sábado, 8 de junho de 2013

Produtos notáveis (com questões)

Produtos notáveis

Produtos notáveis são produtos de expressões algébricas que possuem uma forma geral para sua resolução. Se dividem em quadrado da soma, quadrado da diferença, produto da soma pela diferença, cubo da soma e cubo da diferença. 


Quadrado da soma de dois termos


A expressão algébrica  (a + b)2 apresenta uma soma de dois termos, a + b, elevada ao quadrado; é, portanto, o quadrado da soma de dois termos. Também podemos calculá-la algebricamente, multiplicando a + b por a + b:


 (a + b)2 = (a + b)(a + b) = 

= a . a + a . b + b . a + b . b =
= a² + ab + ba + b²

Como ab = ba, vem:


(a + b)2 = a² + 2ab + b²


Podemos explicar esse produto notável em palavras:


O quadrado da soma de dois termos é igual ao quadrado do primeiro, mais duas vezes o produto do primeiro pelo segundo, mais o quadrado do segundo termo.


Observe os exemplos:


(x + 3)² = x² + 2 . x . 3 + 3² = x² + 6x + 9

(2x + 1)² = (2x)² + 2 . 2x . 1 + 1² = 4x² + 4x + 1
(x³ + 2)² = (x³)² + 2 . x³ . 2 + 2² = x6 + 4x³ +4

Quadrado da diferença de dois termos


As expressões que possuem a forma (a – b)2 podem ser resolvidas de duas formas distintas: aplicando a propriedade distributiva da multiplicação ou a regra prática. 


Utilizando a propriedade distributiva na expressão (a – b)2
Pela definição de potenciação sabemos que (a – b)2 pode ser escrito na forma 
(a – b)* (a – b)

(a – b)* (a – b) = a*a – a*b – b*a + b*b = a² – 2ab + b² 
(x – 4)² = (x – 4) * (x – 4) = x*x – 4*x – 4*x + 4*4 = x² – 8x + 16 
(2y – 5)² = (2y – 5) * (2y – 5) = 2y*2y – 2y*5 – 5*2y + 5*5 = 4y² – 20y + 25 
(5a – 2b)² = (5a – 2b) * (5a – 2b) = 5a*5a – 5a*2b – 2b*5a + 2b*2b = 25a² – 20ab + 4b² 

Utilizando a regra prática na expressão (a – b)2

“O quadrado do primeiro termo menos, duas vezes o primeiro termo vezes o segundo termo, mais o quadrado do segundo termo.” 


(y – 6)² = (y)² – 2*y*6 + (6)² = y² – 12y + 36 


(4b – 9)² = (4b)² – 2*4b*9 + (9)² = 16b² – 72b + 81 

(7y – 6x)² = (7y)² – 2*7y*6x + (6x)² = 49y² – 84xy + 36x² 

(10x – 2z)² = (10x)² – 2*10x*2z + (2z)² = 100x² – 40xz + 4z

Produto da soma pela diferença


Uma situação interessante envolvendo expressões algébricas se apresenta na seguinte forma: 

(a + b)(a – b), sendo denominada Produto da Soma pela Diferença, podendo ser resolvida através da propriedade distributiva da multiplicação ou através de uma regra prática. Essa expressão pode ser considerada um produto notável, pela característica regular apresentada na resolução de situações semelhantes. 

Aplicando a propriedade distributiva na resolução da expressão (a + b)(a – b). 

(a + b)(a – b) = a*a – a*b + b*a – b*b = a² – b² Note que os termos – ab e + ba são opostos, por isso se anulam. 


(2x + 4)(2x – 4) = 2x*2x – 2x*4 + 4*2x – 4*4 = 4x² – 8x + 8x – 16 = 4x² – 16 
(7x + 6)(7x – 6) = 7x*7x – 7x*6 + 6*7x – 6*6 = 49x² – 42x + 42x – 36 = 49x² – 36 
(10x³ – 12)(10x³ + 12) = 10x³*10x³ + 10x³*12 – 12*10x³ –12*12 = 100x6 + 120x³ – 120x³ – 144 = 100x6 – 144 
(20z + 10x)(20z – 10x) = 20z*20z – 20z*10x + 10x*20z – 10x*10x = 400z² – 200zx + 200xz – 100x² = 400z² – 100x² 

Aplicando a regra prática 


A aplicação da regra prática se dá através da seguinte situação: “o primeiro termo elevado ao quadrado menos o segundo termo elevado ao quadrado” 


(4x + 7)(4x – 7) = (4x)² – (7)² = 16x² – 49 
(12x + 8)(12x – 8) = (12x)² – (8)² = 144x² – 64 
(11x² – 5x)(11x² + 5x) = (11x²)² – (5x)² = 121x4 – 25x² 

(20b – 30)(20b + 30) = (20b)² – (30)² = 400b² – 900 

Cubo da soma



Sejam a e b números reais diferentes de zero. Temos que:

(a + b)3 = (a + b)2(a + b) = (a2 + 2ab + b2)(a + b) = a3 + 2a2b +ab2 + a2b + 2ab2 + b3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3.

