exercícios resolvidos polígonos

Artigo com exercícios resolvidos sobre polígonos

01. Qual é o polígono em que a soma das medidas dos ângulos internos é o quádruplo da soma das medidas dos ângulos externos?

Resolução

Si = 4 · Se
(n – 2) · 180^º = 4 · 360^º (: 180^º)
n – 2 = 4 · 2
n – 2 = 8
n = 10

Resposta 

O polígono é o decágono.


02. Os números que exprimem o número de lados de três polígonos são n – 3, n e n + 3. Determine o número de lados desses polígonos, sabendo que a soma de todos os seus ângulos internos vale 3 240°.

Resolução

Pelas condições do problema, temos:

S₁ = ( n – 3 – 2) · 180 = (n – 5) · 180
S₂ = (n – 2) · 180
S₃ = (n + 3 – 2) · 180 = (n + 1) · 180
S₁ + S₂ + S₃ = 3 240
(n – 5) · 180 + (n – 2) · 180 + (n + 1) · 180 = 3 240
[n – 5 + n – 2 + n + 1] · 180 = 3 240
3 n – 6 = 18
3 n = 24  n = 8

Então, teremos:

n – 3 = 8 – 3 = 5 lados
n = 8 lados
n + 3 = 8 + 3 = 11 lados

Resposta

5 lados, 8 lados e 11 lados

DATAHOSTING.COM.BR|DE http://www.datahosting.com.br/afiliados/ok.php?id=8893

HOSPEDAGEM DE SITES R$14,90 com 10GB de Espaço e 150GB de Tráfego, Construtor de Sites e...

Hospedagem de sites com planos gigantes a partir de R$14,90, 10GB de espaço, 150Gb de tráfego de

DATAHOSTING.COM.BR|DE WWW.DATAHOSTING.COM.BR

 03. Qual é a soma das medidas dos ângulos internos do polígono que tem um número de diagonais igual ao quádruplo do número de lados?

Resolução




n = 11
Si = (n – 2) · 180^º
Si = (11 – 2) · 180^º
Si = 9 · 180^º
Si = 1 620^º

Resposta
A soma das medidas dos ângulos internos vale 1 620º

04. Ache o valor de x na figura:



A soma dos ângulos internos do pentágono é: 



Na figura, essa soma é: 


Resposta

O valor de x vale 80º

05. (Mackenzie - SP) Os ângulos externos de um polígono regular medem 20°. Então, o número de diagonais desse polígono é:

a) 90
b) 104
c) 119
d) 135
e) 152

Resolução
Se o polígono é regular, todos os lados são iguais e consequentemente todos os ângulos também serão iguais.
Se a soma dos ângulos externos de qualquer polígono é 360º, temos o número de lados dividindo 360º por 20º que é o valor de cada ângulo.
n = 360º
       20º
n = 18

Com o número de lados basta encontrar as diagonais com a fórmula:
d = n(n-3)
          2
d = 18(18-3)
              2
d = 18.15
          2
d=9.15
d = 135

Resposta letra D

06. Num eneágono regular ABCDEFGHI, calcular a medida do ângulo 

Resolução

Construindo o polígono inscrito em uma circunferência, temos:

07. Os números dos lados de dois polígonos convexos são consecutivos e um deles tem 9 diagonais a mais que o outro. Que polígonos são esses?

Seja x o número de lados do menor polígono, logo o outro terá x + 1 lados.
Teremos:

Resposta:

Os polígonos são o decágono e o undecágono.

08. A medida de cada ângulo externo de um polígono regular é  da medida de um ângulo interno. Quantas diagonais tem o polígono?

Resolução

Resposta:

O polígono tem 35 diagonais.

DATAHOSTING.COM.BR|DE http://www.datahosting.com.br/afiliados/ok.php?id=8893

HOSPEDAGEM DE SITES R$14,90 com 10GB de Espaço e 150GB de Tráfego, Construtor de Sites e...

