Geometria analítica: estudo da elipse (com questões)

Artigo sobre o estudo da elipse: conceito, elementos, equação reduzida e coordenadas polares com questões resolvidas.

Elipse

Conceito de Elipse

Elipse é a cônica definida na interseção de um plano que atravessa a superfície de um cone;

Elementos da Elipse:

F1 e F2 → são os focos
C → Centro da elipse
2c → distância focal
2a → medida do eixo maior
2b → medida do eixo menor
c/a → excentricidade

Há uma relação entre os valores a, b e c→ a² = b²+c²

Equação reduzida da elipse

Seja P(x, y) um ponto qualquer de uma elipse e sejam F₁(c,0) e F₂(-c,0) os seus focos. Sendo 2a o valor constante com c < a, como vimos acima, podemos escrever:
PF₁ + PF₂ = 2.a


onde o eixo A₁A₂ de medida 2a, é denominado eixo maior da elipse e o eixo B₁B₂ de medida 2b, é denominado eixo menor da elipse.

Usando a fórmula da distancia entre dois pontos, poderemos escrever:


Observe que x – (-c) = x + c.

Quadrando a expressão acima, vem:

Com bastante paciência , desenvolvendo a expressão acima e fazendo a² – c²  = b², a expressão acima depois de desenvolvida e simplificada, chegará a:b².x² + a².y² = a².b² 
Dividindo agora, ambos os membros por a²b² vem finalmente:


que é a equação da elipse de eixo maior horizontal e centro na origem (0,0).

Notas:
1) como  a² – c²  = b² , é válido que: a² - b² = c², onde c é a abcissa de um dos focos da elipse.
2) como a excentricidade e da elipse é dada por e = c/a , no caso extremo de termos b = a, a curva não será uma elipse e sim, uma circunferência, de excentricidade nula, uma vez que sendo b = a resulta c = 0 e, portanto e = c/a = 0/a = 0.
3) o ponto (0,0) é o centro da elipse.
4) se o eixo maior da elipse estiver no eixo dos y e o eixo menor estiver no eixo dos x, a equação da elipse de centro na origem (0,0) passa a ser:

Exemplo: Determine a equação reduzida da elipse com focos sobre o eixo x, com eixo maior medindo 12 e eixo menor 8.

Solução: 

temos que:

2a = 12 → a =6

2b = 8 → b = 4
Assim, 


Outras equações da elipse

1) Centro na Origem:

a) Eixo maior paralelo ao eixo x: 

b) Eixo maior paralelo ao eixo y: 

2) Centro como um vértice, geralmente apresentado como C(h,k):

a) Eixo maior paralelo ao eixo x: 

b) Eixo maior paralelo ao eixo y: 

Coordenadas polares de uma elipse

Em coordenadas polares, existem duas formas principais de se descrever a elipse:

a) Com origem no centro da elipse: 

b) Com origem em um dos focos: , sendo e a excentricidade.

Essa forma é muito conveniente para aplicações em mecânica celeste, neste caso o ângulo  é chamado de anomalia verdadeira e é representado pela letra grega  (nu ou ni)

Coordenadas paraméricas de uma elipse

Fontes: http://www.algosobre.com.br/
              http://www.brasilescola.com/
              http://www.profcardy.com/
              http://pt.wikipedia.org/wiki/Wikip%C3%A9dia:P%C3%A1gina_principal
              http://estagio2001.no.sapo.pt/

Questões resolvidas sobre elipse

1) (CESCEA) Determine as coordenadas dos focos da elipse de equação 

9x² + 25y² = 225.

Solução: 

Dividindo ambos os membros por 225, vem:

Daí, vem que: a²=25 e b²=9, de onde deduzimos: a = 5 e b = 3.
Portanto, como a² = b² + c², vem que c = 4.
Portanto, as coordenadas dos focos são: F₁(4,0) e F₂(-4,0).

2) Determine a excentricidade da elipse de equação 16x² + 25y² – 400 = 0.