Observe que utilizamos o quadrado da soma, que é outro produto notável, para obter o cubo da soma. De uma forma geral, o cubo da soma pode ser obtido da seguinte maneira:

Cubo da diferença 

O cubo da diferença é feito de maneira análoga ao cubo da soma. Observe:


(a – b)3 = (a – b)2(a – b) = (a2 – 2ab + b2)(a – b) = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3

De uma forma geral, temos:
Vejamos alguns exemplos para melhor esclarecimento.


Exemplo 1. Desenvolva os seguintes produtos notáveis.

Solução:

Procedendo como foi explicado antes do exemplo e tendo o cuidado ao realizar as potências e a multiplicações, não há como errar. O procedimento é sempre o mesmo para o cubo da soma e para o cubo da diferença, diferindo somente o sinal do segundo membro e do último.

Exemplo 2. Simplifique a expressão abaixo.



Solução: Observe que no numerador e no denominador da fração aparecem dois produtos notáveis. No numerador há um cubo da soma de dois termos que foi desenvolvido e no denominador, um quadrado da soma de dois termos. Assim, podemos reescrevê-los da seguinte forma:
Logo, a expressão pode ser escrita como:
Para chegar ao resultado utilizamos a propriedade da divisão de potências de bases iguais (conserva a base e subtrai os expoentes).

Exemplo 3. Desenvolva o seguinte produto notável 


Quadrado da Soma de Três Termos

O quadrado da soma de três termos é igual ao quadrado do primeiro termo, mais o quadrado do segundo termo, mais o quadrado do terceiro termo, mais duas vezes o produto do primeiro pelo segundo termo, mais o duas vezes o produto do primeiro pelo terceiro termo, mais o duas vezes o produto do segundo pelo terceiro termo:

Exemplos:



RESUMO



Produtos notáveis
Exemplos
(a+b)2 = a2+2ab+b2
(x+3)2 = x2+6x+9
(a-b)2 = a2-2ab+b2
(x-3)2 = x2-6x+9
(a+b)(a-b) = a2-b2
(x+3)(x-3) = x2-9
(x+a)(x+b) = x2+(a+b)x+ab
(x+2)(x+3) = x2+5x+6
(a+b)3 = a3+3a2b+3ab2+b3
(x+2)3 = x3+6x2+12x+8
(a-b)3 = a3-3a2b+3ab2-b3
(x-2)3 = x3-6x2+12x-8
(a+b)(a2-ab+b2) = a3+b3
(x+2)(x2-2x+4) = x3+8
(a-b)(a2+ab+b2) = a3-b3
(x-2)(x2+2x+4) = x3-8



Fonte: www.coladaweb.com.br
            www.matematicadidatica.com.br


Exercícios sobre produtos notáveis

1) Simplifique as expressões:

a) (x+y)2–x2-y2
(x+y)2–x2-y2  =  x2+2xy+y2–x2-y2   =  2xy

b) (x+2)(x-7)+(x-5)(x+3)
(x+2)(x-7)+(x-5)(x+3)  =  x2+(2+(-7))x+2.(-7) + x2+(-5+3)x+3.(-5)  = 
x2-5x-14+ x2-2x-15  =  2x2-7x-29

c) (2x-y)2-4x(x-y)
(2x-y)2-4x(x-y)  =  (2x)2-2.2x.y+y2-4x2+4xy  =  4x2-4xy+y2-4x2+4xy =  y2


2) Desenvolva:


a) (3x+y)2
(3x+y)2 = (3x)2+2.3x.y+y2 = 9x2+6xy+y2

b) ((1/2)+x2)2
((1/2)+x2)2 = (1/2)2+2.(1/2).x2+(x2)(1/4) +x2+x4

c) ((2x/3)+4y3)2
((2x/3)+4y3)2 = (2x/3)2-2.(2x/3).4y3+(4y3)2(4/9)x2-(16/3)xy3+16y6

d) (2x+3y)3
(2x+3y)3 = (2x)3+3.(2x)2.3y+3.2x.(3y)2+(3y)3 = 8x3+36x2y+54xy2+27y3

e) (x4+(1/x2))3
(x4+(1/x2))3 = (x4)3+3.(x4)2.(1/x2)+3.x4.(1/x2)2+(1/x2)3 = x12+3x6+3+(1/x6)

f) ((2x/3)+(4y/5)).((2x/3)-(4y/5)
(2x/3)+(4y/5)).((2x/3)-(4y/5)) = (2x/3)2-(4y/5)2 = (4/9)x2-(16/25)y2 

3) Se  x - y = 7 e xy = 60, então o valor da expressão x² + y² é:

a) 53
b) 109
c) 169
d) 420

Solução:

Do problema, temos a seguinte equação x - y = 7, a princípio não está muito claro o valor de x² + y², mas vamos traçar uma estratégia para resolução da questão:

Na equação x - y = 7, vamos elevar os dois membros ao quadrado, ficando assim:

(x - y)² = 7², desenvolvendo temos:

x² - 2xy + y² = 49, veja que já apareceram o x² e y², arrumando 

x² + y² = 49 + 2xy, mas xy = 60 e daí

x² + y² = 49 + 2.60, resolvendo:

x² + y² = 49 + 120, logo x² + y² = 169.

