen(α)Cos(β)*2*0 + 1*1*2 + (-1)*Sen(β)Cos(α)*4 - (-1)*2*2 - 1*4*Sen(α)Cos(β) - 0*1*Sen(β)Cos(α)
= 0 + 2 - 4Sen(β)Cos(α) + 4 - 4Sen(α)Cos(β) - 0 = 6 - 4Sen(β)Cos(α) - 4Sen(α)Cos(β)

Mas, das propriedades trigonométricas sabe-se que:
Sen(a + b) = Sen(a)Cos(b) + Sen(b)Cos(a)

Logo:
Det = 6 - 4Sen(β)Cos(α) - 4Sen(α)Cos(β) = 6 - 4*[Sen(β)Cos(α) + Sen(α)Cos(β)]
Det = 6 - 4*[Sen(α + β)]
Det = 6 - 4*[Sen(90°)]
Det = 6 - 4*[1] = 6 - 4 = 2

alternativa D a resposta correta.

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ângulos no círculo com exemplos resolvidos

Artigo sobre ângulos no círculo com exemplos resolvidos para um melhor aprendizado.

Elementos de um círculo ou circunferência 

Dada uma região circular, podemos ter: raio, diâmetro, corda, centro, arcos. Veja a figura: 



segmento de reta AB: corda (segmento que parte de um ponto ao outro da circunferência) 
segmento de reta DF: diâmetro (corda que passa pelo centro do círculo) 
segmento de reta OF e OD: raio (segmento de reta que liga o centro a um ponto da circunferência) 

Ângulo Central Ângulo central relativo a um círculo é o ângulo que tem o vértice no centro do círculo. Observe na figura que AÔB é um ângulo central, sendo o arco AB correspondente ao ângulo, ou seja, α = AB.



Ângulo inscrito 

Ângulo inscrito relativo a um círculo é um ângulo que tem o vértice no círculo e os lados são secantes a ele.
Um ângulo inscrito é metade do ângulo central correspondente; ou pode-se dizer: a medida de um ângulo inscrito é metade da medida do arco correspondente, ou seja:




Relação entre ângulo central e ângulo inscrito 

Ao analisarmos uma circunferência e constatarmos que o ângulo central e o ângulo inscrito possuem o mesmo arco, podemos dizer que o valor do ângulo central é o dobro do valor do ângulo inscrito. 


Exemplo: 

1 – Qual o valor do ângulo central indicado por x na figura: 
x = 2 *42º 
x = 84º 


ângulo circunscrito

É o ângulo, cujo vértice não pertence à circunferência e os lados são tangentes à ela.

ângulo de segmento

É todo ângulo cujo vértice pertence à circunferência, sendo um de seus lados secante e o outro tangente à circunferência. A medida de um ângulo de segmento é igual à metade do arco por ele determinado.

 Ângulo com vértice exterior à circunferência – Ângulo excêntrico externo.

A medida de um ângulo de vértice interno é igual à semi-soma das medidas dos arcos determinados pelos seus lados.

Exemplo: Determine o valor de α na figura abaixo.

 

Ângulo com vértice no interior da circunferência – Ângulo excêntrico interno.

A medida de um ângulo de vértice externo é igual à semi-diferença dos arcos de terminados pelos seus lados.

Exemplo: Determine o valor de α na figura abaixo.

Solução:

ângulos definição e classificação

Esse artigo aborda definição, bissetriz e classificação dos ângulos.

ÂNGULO: É uma figura aberta cujos lados se prolongam indefinidamente num sentido.

Os lados do ângulo são semirretas com a mesma origem, chamando-se a esta origem vértice.

A unidade usual de medida de ângulo, de acordo com o sistema internacional de medidas, é o grau, representado pelo símbolo º, e seus submúltiplos são o minuto ’ e o segundo ”.
Temos que 1º (grau) equivale a 60’ (minutos) e 1’ equivale a 60”(segundos).

Classificação dos ângulos


      ângulo agudo        ângulo reto          ângulo obtuso          ângulo raso
      inferior a 90º        igual a 90º           superior a 90º          igual a 180º

BISSETRIZ DE UM ÂNGULO

Observe a figura abaixo:

                 m ( AÔC )  = m (CÔB ) = 20º

Verifique que a semi-reta   divide o ângulo AÔB em dois ângulos ( AÔB e CÔB ) congruentes.

Nesse caso, a semi-reta   é denominada bissetriz do ângulo AÔB.

Assim:
Bissetriz de um ângulo é a semi-reta com origem no vértice desse ângulo e que o divide em dois outros ângulos congruentes.


Retas paralelas cortadas por uma transversal 



Ângulos correspondentes: a e e, d e h, b e f, c e g                Congruentes
Ângulos colaterais externos: a e h, b e g                                Suplementares
Ângulos colaterais internos: e e d, c e f                                  Suplementares
Ângulos alternos externos: a e g, b e h                                   Congruentes
Ângulos alternos internos: d e f, c e e                                     Congruentes

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