Solução:

Temos: 16x² + 25y² = 400. Observe que a equação da elipse não está na forma reduzida. Vamos dividir ambos os membro por 400. Fica então:

Portanto, a² = 25 e b² = 16. Daí, vem: a = 5 e b = 4.
Como a² = b² + c² , vem substituindo e efetuando,  que c = 3
Portanto a excentricidade e será igual a : e = c/a = 3/5 = 0,60
Resposta: 3/5 ou 0,60.

3) A equação de uma elipse é x²/p² + y²/q² = 1. Sabendo que a elipse passa pelos pontos (2;1) e (raiz de 2;2), determine p e q.

Solução:

Substituindo x por 2 e y por 1, temos:

4/p²+1/q²=1

4q²+p²=p².q².......equação(1)

Substituindo x por √2 e y por 2, temos:

2/p²+4/q²=1

2q²+4p²=p².q².......equação(2)

Resolvendo o sistema de equações equação(1) e equação(2):

4q²+p²=p².q²
2q²+4p²=p².q²

temos:

equação(1) - 2 . equação(2):

4q²+p² = p².q²
-4q²-8p²=-2p².q²
------------------------
/ -7p²=-p².q²

q²=7....q = √7

4.7+p² = 7.p²

6.p²=28....p = √(14/3)

Logo a equação da elipse é:

3x²/14+y²/7=1

Resposta:  p=√(14/3) e q=√7

4) Determine a equação reduzida da elipse sabendo que um dos focos é F1(0 , -3) e que o eixo menor mede 8.

Solução: 

Temos que:
Se F1(0 , -3) → c = 3 e o foco está sobre o eixo y.
2b = 8 → b = 4
Usando a relação notável: a² = b²+c², obtemos:
a² = 4²+3² → a² = 16 + 9 → a² = 25 → a = 5

Assim, a equação reduzida da elipse será:

5) Encontre a equação da elipse que tem como eixo maior a distância entre as raízes da parábola de equação y = x² - 25 e excentricidade e = 3/5.

Solução:

Resolvendo a equação:

x² - 25 = 0

x² = 25

x = ± 5

Sabendo que a distância entre as raízes da equação é o eixo maior da elipse, podemos concluir que esse eixo esta localizado no eixo x e que seu valor é 10. Assim:

d = 2a = 10

a = 5

Admitindo que e = 3/5, podemos dizer que c = 3

Com os valores de c e a, conseguimos encontrar b. Já que:

a² = b² + c²

25 = b² + 9

b = 4

Então, a equação da elipse é:

x²/25 + y²/16 = 1

6) Sabendo que o centro (0,0), o comprimento do eixo menor é 6 e a distância focal é 10, determine a equação geral e reduzida da elipse.

Solução:

Na equação da Elipse o "a" fica no denominador do eixo maior que é também onde sempre estão os focos que nesta questão está no eixo "x".

(X - Xo)² . .(Y - Yo)²
----------- + ------------ = 1
. . a² . . . . . . b²

centro (Xo, Yo) = (0, 0)

O eixo menor é 2b = 6 ............. b = 3
A distância focal é 2c = 10 ....... c = 5

É lei na elipse a² = b² + c²

a² = 3² + 5²
a² = 9 + 25
a² = 34 ........... a = √34

A equação reduzida fica:

X² . . .Y²
---- + ----- = 1
34 . . . 9

7) Mostre que o conjunto de pontos definidos pelo sistema seguinte é uma elipse e determine as coordenadas do centro, dos focos e dos vértice.

      

      Solução:    
     Temos:

      Pois  ou seja, .
      Então,

      Como temos que:

.

      Trata-se então de uma elipse centrada no ponto C(0,2), com .
      O eixo maior é vertical, logo .
      Os focos são os pontos:
 e.
    
      Os vértices são os pontos:
 ;  ;
   e  .

8) Considere a equação representativa de uma elipse. Determine a sua equação reduzida, as coordenadas dos focos e vértices e o valor da sua excentricidade.

      

Solução:

      

    Para obtermos a equação reduzida, teremos de transformar a equação que define a elipse do problema numa equação equivalente.
      Vem sucessivamente:

   

 que nos mostra que o centro da elipse é o ponto .

      

   Como   e  , vem   e portanto  , pois  .

     

  Para uma elipse geometricamente igual à dada mas com centro em (0,0), os focos seriam os pontos   e  . Então, para obter os focos da elipse do problema é necessário adicionar o vector (-1,3), donde

      Focos:

                 
                 

      Para os vértices faz-se o mesmo raciocínio, logo

      Vértices: 

                   

                   

                   

      Excentricidade: .

9) A órbita da Terra à volta do Sol  é uma elipse quase circular. O Sol é um dos focos dessa elipse e o eixo maior e o eixo menor medem 299 329 800 e 299 288 058 Km, respectivamente. Qual é a distância mínima e a distância máxima da Terra ao Sol?

       

     Solução:

      

     Consideremos  .
      Então temos:

      

    Sendo  , vem  . Então c=2499375,3

    Logo a distância máxima é dada por   e a distância mínima é dada por 

10) Dada a Elipse de equação  , escreve uma equação da recta tangente à elipse no ponto  .

      
Solução:


      Como se pretende a equação da recta tangente no ponto  , a função cujo gráfico contém este ponto é:

      Como   ,    .
    
     Portanto a equação da recta pretendida é:

   

11) (EXTRA) Dada a equação de uma Elipse a seguir 25x² + 16y² + 288y + 896 = 0

As medidas dos seus eixos Maior e Menor são, respectivamente:

a) 25 e 16
b) 896 e 288
c) 10 e 8
d) 20 e 16
e) n.d.r.a

12) (EXTRA) Dada a equação de uma Elipse a seguir 25x² + 16y² + 288y + 896 = 0

As coordenadas dos seus focos são:

a) (16, 25) e (-16, -25)
b) (0, 3) e (0, -3)
c) (3, 0) e (-3, 0)
d) (0, -6) e (0, -12)
e) n.d.r.a

13) (UFRJ) Dada a equação de Elipse a seguir

As coordenadas dos seus focos são:

a) (16, 25) e (-16, -25)
b) (0, 3) e (0, -3)
c) (3, 0) e (-3, 0)
d) (0, -6) e (0, -12)
e) n.d.r.a

14) Dada a equação a seguir

O centro da Elipse determinada pelos pontos (x, y) descritas pela equação é:

a) (3, 9)
b) (2, 4)
c) (25, 9)
d) (-9, 2)
e) (2, -9)

15) Dada a equação de Elipse a seguir

A medida do seu Eixo Maior é:

a) 25
b) 16
c) 10
d) 8
e) 4

16) Com base no gráfico de uma elipse a seguir:

Uma equação que descreve os pontos (x, y) de seu gráfico pode ser:

(A) 9x2 + 25y2 = 125
(B) 9x2 + 25y2 = 25
(C) 16x2 + y2 = 1
(D) 25x2 + 9y2 = 225
(E) 9x2 + 25y2 = 225

17) Uma elipse com centro na origem tem medida do eixo maior 18 e distância focal 6. Determine uma possível equação desta elipse.

(A) 728x2 + 9y2 = 58.968

(B) x2 + 9y2 = 58.968

(C) 728x2 + 81y2 = 58.968

(D) 728x2 – 9y2 = 58.968

(E) x2 + y2 = 58.968

18) Dada uma equação da elipse:

9x² + 4y² = 36

O quadrado da distância focal é:

a) 80
b) 77
c) 70
d) 13
e) 2

19) (UEL) Em uma praça dispõe-se de uma região retangular de 20 m de comprimento por 16 m de largura para construir um jardim. A exemplo de outros canteiros, este deverá ter a 
forma elíptica e estar inscrito nessa região retangular. Para aguá-lo, serão colocados dois aspersores nos pontos que correspondem aos focos da elipse. Qual será a distância 
entre os aspersores? 

a) 4 m                b) 6 m           c) 8 m              d) 10 m            e) 12 m

20) Determinar a equação da elipse com centro na origem, que passa pelo ponto P(1,1) e tem um foco F(-Ö6 /2, 0).

Gabarito:

11) C   12) D   13) D   14) E   15) C  16) E   17) A    18) B    19) E     20) x² + 2y² = 3.