Utilizamos a estratégia de elevar os dois membros da equação ao quadrado - podemos fazer isto, desde que façamos em ambos os membros - e logo apareceu x² + y².

4) A expressão (x - y)² - (x + y)² é equivalente a:

a) 0
b) 2y²
c) -2y³
d) -4xy

Solução:

Primeiro vamos desenvolver os binômios separadamente:

(x - y)² - (x + y)² 
(x-y)² = x² - 2xy + y² e (x + y)² = x² + 2xy + y²

Após desenvolver, voltamos para a expressão e substituímos:

(x - y)² - (x + y)² =  x² - 2xy + y² - (x² + 2xy + y²) = x² - 2xy + y² - x² - 2xy - y² = 
x² - x² - 2xy - 2xy + y² - y² = -2xy - 2xy = - 4xy

Logo, (x - y)² - (x + y)² = - 4xy


5) (TRT-2011) Indagado sobre o número de processos que havia arquivado certo dia, um Técnico Judiciário, que gostava muito de Matemática, respondeu:
- O número de processos que arquivei é igual a  (12,25)^2-(10,25)^2
Chamando X o total de processos que ele arquivou, então é correto afirmar que:
a)38 < X < 42.                                                                                                                                     
b) X > 42.                                                                                                                                            
c) X < 20.                                                                                                                                       
d)20 < X < 30.                                                                                                                                
e)30 < X < 38
Solução:
Temos que o produto da soma pela diferença de dois termos pode ser vista como:

Quer dizer então que quando tenho o produto da soma pela diferença posso reescrever isto de outra forma que talvez me ajude a resolver os problemas dessa natureza? Exatamente. 
Acompanhe alguns exemplos:
Entendeu? Espero que sim.
Agora vamos voltar ao problema proposto, temos que:
O número de processos que arquivei é igual a  (12,25)^2-(10,25)^2. 
Pessoal, observando os exemplos acima, como podemos reescrever este produto((12,25)^2-(10,25)^2)?
Atenção!!!

6) Calcule o produto da soma pela diferença de dois termos:

a) (x + y) . ( x - y) = 
b) (y – 7 ) . (y + 7) =
c) (x + 3) . (x – 3) =
d) (2x + 5 ) . (2x – 5) = 
e) (3x – 2 ) . ( 3x + 2) =
f) (5x + 4 ) . (5x – 4) =
g) (3x + y ) (3x – y) =
h) ( 1 – 5x) . (1 + 5x) = 
i) (2x + 3y) . (2x – 3y) =
j) (7 – 6x) . ( 7 + 6x) = 
l) (1 + 7x²) . ( 1 – 7x²) =

7) Desenvolva:

a) ( x + y)³ = 
b) (x – y)³ = 
c) (m + 3)³ =
d) (a – 1 )³ = 
e) ( 5 – x)³ =


8) Calcule o valor numérico de 
110M, sabendo que M+2=a2b2+b2a2+2a=0,998 e b=1.

a) 249.500
b) 24950
c) 2495
d) 249,5
e) 24,49

9) A expressão (a + b + c)² é igual a


a) a² + 2ab + b² + c²
b) a² + b² + c² + 2ab + 2ac + 2bc
c) a² + b² + c² + 2abc
d) a² + b² + c² + 4abc
e) a² + 2ab + b² + 2bc + c²

10) (FEI 95)Simplificando a expressão, (imagem abaixo)  obtemos:


a) a + b
b) a² + b²
c) ab
d) a² + ab + b²
e) b - a



11) Seja N o resultado da operação 375²-374². A soma dos algarismos de N é:
a) 18
b) 19
c) 20
d) 21
e) 22

12) Efetuando-se (579865)² - (579863)², obtém-se
a) 4
b) 2 319 456
c) 2 319 448
d) 2 086 246
e) 1 159 728



13) O produto (x + 1)(x² - x +1) é igual a:

a) x³-1
b) x³ + 3x² - 3x + 1
c) x³ + 1
d) x³ - 3x² + 3x - 1
e) x² + 2



Gabarito:

6) a) (R : x² - y²)  b) ( R : y² - 49)  c) ( R: x² - 9)  d) ( R: 4x² - 25)  e) ( R: 9x² - 4 )   f) ( R: 25x² - 16)
g)  (R: 9x² - y² )  h) ( R: 1 - 25x² )  i)  ( R: 4x² - 9y² )   j)  (R: 49 - 36x²)  l) (R: 1 - 49x⁴)

7) a) (R: x³ + 3x²y + 3xy² + y³)   b)  (R: x³ - 3x²y + 3xy² - y³)  c)  ( R: m³ + 9m² + 27m +27)
d) (R: a³ - 3a² + 3a -1)   e) (R: 125 - 75x + 15x² -x³)
8) B
9) B
10) D
11) C
12) B
13) C

Um comentário:

  1. Olá. Por favor poste o desenvolvimento das contas 8 e 10, não consigo desenvolver...

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