Hospedagem de sites com planos gigantes a partir de R$14,90, 10GB de espaço, 150Gb de tráfego de

DATAHOSTING.COM.BR|DE WWW.DATAHOSTING.COM.BR

Polígonos - geometria

Um polígono é uma figura geométrica plana limitada por uma linha poligonal fechada.  A palavra "polígono" advém do grego e quer dizer muitos (poli) e ângulos (gono).

Elementos de um polígono

Um polígono possui os seguintes elementos:

— Lados: Cada um dos segmentos de reta que une vértices cosecutivos: , , , , , .

— Vértices: Ponto de encontro de dois lados consecutivos: A, B, C, D, E.

— Diagonais: Segmentos que unem dois vértices não consecutivos: , , , , 

— Ângulos internos: Ângulos formados por dois lados consecutivos: , , , , .

— Ângulos externos: Ângulos formados por um lado e pelo prolongamento do lado a ele consecutivo: , , , , .

Classificação dos polígonos quanto aos números de lados

Os polígonos classificam-se em função do número de lados. Abaixo estão os principais polígonos:

Nome	Polígono	Nº de lados
Triângulo		3
Quadrilátero		4
Pentágono		5
Hexágono		6
Heptágono		7
Octógono		8
Decágono		10

Alguns polígonos possuem nomes bem particulares, veja a seguir:

• um polígono com 9 ângulos → eneágono
• um polígono com 11 ângulos → undecágono
• um polígono com 15 ângulos → pentadecágono
• um polígono com 20 ângulos → icoságono

Os polígonos possuem os seguintes elementos: vértices, lados, ângulos internos, ângulos externos e diagonais. Dos elementos citados vamos dar ênfase no significado de diagonais e como calcular o número de diagonais de um polígono qualquer.

Classificação dos polígonos

A classificação dos polígonos pode ser ilustrada pela seguinte árvore:

Um polígono é denominado simples se ele for descrito por uma fronteira simples e que não se cruza (daí divide o plano em uma região interna e externa), caso o contrário é denominado complexo.
Um polígono simples é denominado convexo se não tiver nenhum ângulo interno cuja medida é maior que 180°, caso o contrário é denominado côncavo.
Um polígono convexo é denominado circunscrito a uma circunferência ou polígono circunscrito se todos os vértices pertencerem a uma mesma circunferência.
Um polígono inscritível é denominado regular se todos os seus lados e todos os seus ângulos forem congruentes.
Alguns polígonos regulares:

triângulo equilátero
quadrado
pentágono regular
hexágono regular

Propriedades dos polígonos

De cada vértice de um polígono de n lados, saem n - 3 diagonais (dv).
O número de diagonais (d) de um polígono é dado por , onde n é o número de lados do polígono.
A soma das medidas dos ângulos internos de um polígono de n lados (Si) é dada por .
A soma das medidas dos ângulos externos de um polígono de n lados (Se) é igual a . 

Em um polígono convexo de n lados, o número de triângulos formados por diagonais que saem de cada vérice é dado por n - 2.
A medida do ângulo interno de um polígono regular de n lados (ai) é dada por.
A medida do ângulo externo de um polígono regular de n lados (ae) é dada por .
A soma das medidas dos ângulos centrais de um polígono regular de n lados (Sc) é igual a 360º.
A medida do ângulo central de um polígono regular de n lados (ac) é dada por

Polígono regular e irregular

Todo polígono regular possui os lados e os ângulos com medidas iguais. Alguns exemplos de polígonos regulares.

                     Polígonos regulares

Um polígono irregular é aquele que não possui os ângulos com medidas iguais e os lados não possuem o mesmo tamanho.

                    Polígonos irregulares

Número de Diagonais de um Polígono Convexo

Num polígono convexo A₁ A₂ ... A_n com n lados, em cada vértice, temos (n – 3) diagonais, então nos nvértices são n (n – 3) diagonais.

No entanto, desse modo, cada diagonal está sendo contada duas vezes, por exemplo,  , então o número d de diagonais é: